運用數學思想 提高解題能力

吳建芬

[摘? ?要]在《數列》教學中滲透方程思想、函數思想、數形結合思想、分類討論思想等數學思想，引導學生運用數學思想解題，能提高學生的解題準確率、效率，能提升學生的解題能力.

[關鍵詞]數學思想; 解題能力;高中數學

[中圖分類號]? ? G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ? A? ? ? ? [文章編號]? ? 1674-6058（2019）08-0016-02

《數列》是高中數學教學的重點，這不僅體現在高考所占的分值比例中，更體現在實際運用中.為此，教師要重視《數列》教學，帶領學生挖掘內涵思想，以此探究解決問題的方法.

一、方程思想——尋找關系，求解未知量

在高中數學中，方程與數列關系十分密切，一般情況下數量問題都可借助方程解決.要達到這一目標，就需要學生對方程概念有本質的理解，能夠深入分析，并靈活轉換.

方程思想是動中求靜，在數列題目中的運用很常見.在借助方程組求解未知量的過程中，要求學生能靈活轉換[a1、n、q、an、d、Sn]幾個量，并且在實際求解過程中，要充分運用方程性質求解，以此求出未知量，促進問題解決.

例如，已知等差數列[an]與等比數列[bn]的前[n]項和分別是[Sn]和[Tn]，并且滿足[a2=b3=12]，[a5=b4=18].（1）求數列[an]與[bn]的通項公式;（2）求解[T5]的值;（3）如果[Sn=190]，求[n]的值.

對于這一問題，學生乍一看會覺得很難.其實只要稍稍啟發，引導其尋找等差、等比數列之間的對應關系，就可借助方程解決.

二、函數思想——靈活轉化，分析解析式

簡單來說，“函數思想”是解決“數學型問題”的一種思維策略，將其運用到數列教學中，限定了范圍，即“定義域為正整數的函數”，由此便將“無限”變為“有限”.對此，可結合具體問題截取一段函數展開研究，以此促進問題解決.

將數列置于函數層面上研究是解題的重要方法，畫圖像大多不再是直線，而是一系列離散的點，這就是通項公式相對應的函數解析式.對此，要引導學生用函數的概念和性質去分析問題、轉換問題以及解決問題，以此厘清數列中的關系.其中，等差數列對應的是一次函數，等比數列對應的是指數函數，等差數列前[n]項和是關于[n]的二次函數，且常數項為0.由此，便能揭開數列神秘的“面紗”，加強函數與數列的一一對應關系，幫助學生明確探究方向，減少思考與解題的難度.在教學《等差數列通項公式》中，強調等差數列[an=2n-1]是關于[n]的一次式，由圖1可看出這個數列的點都均勻分布在直線[y=2x-1]上，這表明等差數列是特殊的一次函數.在這一環節，學生由于認知上的差異，對于這一轉化不能馬上理解，對此教師就要耐心引導，緊扣要點促進理解，以此激發學生，讓其在數學課堂上獲得相應發展，實現能力提升.

在教學中，可引導學生觀察圖像.學生通過觀察圖像，不難發現數列與函數區別在于：數列是離散的，函數是連續的.由此就可遷移思考，讓學生深刻意識到數列具有函數的一般性質，在解題中可充分運用，以此促進問題解決，促進自身思維能力提升.

三、數形結合思想——直觀思考，畫圖促分析

“數”與“形”是數學中的兩個最古老、最基本的研究對象，在一定條件下可相互轉化，運用十分廣泛.將這一思想運用到數列問題中，就可借助幾何圖形代替代數處理，以此直觀反映數量關系，在數字與圖形的結合中尋找解題思路，以此簡化過程.

例如，設[an=-n2+10n+11]，那么數列[an]從首項到哪一項的和最大？

這一問題，在講解過程中，可先讓學生獨立思考、小組交流，以此促進學生思維發散.在匯報中，學生會談及數形結合思想，教師將其作為一種方法拓展講解.方法明確之后，不要急于求解，先要帶領學生梳理，讓其先畫圖后分析.根據數列[an]是二次函數[f（x）=-x2+10x+11]上的離散點，可發現數列前10項都是整數，第11項是0，之后一直是負數，并且單調遞減.通過這樣的分析，學生不難看出前10項或前11項的和最大.在這一環節中，少部分學生可能存在理解困難，這時就可邀請學生板演具化過程，以此促進理解，讓學生在互助學習中加深對課堂內容的理解.如果條件允許或者學生需要，可在探究環節開展交流，或者實施“一對一幫扶”，讓學生在互助交流中加深對內容的理解，以此體會數形結合思想的優勢.長此以往，不僅能激發學生的探究興趣，還能最大限度地驅動學生，讓其在良好氛圍中積極交流，主動思考，以此落實教學目標，讓課堂教學達到預期效果.

四、分類討論思想——限定范圍，確保不重復

有關數學結論，都有其對應的條件.每一種數學方法在使用時也有范圍.因此，學生在解題中，經常會發現有些問題的結論不是唯一確定的.對此，就不能用統一的形式研究，而要嘗試在對應的范圍下分析，以此確保標準統一，結論不重復、不遺漏.

將這一思想運用到數列問題中，就可將大問題轉化為小問題解決，根據不同情況分類，以此逐個解決.以等差數列為例，就可根據公差[d]的正負情況分成遞增數列、常數列以及遞減數列，同理等比數列也可這樣分類：

（1）若[a1>0，q>1]或者[a1<0，0

（2）若[a1>0，01]，那么數列為遞減數列;

（3）若[q=1]，那么數列為常數列;

（4）若[q<1]，那么數列為擺動數列.

問題呈現之后，要給學生提供充足的探究空間，讓其在獨立思考中吸收、消化，之后圍繞分類在小組里討論.如果學生出現分歧，要及時引導，在關鍵處點撥，以此激發學生，讓其沿著正確思路分析，逐步得出結論.需要注意的是，這一分類對學生思維要求較高，學困生可能會出現不理解的情況，對此就要耐心引導，循序漸進，以此促進理解.在實際教學中，在這些關鍵環節，如果單一講解無法促進理解，就要嘗試鼓勵學生自行組織語言概括，以此相互啟發，就能讓教學達到預期效果.這樣一來，學生就能根據不同情況，靈活分析問題情境，結合問題展開思考.這樣處理，不僅能培養學生思維的嚴密性，還能提升學生思維的邏輯性，促進問題有效解決，提高課堂教學效率.

在高中數學體系中，函數的重要性不言而喻，既是重點也是難點，與其相關的數學思想很多，教師在教學過程中都要積極滲透，讓學生掌握相應技巧與方法，以此提高解題效率.

（責任編輯 黃桂堅）