設計抓核心教學顯素養

周琦

[摘? 要] 基礎教育中數學的核心是思維的訓練與抽象模型的建立，其中函數作為初入中等數學中的第一步尤為重要. 透過現象看本質，同樣適合于教學，運用生活中可觀的現象建立起抽象的模型. 文章以“二次函數”的教學設計為例，展開說明構建抽象的數學模型，也貼近數學核心素養的培養.

[關鍵詞] 核心素養;二次函數;教學設計;數學模型

“二次函數”是蘇科版《義務教育教科書·數學》九年級下冊第五章第一節內容，本課是在學生已經學習了一次函數概念、反比例函數概念、表達式、圖像、性質、應用的基礎上來學習二次函數的概念.二次函數是初中階段研究的最后一個具體的函數，與反比例函數一樣都是非線性函數.同時，二次函數與之前學過的一元二次方程有著密切的聯系，進一步學習二次函數將為一元二次方程的解法提供新的方法和途徑，并使學生更深刻地理解“數形結合”的思想.本課的二次函數概念是后續研究二次函數的圖像、性質、應用的基礎，也為高中進一步研究其他類型的函數做好了鋪墊，提供了研究函數的范式，發展了學生數學建模、數學抽象、邏輯推理、數學運算等核心素養.

（1）從學生的年齡特征和認知結構分析：九年級下學期的學生心理比較成熟，思維方式已從形象思維向抽象思維發展，知識遷移能力和邏輯推理能力迅速發展.

（2）從學生知識技能基礎來看：學生已經學習過一次函數和反比例函數的定義、表達式、圖像、性質和應用，這套學習函數的范式對學生學習二次函數有良好的引導作用.

（3）從學生數學活動經驗基礎來看：在之前函數的學習中，學生已具有解決一些實際問題的能力，感受到函數反映的是變化過程，表示兩個變量之間的對應關系，對函數表達式的特點也有所了解，同時具備了一定的獨立思考、合作交流等能力.

（1）經歷探索兩個變量之間函數關系的過程，會用數學式子抽象出某些變量之間的數量關系，發展學生數學建模、數學抽象的數學核心素養.

（2）通過對實際問題情境的分析，確定二次函數的表達式，體會二次函數的意義，發展學生邏輯推理的數學核心素養.

（3）通過實例分析，進一步感受二次函數的三要素和變量取值范圍的確定.

理解二次函數概念，培養學生數學抽象的核心素養.

（1）理解二次函數概念的形成過程.

（2）根據實際問題抽象二次函數的表達式.

探究式教學.

1. 發現新知，發展學生數學建模的數學素養

問題1：寫出下列問題中兩個變量之間的關系.

（1）汽車油箱內有油40 L，每行駛100 km耗油10 L，則行駛過程中油箱內剩余油量Q（L）與行駛路程s（km）之間有什么關系？

（2）南京與上海相距300 km，一輛汽車從南京出發，以速度v（km/h）開往上海，全程用時t（h），則全程用時t（h）與速度v（km/h）之間有什么關系？

（3）水滴激起的波紋不斷向外擴展，所形成圓的面積S隨半徑r的變化而變化，S與r之間有什么關系？

（4）用16 m長的籬笆圍成長方形生物園飼養小兔，長方形的面積y（m2） 與長x（m）之間有什么關系？

（5）一面長寬比為2 ∶ 1的矩形鏡子，四周鑲有邊框，已知鏡面的價格是每平方米120元，邊框的價格是每米30元，加工費45元.若鏡面寬x m，則總費用y（元）與鏡面寬x（m）之間有什么關系？

預設：（1）Q=40-s;（2）t=;（3）S=πr2;（4）y=-x2+8x;（5）y=240x2+180x+45.

問題2：你能將上述的函數關系式分組嗎？并說出分組的理由.

預設：（1）一次函數;（2）反比例函數;（3）（4）（5）沒學過的函數.

教學分析? 生活中大量存在表示兩個變量之間關系的情境，有一些能用以前學習的一次函數或反比例函數表示，但更多的已經無法滿足這兩種函數關系，引出一種新的函數模型.根據新舊知識的聯結點，從實際意義出發，寫出函數關系式，發展學生數學建模的數學素養.

2. 探索新知，發展學生數學抽象的數學素養

問題3：觀察S=πr2，y=-x2+8x，y=240x2+180x+45三個函數關系式，它們在結構上有哪些共同特征？你覺得這種結構特征與我們學過的什么函數類似？

預設1：①左邊是因變量;②右邊是關于自變量的二次整式.

預設2：類似于一次函數，一次函數左邊是因變量，右邊是關于自變量的一次整式.

問題4：類比一次函數給具有這種特征的函數起一個名稱.

預設：二次函數.

問題5：回顧一次函數的概念.

預設：一般地，形如y=kx+b（k，b為常數，且k≠0）的函數叫作一次函數（Linear function），其中x是自變量，y是x的函數.

問題6：類比一次函數歸納二次函數的定義.

師生共同得出：一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，且a≠0）的函數叫作二次函數（quadratic function），其中x是自變量，y是x的函數.

問題7：生活中有許多類似的實例，你還能舉出一些二次函數的實例嗎？

教學分析? 讓學生分析函數表達式的特征，大部分學生分析表達有困難，以小組合作的形式互相啟發. 通過對一次函數的概念和表達式的回顧、遷移，在新舊知識的對比中，引導學生歸納，師生達成共識得出二次函數的概念和表達式，發展學生數學抽象的數學素養.

3. 探究新知，發展學生邏輯推理的數學素養

問題8：（1）上述三個二次函數解析式中二次項系數、一次項系數、常數項分別是多少？

（2）上述三個二次函數自變量取值范圍分別是多少？

教學分析? 二次函數是比一次函數更復雜的函數，一次函數由一次項系數和常數項兩個常數確定，而二次函數關系式由二次項系數、一次項系數、常數項這三個常數共同確定，它們最高次項的系數都不能為0.通常自變量可取一切實數，但在實際問題中自變量取值范圍受到實際意義和條件的限制，需要通過對具體情境的分析得到自變量的取值范圍.一則體現對二次函數概念完整性的螺旋式上升策略，二則培養學生嚴謹的數學思維習慣.

問題9：寫出下列函數關系式和自變量取值范圍.若是二次函數，請指出它的二次項系數、一次項系數、常數項.

（1）寫出正方體的表面積S（cm2）與正方體棱長a（cm）之間的函數關系;

（2）寫出高為14 cm的圓柱體的體積V（cm2）與底面半徑r（cm）之間的函數關系;

（3）矩形紙片長30 cm，寬20 cm，從內部剪去一個邊長為x cm的正方形，寫出剩余部分面積S（cm2）與x（cm）之間的函數關系.

預設：（1）S=6a2（a>0）;（2）V=14πr2（r>0）;（3）S=600-x2（0

問題10：一次函數的特例是正比例函數，二次函數有沒有特例呢？

預設：a是二次項系數不能為0，b或c可以為0，由此得到二次函數三種特殊的形式：①y=ax2（a為常數，且a≠0）;②y=ax2+c（a，c為常數，且a≠0）;③y=ax2+bx（a，b為常數，且a≠0）.

教學分析? 概念教學的難點是從抽象概括中進行邏輯推理，類比一次函數從一般到特殊的研究方法，通過對二次函數各項系數能否為0的討論，得到二次函數三種特殊形式，這是對二次函數形式的深度認識. 同時，這也為研究二次函數的圖像、性質提供了從特殊到一般的探究思路，發展了學生邏輯推理的數學素養.

4. 內化新知，發展學生理解數學的素養

問題11：關于x的函數y=（m2+m-2）·x2+（m+2）x+n-1，

（1）m，n滿足什么條件時，y是x的二次函數？

（2）m，n滿足什么條件時，y是x的一次函數？

（3）m，n滿足什么條件時，y是x的正比例函數？

設計意圖? 通過字母系數取值范圍的討論，主要是各項系數何時為0，何時不能為0，強化概念，有效辨別函數類型.點狀知識通過邏輯鏈系統化、整體化，將二次函數納入函數系統，這是函數系統的又一次擴充，讓學生體驗數學概念不能死記硬背，需要在理解的基礎上完善自己的函數認知體系，發展學生理解數學的素養.

5. 消化新知，發展學生應用數學的素養

布置課后練習：課本P8習題5.1.

設計意圖? 二次函數模型是從實際情境中抽象出來的，概括總結歸納后，還要應用于實際.實際問題數學化，再用數學概念、知識解釋實際問題，這種相互轉化的過程就是數學能力提升的過程，需要學生在課后練習和實際生活中不斷體會，反復應用，發展學生應用數學的素養.

6. 體悟新知，發展學生理性思維的數學素養

（1）本課我學習了哪些知識內容？

（2）本課我運用了哪些思想方法？

（3）本課我在哪些數學素養方面得到提升？

（4）課后我還準備對哪些方面進一步研究？

設計意圖? 引導學生回顧二次函數發生、發展的過程，加深對二次函數的認識，提升數學思想方法的理性認識和相應數學素養的發展.將二次函數納入函數研究體系，啟發學生根據已有學習活動經驗從整體性和結構性角度思考后續二次函數的學習內容、探究方式，發展學生理性思維的數學素養.

1. 挖掘核心問題，有效設計

問題是數學的心臟，也是思維活動的起點. 本課設計首先讓學生從現實情境中抽象出數學問題，建立模型，在與一次函數的類比中歸納模型特征，并嘗試用一般的函數關系式表示，同時得到二次函數描述性定義.但此時，學生對二次函數的認知還停留在函數關系式的表面形式和對函數的已有認知經驗基礎上，而由淺入深、由表及里、由具體到抽象、由片面到全面地認識二次函數的本質是本節課的核心問題.所以，在探究新知環節，設計問題串，從函數系統架構的角度思考二次函數的細節問題，這些問題有別于類比函數—— 一次函數，但又與一次函數認識視角相同的共性問題. 隨后在內化新知中，為了對二次函數、一次函數、正比例函數的概念進行正確辨析，設置問題，協助學生深度理解二次函數概念的內涵和外延.

2. 發展數學素養，教學相長

本課的重難點是二次函數概念的形成和理解，這個過程是很抽象的，所以在組織教學活動時，鼓勵學生用數學的眼光觀察世界從中抽象出數學問題，然后用數學的思維思考問題，用數學的語言表達問題，最后用數學的知識解決實際問題.用數學的眼光抽象出數學問題的過程就是根據實際意義運用數學運算寫出二次函數關系式，經歷數學建模的過程，發展了學生數學運算、數學建模的數學素養;用數學的思維思考問題，是讓學生經歷思考，根據新舊知識的聯結點自然生長知識、方法、經驗，運用邏輯推理形成并理解二次函數概念的來龍去脈，發展學生邏輯推理的數學素養;用數學的語言表達問題就是用數學符號語言表達從實際問題抽象出的函數關系式，發現一類新的函數關系形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，且a≠0），滿足這樣形式的函數關系就是二次函數.同樣，二次函數關系一定滿足y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，且a≠0），二次項系數、一次項系數和常數項確定了，二次函數關系式就確定了.從具體到抽象，發展了學生數學抽象、理性思維的數學素養;用數學的知識解決實際問題是借助二次函數模型分析問題，透過現象看本質，解決實際問題.雖然這并不是本課的重點，但作為章起始課，要有統領全章的視野，發展學生應用數學的數學素養.培養學生的數學素養，并不是喊喊口號這么簡單，教師要有更新教育教學的理念，從數學核心素養的角度重新解讀教材，突出教學本質，整合教學資源，設計教學流程，落實核心素養.學生的發展需要教師的引導，教師的成長需要學生促進，在推進數學核心素養的教學中，師生協同共進，教學相長.

立足數學核心素養這一落腳點，挖掘核心問題，精心設計教學環節.當數學的教學回歸問題本源，從結構化、整體化、網絡化的角度思考數學知識的發生、發展，核心素養的發展便水到渠成.師生是學習共同體，唯有在日常教學中讓數學核心素養貼地而行，師生的數學核心素養才能共生共長、落地生根.