探析轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中的滲透與應(yīng)用

于志勇

摘 要：在教學(xué)中，往往忽視對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)。運用轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)研究中克服困難的法寶，對解決數(shù)學(xué)難題具有重大作用。主要以課例形式探究轉(zhuǎn)化思想在教學(xué)中的滲透與應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；轉(zhuǎn)化思想；課例；滲透與應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想對于解決問題至關(guān)重要。在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，怎樣運用轉(zhuǎn)化思想分析、處理和解決數(shù)學(xué)問題？筆者通過人教版《圓錐的側(cè)面積和全面積》一課給出自己的見解，以供同仁參考。

一、教學(xué)過程

環(huán)節(jié)1：認識圓錐和圓錐的側(cè)面

在授課過程中，為了滲透轉(zhuǎn)化思想，利用幾何畫板制作三角形旋轉(zhuǎn)形成圓錐的動畫，然后對此提出問題。

師提出問題：直角三角形的斜邊運動形成了什么？旋轉(zhuǎn)的直角邊運動形成了什么？學(xué)生的結(jié)論是圓錐的側(cè)面和底面（圓）。師進一步追問“底面圓上取出幾個點與圓錐頂點連線，你有什么發(fā)現(xiàn)？”學(xué)生提出都相等，再取一些也都相等。師再次追問“圓錐的側(cè)面是什么？怎樣證明你的猜想？”學(xué)生異口同聲地回答是扇形，可是怎樣說服卻陷入了思考。此時提醒學(xué)生回憶圓的定義，學(xué)生恍然大悟，因為圓錐底面圓上各點到圓錐頂點的距離相等，所以圓錐的側(cè)面展開圖是扇形。適時，師利用動畫演示了圓錐的側(cè)面展開過程，并介紹了圓錐的高、底面半徑、母線、側(cè)面和底面等概念。

在這個環(huán)節(jié)的設(shè)計中，筆者沒有采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法直接扔給學(xué)生圓錐的概念，而是利用兩段動畫激活學(xué)生的思維。學(xué)生對圓錐內(nèi)存在直角三角形不易接受，對圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)化也存在疑問，以往的教學(xué)總是忽略這些問題，但這些思考對圖形概念的形成是必不可少的。在這個環(huán)節(jié)中，筆者進行了立體圖形與平面圖形的相互轉(zhuǎn)化，圓錐的側(cè)面與扇形的定義轉(zhuǎn)化，都是轉(zhuǎn)化思想。利用轉(zhuǎn)化思想，我們可以將圓錐的軸切面轉(zhuǎn)化為直角三角形，再利用勾股定理知二得一；可以用圓的定義轉(zhuǎn)化圓錐的側(cè)面為扇形，再利用扇形的面積公式求圓錐的側(cè)面積。

環(huán)節(jié)2：制作一個圓錐

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓錐的構(gòu)造，再適時地動手作一個圓錐，在實踐中探索圓錐側(cè)面和底面的相等關(guān)系。在學(xué)生通過小組合作制作出一個圓錐后，提出兩個問題。

1.有一個扇形可做圓錐的側(cè)面，怎樣給它配一個底？

學(xué)生提出：求出扇形的弧長，弧長和底面圓的周長相等，列方程求底面圓的半徑。

2.那如果有一個底面圓，怎樣給它配一個圓錐的側(cè)面呢？

學(xué)生通過討論提出：需要確定扇形的圓心角和半徑，這個扇形是不確定的。

在這個環(huán)節(jié)中，筆者借鑒以往的教學(xué)方式，讓學(xué)生制作模型。但沒有安排在課前，而是在圓錐概念形成之后，學(xué)生的思維重心落在了怎樣保證圓錐的側(cè)面和底面配套的問題上，這是平面圖形向立體圖形的轉(zhuǎn)化，合理的轉(zhuǎn)化依托在隱含的相等關(guān)系上。

環(huán)節(jié)3：推導(dǎo)圓錐側(cè)面積公式

師：觀察你們面前的圓錐，在不拆開的前提下，你能測量圓錐的哪些量？

學(xué)生動手操作后，提出圓錐的母線和底面的半徑。還有學(xué)生提出可以測高，但遭到了其余學(xué)生的質(zhì)疑，認為誤差很大不如用勾股定理求的準確。筆者收集了四組學(xué)生的測量結(jié)果，列出母線與底面半徑的表格，接著提出問題。

師：只用圓錐的母線和底面半徑能求出圓錐的側(cè)面積嗎？

學(xué)生很茫然，不知所措。這時，筆者投影了扇形圖和扇形的兩個面積公式，對學(xué)生追問道：“你能將求圓錐側(cè)面積的問題轉(zhuǎn)化為求扇形面積的問題嗎？試著改寫一下。”學(xué)生立刻有了思路，想到了圓錐的母線就是扇形的半徑，圓錐的底面圓的半徑可以求扇形的弧長，于是有的小組率先提出解題方案，利用扇形的弧長與面積關(guān)系推導(dǎo)圓錐的側(cè)面積等于πrl；還有的小組進一步發(fā)現(xiàn)弧長還可以求扇形的圓心角，進而利用母線長和圓心角求扇形的面積，也可以推導(dǎo)出相同的結(jié)果。這時，筆者停下來帶著學(xué)生總結(jié)探索過程中出現(xiàn)的兩個對應(yīng)關(guān)系（圓錐的底面圓周長等于側(cè)面展開后扇形的弧長，母線等于扇形的半徑）、圓心角公式（利用圓錐的底面圓周長等于側(cè)面展開后扇形的弧長推導(dǎo)）和圓錐的側(cè)面積和全面積公式（請兩個學(xué)生利用不同的方法板演推導(dǎo)），然后快速地利用公式求了四組數(shù)據(jù)的側(cè)面積和全面積。

轉(zhuǎn)化思想就像一條線將新舊知識聯(lián)系在一起，順應(yīng)知識的內(nèi)在聯(lián)系，在此環(huán)節(jié)中貫穿著新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，形轉(zhuǎn)化為數(shù)，未知條件轉(zhuǎn)化為已知條件，使得一節(jié)課的三個難點在轉(zhuǎn)化思想中迎刃而解。

環(huán)節(jié)4：小結(jié)、整理

通過整節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生意識到可轉(zhuǎn)化思想。這時候教師可以再進行一些延伸，讓學(xué)生總結(jié)轉(zhuǎn)化思想的好處。一個學(xué)生回答，圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)化為扇形，圓柱的側(cè)面轉(zhuǎn)化為長方形就能求面積了；還有學(xué)生回答，問題也可以轉(zhuǎn)換，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，也可以將文字多的少寫點用符號語言代替……筆者提出問題旨在強化轉(zhuǎn)化意識，使其在解題時能夠自覺地轉(zhuǎn)化，從而培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、思考和啟迪

通過這節(jié)課的教學(xué)設(shè)計過程，筆者認為轉(zhuǎn)化思想在解題的過程中無處不在，在教學(xué)中我們要有意識地從教學(xué)目標的確定、教學(xué)過程的實施、教學(xué)效果的落實等各個方面來體現(xiàn)轉(zhuǎn)化思想。在探究新知時，要有意識地引導(dǎo)學(xué)生類比舊知識，將新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，引導(dǎo)學(xué)生選擇適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化點和轉(zhuǎn)化的方式。在解決問題時，要從高的層面歸納數(shù)式的轉(zhuǎn)化、圖形的轉(zhuǎn)化、數(shù)形的轉(zhuǎn)化等各種轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，要向?qū)W生提供豐富的、典型的、正確的解題思路和方法，要對知識的變化和遷移過程直觀展示，使學(xué)生能投入，有感受，不再深陷題海，而是有意識地歸納模型，真正做到學(xué)一題通一類。

參考文獻：

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編輯 謝尾合