巧用數(shù)形結(jié)合 求解取值范圍

王建寧

摘 要：數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)非常重要的數(shù)學(xué)思想方法之一，把數(shù)與形結(jié)合起來(lái)進(jìn)行分析、研究，從而使復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，啟發(fā)學(xué)生思維，使其能夠生動(dòng)而直觀地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。從函數(shù)值域以及函數(shù)中參數(shù)的取值范圍等幾個(gè)方面探究數(shù)形結(jié)合在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合；函數(shù)圖象；函數(shù)單調(diào)性；幾何直觀

數(shù)學(xué)思維能力是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合思想正是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)問(wèn)題和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。使用數(shù)形結(jié)合的方法，可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀生動(dòng)，解法簡(jiǎn)潔方便。“以形助數(shù)，以數(shù)解形”能夠變抽象思維為形象思維，有助于數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決。在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中要不斷滲透這種數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生的認(rèn)知能力，使學(xué)生從數(shù)和形兩個(gè)方面認(rèn)識(shí)問(wèn)題的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)內(nèi)容，由于其高度概括性和抽象性使得許多學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)過(guò)程中非常吃力，如果結(jié)合圖形體現(xiàn)函數(shù)直觀的形象，不僅能降低學(xué)習(xí)難度，使學(xué)生對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)更加具體直觀，還能拓展學(xué)生的思維。下面我結(jié)合自己在教學(xué)實(shí)踐中遇到的幾道例題談?wù)剶?shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

例1.已知k∈R，若函數(shù)f（x）=k（x-2）- +2在區(qū)間[0，2]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。

分析：高中數(shù)學(xué)中有許多恒成立問(wèn)題或存在性問(wèn)題，涉及參數(shù)的取值范圍。遇到這類問(wèn)題的第一印象是該問(wèn)題涉及零點(diǎn)，有必要考慮函數(shù)的單調(diào)性，因此要求利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于常規(guī)思維。但是如果換一個(gè)角度看這一問(wèn)題：

由f（x）=k（x-2）- +2=0可得k（x-2）+2=

若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，2]上存在零點(diǎn)，即直線y=k（x-2）+2與曲線y=- 在區(qū)間[0，2]上有公共點(diǎn)。由y= 得（x-1）2+y2=1（y≥0），以及y=k（x-2）+2表示過(guò)定點(diǎn)A（2，2）的直線，分別作出y= 與y=k（x-2）+2的圖象，如圖1所示：

當(dāng)圓與直線相切時(shí)，由圓心（1，0）到直線y=k（x-2）+2的距離 =1得k= （另一條切線的斜率不存在）綜合圖象可得k∈[ ，+∞）。

這樣運(yùn)用兩個(gè)圖象能直接體現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)，使學(xué)生直觀地看到問(wèn)題的結(jié)果，只需稍加計(jì)算推導(dǎo)，就能得到確切的答案，解題思路方便而直觀。

在高二學(xué)習(xí)過(guò)程中遇到下面這樣一道習(xí)題：

證明：lnx

學(xué)生給出了如下證明：

令f（x）=lnx-x+1（x>0）

f ′（x）= 由f ′（x）>0得01，f（x）在（1，+∞）單調(diào)遞減.所以x=1是f（x）的極大值點(diǎn)，也是f（x）的最大值點(diǎn)，即

f（x）=lnx-x+1≤f（1）=0

所以lnx

筆者讓學(xué)生在同一坐標(biāo)系畫出了曲線y=lnx與直線y=x-1的圖象（圖2），且易求得y=lnx在x=1處的切線方程恰好為y=x-1，使得學(xué)生有一個(gè)更深刻的認(rèn)識(shí)。

同時(shí)提出一個(gè)相似的問(wèn)題：

證明：ex>x+1

學(xué)生用同樣的方法很快給出了證明并且在上圖中畫出了曲線y=ex與直線y=x+1的圖象，可以看到y(tǒng)=ex在x=0處的切線方程恰好為y=x+1。

在高三后期復(fù)習(xí)中有遇到這樣一道題：

已知函數(shù)f（x）=xlnx-ex+1，當(dāng)x∈[ ，2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的值域。

顯然要求f（x）的值域，需判斷f（x）的單調(diào)性，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)這個(gè)工具來(lái)解決。

依題意f ′（x）=lnx+1-ex

當(dāng)x∈[ ，1]時(shí)lnx≤0，1-ex<1- <0，f ′（x）<0，

當(dāng)x∈[1，2]時(shí)lnx≤ln2<1，1-ex<1-e<0，f ′（x）<0

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，2]上是減函數(shù)，f（x）的最大值為f（ ）=1- - ln2，f（x）最小值為f（2）=1-e2+2ln2，f（x）的取值范圍為[1-e2+2ln2，1- - ln2]。

但是f ′（x）=lnx+1-ex在區(qū)間[ ，2]上的取值正負(fù)對(duì)于學(xué)生來(lái)講并不容易判斷，并且好多學(xué)生又重新求出f ′（x）的導(dǎo)函數(shù)，問(wèn)題變得十分復(fù)雜。如果此時(shí)關(guān)注函數(shù)的圖象將會(huì)是怎樣一個(gè)情況呢？

f ′（x）=lnx+1-ex=lnx-（ex-1）可看成y=lnx與y=ex-1兩函數(shù)的差構(gòu)成的函數(shù)，由前面的習(xí)題可知曲線y=lnx在直線y=x-1的下方而曲線y=ex-1位于直線y=x的上方。

f ′（x）=lnx+1-ex=lnx-（ex-1）<0恒成立

所以函數(shù)f（x）在區(qū)間[ ，2]單調(diào)遞減，最大值f（ ）=1- - ln2最小值f（2）=1-e2+2ln2的值域?yàn)閇1-e2+2ln2，1- - ln2]。

從上面解題過(guò)程可看出加強(qiáng)培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的意識(shí)，做到腦中有圖，將圖形的性質(zhì)與數(shù)量間的關(guān)系聯(lián)系起來(lái)，可方便快捷地判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的值域。

綜上所述，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法，其本質(zhì)就是利用題中的已知條件構(gòu)造函數(shù)，或者題中的已知條件經(jīng)過(guò)適當(dāng)變形后，構(gòu)造出有利于求解的圖形，然后從這些圖形中尋找解題方案，從而把復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題具體化，達(dá)到化難為易的目的。在高中數(shù)學(xué)中，許多代數(shù)極值問(wèn)題就潛藏著圖形背景，借助于圖形的直觀性求解是尋求解題思路的一種重要方法，因此教師在平時(shí)的教學(xué)中要通過(guò)數(shù)與形的有機(jī)結(jié)合，把形象思維與抽象思維聯(lián)系起來(lái)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圖形給出代數(shù)問(wèn)題的幾何直觀，促進(jìn)學(xué)生兩種思維能力的同步發(fā)展，幫助學(xué)生多角度、多層次地思考問(wèn)題。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，逐漸滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的意識(shí)。

編輯 杜元元