初中數學之數形結合的運用

杜光容

【摘要】初中是學習數學的重要階段，對學生邏輯思維能力和解題思路的要求很高。建立數學思想方法是學好數學的關鍵，也是解題的關鍵。數形結合是一種普遍的數學思想方法，對于提高學生的數學邏輯思維能力具有重要意義。

【關鍵詞】數形結合;初中數學;解題思路

數學作為一門研究數量關系和空間圖像的重要學科，是將社會規律和自然規律結合的一種有效工具和語言。數形結合利用了數量與圖形之間特有的關系，將數量與圖形相互轉換，將抽象和模糊的問題變得具體和實際，是一種簡化問題的數學思想方法。

一、數形結合的意義作用

（一）引導問題解答

在解題過程中運用數形結合思想，可以將解題過程形象簡單地展現在學生的面前，并且可以給學生展現層次分明的邏輯脈絡，使得學生能從抽象思維轉向形象思維，同時削弱由于數學問題的抽象性而導致的復雜與困難程度。

（二）激發學習興趣

數形結合在數學解題中的優勢非常突出，在教學實踐中，充分利用數形結合可以收到很好的教育傳導效果。教師在教學過程中通過這一手段，順勢引導，將會提高學生的關注度，可以幫助學生盡快地找到簡化問題、解決問題的思路和方法，縮短解題過程，同時還能培養學生的自主創新能力和開拓精神，提高學生學習的興趣和熱情。

（三）增強數學記憶

圖形語言相對于數學語言更形象直觀，基于圖形語言的記憶速度快、印象深。笛卡爾曾經說過：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦子了。”因此，在教學實踐中，圖形語言被廣泛應用，這也是基于圖形是“形象”的，語言是“抽象”的。現在的初中數學課本各冊、章、節，包括練習題都配以圖形，插圖緊緊圍繞本章、本例、本題的主要知識和方法而展現。在教育教學中，我們應充分利用這些插圖，結合實際例子，為學生講解知識要點。

二、初中數學內容本就蘊含數形結合思想

通俗而言，數形結合就是代數與幾何相結合，這在初中數學中無處不見。

（一）有理數中蘊含數形結合思想

有理數的加法法則、乘法法則都是通過數字結合圖形總結歸納出來的，每一個有理數都可以在數軸上找到相對應的點，因此，比較兩個有理數的大小，實際上是通過這兩個有理數在數軸上對應點的位置來進行比較的。又比如絕對值、相反數是通過數軸上的點到原點的距離來表述的。

（二）不等式蘊含數形結合思想

在“一元一次不等式和一元一次不等式組”的教學中，由于學生對于不等式組理解不深刻，通常把不等式解集代入到數軸中幫助學生理解，使學生直觀地理解“不等式有無數個解”這一概念。

（三）函數蘊含數形結合思想

許多學生對函數的概念不清楚，并且對函數這一知識點的理解十分模糊，因此，教師通常把一次函數表達式y=kx+b代入直角坐標系中理解。事實上，把函數放到直角坐標系中，絕大部分函數題能夠得到解決，而且學生對于數學的理解會變得更加深刻。

（四）應用題蘊含數形結合思想

在解答初中數學的行程問題、工程問題、統計問題的時候，都可以畫出相應的示意圖，來表示相互之間的關系，直觀、形象，而且一目了然。

三、妙用數形結合，讓初中數學解題思路更清晰

（一）以數解形，進行精確分析

在初中數學中，圖形直觀是“形”的一大優點，可是“形”也有不逮之處，有時候直接觀察簡單的圖形卻看不出規律，這時候就需要用代數來分析計算。例1：求直線y=2x一2與拋物線y=x²+3x-2的交點坐標。通過分析本題，可以在直角坐標系中大概畫出該直線與拋物線的圖像，并發現它們的交點，卻無法準確求出交點的坐標，圖形簡潔直觀，卻并不精確。這時，我們便可以借助“數”，交點的坐標同時滿足直線和拋物線，我們便可以把交點的橫坐標和縱坐標當作直線和拋物線方程組的解，這就是以數解形。

（二）以形助數，思路變得直觀

從例題1中，我們可以體會到當“數”與形相結合時效果驚人，“形”具有直觀、形象的特點，并且能將復雜的思維簡便地表達出來，將枯燥無味的數學理論用圖形表達出來，使枯燥的數學理論變得更具有趣味性，也讓學生做題時的思路變得十分直觀。當我們遇到非常復雜的題目而束手無策時，便可以將形的問題合理地轉化為數的問題，把圖形的位置關系具體地轉化為數量關系，再對所得數量關系進行分析和計算。例2：解不等式x-1≥-x²+2x+1。分析：在面對二次函數不等式時，初中學生常常感到困惑，為此我們可以用圖像法來解決此類問題。令y1=x-1，y2=x²+2x+1，然后在同一坐標系中畫出函數y1和y2的圖像，函數y1在y2圖像上方對應的范圍就是此不等式的解集，因此解此不等式需要先求出函數y1和y2的交點（2，1），（-1，-2），然后觀察圖像，得出結論：x≥2或x≤-1。

（三）數形變換，思維更加清晰

無論以數解形還是以形助數，都充分地向我們展示了數形結合的優勢，其實我們在解決實際問題時，許多數學問題普遍能運用到數形結合。當然，我們要做到的不僅僅是以數解形或是以形助數，而是需要靈活地轉換二者，學會靈活變通，理解題意，才可以有效地運用數形結合，將數學問題化難為易，找到便捷有效的解題方法。數形貫穿了初中數學的兩條主線，也就是數量和圖形，數形結合不僅幫助學生提高學習效率，還提高了學生學習數學的興趣。不論是從數到形，還是從形到數，無一不需要學生具備代數運算、圖形轉換的基礎和習慣。妙用數形結合解題，能讓抽象的問題具體化、復雜的問題簡單化，拓寬思維范疇，使解題思路更清晰。