試論“解三角形”中的平面四邊形問題

王釗麒

摘 要：解三角形作為高中數學的核心組成部分，在高考中占用十分重要的地位。其內容主要是綜合應用三角函數及三角恒等變換的相關公式、正弦定理、余弦定理、面積公式等基礎知識，還與基本不等式等知識結合考察。具有綜合性強、題型靈活多變的特征。本文主要通過研究平面四邊形內部的三角形的各種類型，給出適當的解三角形的方法，以期幫助同學們提高解決這一類問題的能力和效率。

關鍵詞：高中數學 解三角形 平面四邊形

引言

解三角形是歷年來高考的熱點之一，是每年高考都重點考點，知識點覆蓋面廣，屬于送分但又不易得滿分的題型。在解三角形的實際應用中同學們比較困惑 ，特別是面對有關四邊形問題的實際應用時，感到陌生并有畏懼心理。但實際上，平面四邊形在本質上也有跡可循，可以分解成多個具有某些邊相等的三角形來解決，本文通過實例，嘗試探究這一類問題的解決辦法。[1]

一、平面四邊形只給出一條對角線

[例1]（2015貴陽監測考試）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=

（1）求△ACD的面積

（2）若BC=2 ，求AB的長

（1）解：∵∠D=2∠B，cosB=

∴cosD=cos2B=2cos2B-1=-

∵D∈（0，π） ∴sinD= =

∵AD=1，CD=3

∴△ACD的面積S= AD·CD·sinD= ×1×3× =

（2）在△ACD中，AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12

∴AC=2

∵BC=2 ∴AC=BC可得∠B=∠BAC故∠ACB=π-2B

∵ =

∴ = = = =

∴AB=4

點評：一個四邊形分割成2個三角形后，這2個三角形一定會產生一條公共邊。在一個三角形中，根據已經條件，選擇余弦定理或正弦定理求出公共邊后，該邊即可作為另一個三角形的已知條件使用，進而得出需求的量。所以我們在△ACD中通過余弦定理求出公共邊AC，這樣在△ABC中就可以通過正弦定理求出AB。[2]

[例2]（2014河北邯鄲檢測）如圖，在凸四邊形ABCD中，C，D為定點，CD= ，A，B為動點，滿足AB=BC=DA=1

（1）寫出cosC與cosA的關系式

（2）設△BCD與△ABD的面積分別為S和T，求S2+T2的最大值

解：（1）由余弦定理可知，在△BCD中，

BD2=BC2+CD2-2·BC·CD·cosC=4-2 cosC

在△ABD中，BD2=2-2cosA

所以4-2 cosC=2-2cosA即cosA= cosC-1

（2）依題意知，S= BC·CD·sinC=

T= AB·AD·sinA= sinA

所以

S2+T2= sin2C+ sin2A= （1-cos2C）+ （1-cos2A）

=- cos2C+ cosC+

=- （cosC- ）2+

由題意易知，C∈（ ， ），故cosC∈（0， ）

所以當cosC= 時，S2+T2有最大值

點評：題目中給出的已經條件是邊長，求解的是兩個角的余弦之間的關系，所以我們在任意三角形中自然而然地考慮到余弦定理，根據余弦定理對應兩個三角形列出兩條式子，根據兩個三角形的公共邊可消去一個未知量，得出需要的關系式。此題中，未知邊BD是這兩個三角形公共邊，由2個三角形列出余弦定理，兩式聯立消去公共邊BD就能得出cosA與cosC的關系式；第2小題根據第一小題的關系式得出一條函數式即可求得最值。[3]

二、平面四邊形給出二條對角線

[例1]如圖，在凸多邊形ABCD中，AB=1，BC= ，AC⊥CD，AC=CD，當∠ABC變化時，對角線BD的最大值為________

解：設AC=CD=x，在△ABC中，

由余弦定理知，AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC

即x2=12+（ ）2-2·1· cos∠ABC，

由正弦定理得

= 即sin∠ACB= =

在△BCD中，由余弦定理知BD2=（ ）2+x2-2·x· cos（ +∠ACB）=3+x2+2 xsin∠ACB

代入x2=4-2 cos∠ABC，sin∠ACB= 得

BD2=3+（4-2 cos∠ABC）+2 x·

=7-2 cos∠ABC+2 sin∠ABC

=7+2 sin（∠ABC- ）

∵∠ABC∈（0，π） ∴sin（∠ABC- ）可以取到最大值1

∴（BD2）max=7+2 即BDmax= = +1

點評：根據最終要求的邊所在的三角形，根據圖中三角形互相之間的邊角關系，將該三角形中的邊或角通過正弦定理或余弦定理，計算出題目已知量所在的三角形中的未知量，最終得到一條包含一個三角函數的函數式。

此題中，要表示出BD，根據BD所在的三角形△BCD，題目中的已知量主要集中在△ABC中，所以應盡可能地將△BCD的相關量向△ABC轉化，即題目中的AC=CD，∠BCD= +∠ACB，然后可設AC=CD=x進行推導

三、平面四邊形沒有給出對角線

此題中有A+C=180°，所以在畫對角線作為輔助線時應該保留∠A和∠C不被“分割”，故連接BD

[例1]（2015新課標全國Ⅰ）在平面四邊形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，則AB的取值范圍是________

如圖所示，延長BA與CD相交于點E，過點C作CF∥AD交AB于點F則BF

在等腰三角形CFB中，∠FCB=30°，CF=BC=2

∴BF= = -

在等腰三角形ECB中，∠CEB=30°，∠ECB=75°

BE=CE，BC=2， = ，

∴BE= × = +

∴ -

點評：當已知條件是四邊形的四個角時，若作對角線會將已知的角拆分成兩個未知的角，所以可以嘗試將其中兩條邊延長相交，構成一個新的三角形，然后在新的三角形中通過正弦定理或余弦定理進行求解

結語

解答平面四邊形，本質上還是對正弦定理和余弦定理進行考查，就近幾年的高考題及各地的模擬題的情況來看，平面四邊形的題目的解答是以對角線分割成多個三角形進行分析，并且大部分情況下，題目的四邊形圖像本身就已經給出了對角線，我們一般先就原圖進行分析，只有題目給出的文字或圖像條件不包含對角線時，才需要根據情況手動作輔助線進行分析。

參考文獻

[1]孟敏.解三角形問題內容與方法淺析[J].教育教學論壇，2012，（10）

[2]郭金梅.高中數學中解三角形的幾種不常規思路[J].桂林師范高等專科學校學報，2018，（01）.

[3]梁何生.活用“二換一”，巧解三角形[J].2018年4月教育導刊論文匯編，2018，（09）.