構造法用于高中數學解題中的有效途徑

葛芬萍

摘 要：在高中階段，數學知識之間聯系緊密。對一些難度較大的數學問題，為了提高解題效率，節省答題時間，需要教師和學生總結題目的特點和解題結構，提出適合解題的獨特方法。主要通過提出和分析幾種典型題型，總結出構造法在高中數學解題中的有效途徑。

關鍵詞：構造法；數學解題；解題方法

構造法是一種在高中數學中比較常見的解題方法。所謂構造法，簡單來說，就是根據題目中給出的條件或者已知結論帶有的一些性質、特點，從而塑造出一種數學模型，目的是將題目中未知的條件“清晰化”，以達到快速明確題意，準確解題的目的。在數學學科的發展過程中，構造法已經在數學解題方法中占有重要的位置，其中，在構造函數、模型、圖形、復數、向量等中，構造法是比較常見的。本篇文章將著重對構造函數、構造模型、構造復數、構造圖形和構造數列這幾種重要題型進行分析和闡述。

一、構造法在函數中的應用

眾所周知，函數在數學領域中一直占有十分重要的位置，涉及函數的題型也是千變萬化的。其中，當函數與不等式聯系在一起時，我們不妨用構造法來解決這類問題。下面，我來舉個例子說明。

已知函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）為函數f（x）的導函數，且滿足f（x）<-xf′（x），則不等式f（x+1）>（x-1）f（x2-1）的解集是什么？

解析：f（x）<-xf′（x）∴f（x）+xf′（x）<0，∴xf（x）<0，設g（x）=xf（x），則函g（x）單調遞減，f（x+1）>（x-1）f（x2-1）變形為（x+1）f（x+1）>（x2-1）

f（x2-1），所以x+1>0x2-1>0x+1

二、構造法在向量問題中的應用

在高中數學解題過程中，使用較為廣泛的知識點就是向量，而應用構造法來進行向量問題解題能夠進一步提高解題的效率，尤其是不等式的結構，就可以使用向量的數量積來表示，將原不等式進行合理變形，再給原不等式提供全新的證明方式。

三、構造法在幾何圖形的應用

在高中數學中，純粹的代數問題往往比較抽象，讓人難以理解題意，這時如果引入幾何圖形解題是一種經常被采用的辦法，在很多的題型中，合理地利用數形結合的方法可以更加直觀地去分析問題和解決問題，下面舉一個利用構造圖形解題的例子：

已知，a>0，b>0，c>0，求證： + ≥ 當且僅當 = + 時取等號。

解：從題目中所給三個根式的結構特點，可以聯想到所學的余弦定理，從而可以構造出一個簡單的圖形，如下圖：

作OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=∠BOC=60°。

則可得：∠AOC=120°，AB= ，BC= ，AC=

根據幾何基礎知識可以得出：AB+BC≥AC

∴ + ≥

四、構造復數法解決實數問題

復數在數學中是實數的一個延伸，一些用實數難以去解決的問題，往往用構造法將其轉化為復數問題，雖然復數看起來較實數復雜，但是解題思路會變得清晰明了。

已知0

用構造復數解決這個問題之前，也可以用另一種構造圖形的方法解決。

解：首先可以先構造一個單位正方形，設O為正方形內一點，O到AD，AB的距離為a，b，則有|AO|+|BO|+|CO|+

|DO|≥|AC|+|BD|，其中，|AO|的值為 ，|BO|的值為 ，|CO|的值為 ，

|DO|= 。又∵|AC|=|BD|= ∴ + + + ≥2

五、其他常用到構造法的題型

以上是本篇文章主要介紹的幾種經常用到構造法解決問題的題型，除此之外還有很多題型需要用到構造法，比如構造向量、構造情境等。

運用向量，很多代數、幾何、圖形等問題都可以被有效地解決。下面舉一個簡單的例子。

已知a、b、c是三個正數，求解函數y= + 的最小值。

解得：構造向量 =（x，a）， =（c-x，b），則可以將題中函數轉化為：y=| |+| |≥| + |= =

∴可以得出ymin=

還有一些數學問題看起來很容易，但是實際解決時卻十分冗雜，此時我們需要合理地運用構造情境的辦法，靈活而巧妙地將問題解決。

構造法在數學解題中非常具有特別的解決辦法，其需要具有一定的靈活性和技巧性，在解題過程中，使數學題變得生動充滿活力，讓學生在學習中能快速地掌握解題結構，并且開發他們的創作思維。當然，構造法絕不是隨意的胡亂猜測，也不是憑空想象，而是需要學者在一定的數學基礎之上，利用所掌握的知識而進行合理的推導和分析，從而快速地得到解決辦法。

參考文獻：

[1]何憶捷，熊斌.中學數學中構造法解題的思維模式及教育價值[J].數學教育學報，2018（2）：50-53.

[2]陳賢.數學“構造法”運用探索與實踐[J].數學大世界（上旬版），2017（8）：8，10.

編輯 謝尾合