初中數(shù)學(xué)之數(shù)形結(jié)合的運用

杜光容

【摘要】初中是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要階段，對學(xué)生邏輯思維能力和解題思路的要求很高。建立數(shù)學(xué)思想方法是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，也是解題的關(guān)鍵。數(shù)形結(jié)合是一種普遍的數(shù)學(xué)思想方法，對于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力具有重要意義。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;初中數(shù)學(xué);解題思路

數(shù)學(xué)作為一門研究數(shù)量關(guān)系和空間圖像的重要學(xué)科，是將社會規(guī)律和自然規(guī)律結(jié)合的一種有效工具和語言。數(shù)形結(jié)合利用了數(shù)量與圖形之間特有的關(guān)系，將數(shù)量與圖形相互轉(zhuǎn)換，將抽象和模糊的問題變得具體和實際，是一種簡化問題的數(shù)學(xué)思想方法。

一、數(shù)形結(jié)合的意義作用

（一）引導(dǎo)問題解答

在解題過程中運用數(shù)形結(jié)合思想，可以將解題過程形象簡單地展現(xiàn)在學(xué)生的面前，并且可以給學(xué)生展現(xiàn)層次分明的邏輯脈絡(luò)，使得學(xué)生能從抽象思維轉(zhuǎn)向形象思維，同時削弱由于數(shù)學(xué)問題的抽象性而導(dǎo)致的復(fù)雜與困難程度。

（二）激發(fā)學(xué)習(xí)興趣

數(shù)形結(jié)合在數(shù)學(xué)解題中的優(yōu)勢非常突出，在教學(xué)實踐中，充分利用數(shù)形結(jié)合可以收到很好的教育傳導(dǎo)效果。教師在教學(xué)過程中通過這一手段，順勢引導(dǎo)，將會提高學(xué)生的關(guān)注度，可以幫助學(xué)生盡快地找到簡化問題、解決問題的思路和方法，縮短解題過程，同時還能培養(yǎng)學(xué)生的自主創(chuàng)新能力和開拓精神，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和熱情。

（三）增強數(shù)學(xué)記憶

圖形語言相對于數(shù)學(xué)語言更形象直觀，基于圖形語言的記憶速度快、印象深。笛卡爾曾經(jīng)說過：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦子了。”因此，在教學(xué)實踐中，圖形語言被廣泛應(yīng)用，這也是基于圖形是“形象”的，語言是“抽象”的。現(xiàn)在的初中數(shù)學(xué)課本各冊、章、節(jié)，包括練習(xí)題都配以圖形，插圖緊緊圍繞本章、本例、本題的主要知識和方法而展現(xiàn)。在教育教學(xué)中，我們應(yīng)充分利用這些插圖，結(jié)合實際例子，為學(xué)生講解知識要點。

二、初中數(shù)學(xué)內(nèi)容本就蘊含數(shù)形結(jié)合思想

通俗而言，數(shù)形結(jié)合就是代數(shù)與幾何相結(jié)合，這在初中數(shù)學(xué)中無處不見。

（一）有理數(shù)中蘊含數(shù)形結(jié)合思想

有理數(shù)的加法法則、乘法法則都是通過數(shù)字結(jié)合圖形總結(jié)歸納出來的，每一個有理數(shù)都可以在數(shù)軸上找到相對應(yīng)的點，因此，比較兩個有理數(shù)的大小，實際上是通過這兩個有理數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置來進行比較的。又比如絕對值、相反數(shù)是通過數(shù)軸上的點到原點的距離來表述的。

（二）不等式蘊含數(shù)形結(jié)合思想

在“一元一次不等式和一元一次不等式組”的教學(xué)中，由于學(xué)生對于不等式組理解不深刻，通常把不等式解集代入到數(shù)軸中幫助學(xué)生理解，使學(xué)生直觀地理解“不等式有無數(shù)個解”這一概念。

（三）函數(shù)蘊含數(shù)形結(jié)合思想

許多學(xué)生對函數(shù)的概念不清楚，并且對函數(shù)這一知識點的理解十分模糊，因此，教師通常把一次函數(shù)表達式y(tǒng)=kx+b代入直角坐標系中理解。事實上，把函數(shù)放到直角坐標系中，絕大部分函數(shù)題能夠得到解決，而且學(xué)生對于數(shù)學(xué)的理解會變得更加深刻。

（四）應(yīng)用題蘊含數(shù)形結(jié)合思想

在解答初中數(shù)學(xué)的行程問題、工程問題、統(tǒng)計問題的時候，都可以畫出相應(yīng)的示意圖，來表示相互之間的關(guān)系，直觀、形象，而且一目了然。

三、妙用數(shù)形結(jié)合，讓初中數(shù)學(xué)解題思路更清晰

（一）以數(shù)解形，進行精確分析

在初中數(shù)學(xué)中，圖形直觀是“形”的一大優(yōu)點，可是“形”也有不逮之處，有時候直接觀察簡單的圖形卻看不出規(guī)律，這時候就需要用代數(shù)來分析計算。例1：求直線y=2x一2與拋物線y=x²+3x-2的交點坐標。通過分析本題，可以在直角坐標系中大概畫出該直線與拋物線的圖像，并發(fā)現(xiàn)它們的交點，卻無法準確求出交點的坐標，圖形簡潔直觀，卻并不精確。這時，我們便可以借助“數(shù)”，交點的坐標同時滿足直線和拋物線，我們便可以把交點的橫坐標和縱坐標當作直線和拋物線方程組的解，這就是以數(shù)解形。

（二）以形助數(shù)，思路變得直觀

從例題1中，我們可以體會到當“數(shù)”與形相結(jié)合時效果驚人，“形”具有直觀、形象的特點，并且能將復(fù)雜的思維簡便地表達出來，將枯燥無味的數(shù)學(xué)理論用圖形表達出來，使枯燥的數(shù)學(xué)理論變得更具有趣味性，也讓學(xué)生做題時的思路變得十分直觀。當我們遇到非常復(fù)雜的題目而束手無策時，便可以將形的問題合理地轉(zhuǎn)化為數(shù)的問題，把圖形的位置關(guān)系具體地轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系，再對所得數(shù)量關(guān)系進行分析和計算。例2：解不等式x-1≥-x²+2x+1。分析：在面對二次函數(shù)不等式時，初中學(xué)生常常感到困惑，為此我們可以用圖像法來解決此類問題。令y1=x-1，y2=x²+2x+1，然后在同一坐標系中畫出函數(shù)y1和y2的圖像，函數(shù)y1在y2圖像上方對應(yīng)的范圍就是此不等式的解集，因此解此不等式需要先求出函數(shù)y1和y2的交點（2，1），（-1，-2），然后觀察圖像，得出結(jié)論：x≥2或x≤-1。

（三）數(shù)形變換，思維更加清晰

無論以數(shù)解形還是以形助數(shù)，都充分地向我們展示了數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢，其實我們在解決實際問題時，許多數(shù)學(xué)問題普遍能運用到數(shù)形結(jié)合。當然，我們要做到的不僅僅是以數(shù)解形或是以形助數(shù)，而是需要靈活地轉(zhuǎn)換二者，學(xué)會靈活變通，理解題意，才可以有效地運用數(shù)形結(jié)合，將數(shù)學(xué)問題化難為易，找到便捷有效的解題方法。數(shù)形貫穿了初中數(shù)學(xué)的兩條主線，也就是數(shù)量和圖形，數(shù)形結(jié)合不僅幫助學(xué)生提高學(xué)習(xí)效率，還提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。不論是從數(shù)到形，還是從形到數(shù)，無一不需要學(xué)生具備代數(shù)運算、圖形轉(zhuǎn)換的基礎(chǔ)和習(xí)慣。妙用數(shù)形結(jié)合解題，能讓抽象的問題具體化、復(fù)雜的問題簡單化，拓寬思維范疇，使解題思路更清晰。