構(gòu)造法用于高中數(shù)學(xué)解題中的有效途徑

葛芬萍

摘 要：在高中階段，數(shù)學(xué)知識(shí)之間聯(lián)系緊密。對(duì)一些難度較大的數(shù)學(xué)問題，為了提高解題效率，節(jié)省答題時(shí)間，需要教師和學(xué)生總結(jié)題目的特點(diǎn)和解題結(jié)構(gòu)，提出適合解題的獨(dú)特方法。主要通過提出和分析幾種典型題型，總結(jié)出構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效途徑。

關(guān)鍵詞：構(gòu)造法；數(shù)學(xué)解題；解題方法

構(gòu)造法是一種在高中數(shù)學(xué)中比較常見的解題方法。所謂構(gòu)造法，簡單來說，就是根據(jù)題目中給出的條件或者已知結(jié)論帶有的一些性質(zhì)、特點(diǎn)，從而塑造出一種數(shù)學(xué)模型，目的是將題目中未知的條件“清晰化”，以達(dá)到快速明確題意，準(zhǔn)確解題的目的。在數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展過程中，構(gòu)造法已經(jīng)在數(shù)學(xué)解題方法中占有重要的位置，其中，在構(gòu)造函數(shù)、模型、圖形、復(fù)數(shù)、向量等中，構(gòu)造法是比較常見的。本篇文章將著重對(duì)構(gòu)造函數(shù)、構(gòu)造模型、構(gòu)造復(fù)數(shù)、構(gòu)造圖形和構(gòu)造數(shù)列這幾種重要題型進(jìn)行分析和闡述。

一、構(gòu)造法在函數(shù)中的應(yīng)用

眾所周知，函數(shù)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中一直占有十分重要的位置，涉及函數(shù)的題型也是千變?nèi)f化的。其中，當(dāng)函數(shù)與不等式聯(lián)系在一起時(shí)，我們不妨用構(gòu)造法來解決這類問題。下面，我來舉個(gè)例子說明。

已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，且滿足f（x）<-xf′（x），則不等式f（x+1）>（x-1）f（x2-1）的解集是什么？

解析：f（x）<-xf′（x）∴f（x）+xf′（x）<0，∴xf（x）<0，設(shè)g（x）=xf（x），則函g（x）單調(diào)遞減，f（x+1）>（x-1）f（x2-1）變形為（x+1）f（x+1）>（x2-1）

f（x2-1），所以x+1>0x2-1>0x+1

二、構(gòu)造法在向量問題中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，使用較為廣泛的知識(shí)點(diǎn)就是向量，而應(yīng)用構(gòu)造法來進(jìn)行向量問題解題能夠進(jìn)一步提高解題的效率，尤其是不等式的結(jié)構(gòu)，就可以使用向量的數(shù)量積來表示，將原不等式進(jìn)行合理變形，再給原不等式提供全新的證明方式。

三、構(gòu)造法在幾何圖形的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)中，純粹的代數(shù)問題往往比較抽象，讓人難以理解題意，這時(shí)如果引入幾何圖形解題是一種經(jīng)常被采用的辦法，在很多的題型中，合理地利用數(shù)形結(jié)合的方法可以更加直觀地去分析問題和解決問題，下面舉一個(gè)利用構(gòu)造圖形解題的例子：

已知，a>0，b>0，c>0，求證： + ≥ 當(dāng)且僅當(dāng) = + 時(shí)取等號(hào)。

解：從題目中所給三個(gè)根式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，可以聯(lián)想到所學(xué)的余弦定理，從而可以構(gòu)造出一個(gè)簡單的圖形，如下圖：

作OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=∠BOC=60°。

則可得：∠AOC=120°，AB= ，BC= ，AC=

根據(jù)幾何基礎(chǔ)知識(shí)可以得出：AB+BC≥AC

∴ + ≥

四、構(gòu)造復(fù)數(shù)法解決實(shí)數(shù)問題

復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中是實(shí)數(shù)的一個(gè)延伸，一些用實(shí)數(shù)難以去解決的問題，往往用構(gòu)造法將其轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題，雖然復(fù)數(shù)看起來較實(shí)數(shù)復(fù)雜，但是解題思路會(huì)變得清晰明了。

已知0

用構(gòu)造復(fù)數(shù)解決這個(gè)問題之前，也可以用另一種構(gòu)造圖形的方法解決。

解：首先可以先構(gòu)造一個(gè)單位正方形，設(shè)O為正方形內(nèi)一點(diǎn)，O到AD，AB的距離為a，b，則有|AO|+|BO|+|CO|+

|DO|≥|AC|+|BD|，其中，|AO|的值為 ，|BO|的值為 ，|CO|的值為 ，

|DO|= 。又∵|AC|=|BD|= ∴ + + + ≥2

五、其他常用到構(gòu)造法的題型

以上是本篇文章主要介紹的幾種經(jīng)常用到構(gòu)造法解決問題的題型，除此之外還有很多題型需要用到構(gòu)造法，比如構(gòu)造向量、構(gòu)造情境等。

運(yùn)用向量，很多代數(shù)、幾何、圖形等問題都可以被有效地解決。下面舉一個(gè)簡單的例子。

已知a、b、c是三個(gè)正數(shù)，求解函數(shù)y= + 的最小值。

解得：構(gòu)造向量 =（x，a）， =（c-x，b），則可以將題中函數(shù)轉(zhuǎn)化為：y=| |+| |≥| + |= =

∴可以得出ymin=

還有一些數(shù)學(xué)問題看起來很容易，但是實(shí)際解決時(shí)卻十分冗雜，此時(shí)我們需要合理地運(yùn)用構(gòu)造情境的辦法，靈活而巧妙地將問題解決。

構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中非常具有特別的解決辦法，其需要具有一定的靈活性和技巧性，在解題過程中，使數(shù)學(xué)題變得生動(dòng)充滿活力，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)中能快速地掌握解題結(jié)構(gòu)，并且開發(fā)他們的創(chuàng)作思維。當(dāng)然，構(gòu)造法絕不是隨意的胡亂猜測，也不是憑空想象，而是需要學(xué)者在一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之上，利用所掌握的知識(shí)而進(jìn)行合理的推導(dǎo)和分析，從而快速地得到解決辦法。

參考文獻(xiàn)：

[1]何憶捷，熊斌.中學(xué)數(shù)學(xué)中構(gòu)造法解題的思維模式及教育價(jià)值[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2018（2）：50-53.

[2]陳賢.數(shù)學(xué)“構(gòu)造法”運(yùn)用探索與實(shí)踐[J].數(shù)學(xué)大世界（上旬版），2017（8）：8，10.

編輯 謝尾合