“雞兔同籠”問題與學生數學思維的培養

郭靖

[摘 要]“雞兔同籠”問題是我國古代數學里的經典問題，出自《孫子算經》，也是小學數學的拓展內容。“雞兔同籠”問題是一類題的總述，其背后隱藏著不同的解題策略與思維。教師應剖析由“雞兔同籠”問題延伸出來的解題思路與思考方式，探究其背后的數學思想，找到向學生滲透數學思想的途徑，即通過“雞兔同籠”問題培養學生的數學思維。

[關鍵詞]雞兔同籠;數學思維;小學數學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2019）14-0081-02

小學數學是義務教育的重要組成部分，小學數學教師除了講授基礎運算外，還要培養學生的數學思維。數學思維是一種宏觀思維，是對數學知識的積累和掌握，也是對解題方法的認識。學生在解決數學問題時需要數學思維的輔助，在特定的條件下，還要轉變或創新數學思維才能做出最佳選擇。為了更好地培養學生的數學思維，教師首先要有數學思維。而“雞兔同籠”問題是培養學生數學思維的突破口，教師要切實有效地利用它，幫助學生掌握更多解題思路，從而使學生建立數學思維。

一、“雞兔同籠”問題概述

《孫子算經》中的原題按照現在的理解是：籠子里有若干只雞和兔子，從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳，那么各有多少只兔子和雞？列式計算就是：兔子數量=（94÷2）-35=12（只），雞的數量=35-12=23（只）。這種解法叫“歸化法”，體現了我國古代先進的數學思維。而現代教材多用“假設法”，例如題目為：雞兔共90個頭，228只腳，各有多少只雞和兔子？則可假設有90只雞，那么腳應是2×90=180（只），比題中的腳數少228-180=48（只），又因為兔子有4只腳，當把兔子算成雞時，自然每只兔子都少了兩只腳，少了的腳數除以2，就是兔子的數量，即兔子有48÷2=24（只）。同理可以假設全都是兔子，用多出來的腳數算出雞的數量。

二、“雞兔同籠”問題蘊含的數學思維

1.猜想思維

“雞兔同籠”問題會讓學生產生“猜一猜”各有多少只雞和兔，這可以培養學生的猜想能力。在猜想被證實或被否定時，學生就會逐步提升學習數學的積極性，激發深入探究的興趣和動力，奠定找到適合的解題方法的基礎，并在已有的認知基礎上對未知進行猜測，再根據規律去求證。實際上，任何數學發現的開端，都是大膽猜想與開拓精神并存的壯舉。因此，猜想思維對學生的學習有利無害，培養學生的猜想思維是數學教學中不容忽視的一環。

2.列舉思維

列舉即直接將猜想結果排列出來。在解決“雞兔同籠”問題時，教師可以引導學生可以畫一個表格，將各種假設情況填入表內，這樣思路會更清晰。學生通過觀察表格，可以發現某種規律，并用規律解決問題。也可以通過圖畫來列舉，即畫出雞和兔子的頭、腳的數量，再通過給所有頭匹配兩只腳，得出剩下多少只腳，就是兔子少的腳的總和，這樣兔子的數量便可以算出來了。列舉比建模更直接、快捷，也是數學建模的前提和基礎。

3.轉化思維

很多教材及習題集里的“雞兔同籠”問題與原題有很大不同，可以說是對原題的轉化。例如，“一個籠子里有雞和兔子，上數16個頭，下數42只腳”或“籠子里有雞和兔子共80只”等等，通過減小數量或增加條件，設置不同程度的變化，除了難易程度的轉變，也是轉化思維的體現。轉化思維可以指簡化思維，即將復雜的問題簡單化;也可以指轉變思維，即將問題的形式轉變到更易解決的狀態;還可以指抽象思維，即將相似的問題歸為一類，用同樣的方法解決。學生在教師的引導下，通過了解這些題目的異同以及轉變過程，便可以很好地掌握轉化思維，靈活地學習數學。

4.代數思維

“雞兔同籠”問題還可以利用方程式來解決，設有x只兔子或x只雞，都可以得出一個一元方程。以方程來解決問題是一種代數思維。學生擁有了代數思維，就可以運用方程把陳述性語言轉化成代數式，溝通已知數量與未知數量解決一些較為復雜的數學問題。在小學階段，列方程和解方程是重要的基礎知識，也是學生學習復雜方程式的過渡知識。

三、有效利用“雞兔同籠”問題培養學生的數學思維

1.強化思維意識

數學思維的培養在小學數學教學中占據重要地位，而“雞兔同籠”問題對培養學生的數學思維有著重要意義。教師要注重培養學生的數學思維，而數學思維需要深入挖掘。如果教師不認真研讀教材、探索教材背后的思維方式，就不可能帶領學生去掌握數學思維。因此，教師要深刻認識到培養學生數學思維的重要性，努力吃透教材、提升自我，自覺在課堂內外向學生滲透數學思維。

2.選擇思維方式

數學思維的培養并不是直接要求學生熟悉數學概念，也不是把數學思維生硬地搬到課堂上。而是要遵循“潤物細無聲”的原則，慢慢引導學生掌握、領略數學思維。學生通過探索吸取理論精華，就能逐漸內化思路方式為思維意識，在潛移默化中形成數學思維。解決“雞兔同籠”問題需要用到轉化、列舉和猜想等多種思維，這些思維既有聯系又有區別，且有一定的特點。教師要選擇合適的數學思維來教學，例如猜想思維比較適用于低年級學生掌握基礎運算，轉化思維則適合高年級學生用來突破自我。

總之，培養學生的數學思維是一件任重而道遠的事，教師一定要注意理論與實際的結合，并利用“雞兔同籠”問題在不同的教學場景中調整教學目標，幫助學生掌握數學思維，學習更多的解題思路，以達到最優的學習效果。

[ 參 考 文 獻 ]

[1] 馮鏡.“雞兔同籠”教學紀實與反思[J].黑龍江教育：小學，2017（5）：22-24.

[2] 陽志強.“假設法”在小學數學教學中的實踐研究[J].珠江教育論壇，2017（4）：13-17.

[3] 花沐露.淺談數學史融入小學數學教學的方略[J].教育研究與評論（課堂觀察），2017（3）：93-94.

[4] 孫雯莉.小學思維訓練中數學建模思想的運用探究[J].教師，2017（23）：43-43.

（責編 黃 露）