數學模型在數學教學中的應用

陳云云

摘要：模型的思想對于學生乃至任何人都有著舉足輕重的作用，大學里面我們用建模去解決一類問題，帶著這樣的思考，縱觀小學數學的內容，你會發現在小學的數學內容中其實也貫穿這很多的數學模型，怎樣利用這些數學模型，并讓學生通過模型的學習去掌握數學知識和發現數學知識的前后關聯，對于教師來說是個課題。

關鍵詞：數學模型 小學數學教學 轉化 便捷之路

在這幾年的教學中，一直在思考的問題就是怎樣把“數學建模的思想運用在小學數學教學中”。下面從以下幾點做出闡述。

一、數學模型的概念

數學模型[1]。（Mathematical Model）是一種模擬，是用數學符號、數學式子、程序、圖形等對實際課題本質屬性的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現象，或能預測未來的發展規律，或能為控制某一現象的發展提供某種意義下的最優策略或較好策略。數學模型一般并非現實問題的直接翻版，它的建立常常既需要人們對現實問題深入細微的觀察和分析，又需要人們靈活巧妙地利用各種數學知識。這種應用知識從實際課題中抽象、提煉出數學模型的過程就稱為數學建模（Mathematical Modeling）。簡言之“數學模型是對于一個現實的特定對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。”在義務教育階段數學中，用字母、數字及其他數學符號建立起來的代數式、關系式、方程及各種圖表、圖形等都是數學模型。

二、義務教育階段中的數學模型

史寧中教授在《數學思想概論》中提出：“數學發展所依賴的思想在本質上有三個：抽象、推理、模型，……通過抽象，在現實生活中得到數學的概念和運算法則，通過推理得到數學的發展，然后通過模型建立數學與外部世界的聯系”。由此可見，模型思想在義務教育數學教學中的作用舉足輕重。

自己的教育理想就是“把數學建模思想應用于教學中，培養學生的發散思維，嘗試靈動課堂的構建并形成自己的教學風格。”從教二年半，自己從懵懂的站上講臺到現在漸漸地能摸索出一些自己的方法，雖然還不是很成熟，但是相信不斷的嘗試終有一天會游魚得水。《數學課程標準》[2]中把義務教育階段的數學知識分為三大領域，即數與代數部分，空間與圖形部分和統計與概率部分。“宏觀層面上，數學知識對于學生的發展價值，除了提供數學知識以外，還可以提供學生特有的運算符號和邏輯系統，使學生具有數學的話語系統;提供學生認識事物數量，數形關系及轉換的不同路徑和不同視角，使學生具有數學的眼光;提供發現數學數量關系、數形關系及轉換的方法和思維策略，使學生具有數學的頭腦;提供學生一種唯有在數學學科中才可能經歷和體驗并建立起來的獨特思維方式。”[3]

三、數學模型在教學中的存在

對學生數學模型意識的培養，要從低年級循序漸進，首先對低年級的學生我是通過實例和日常教學培養孩子模型的意識，到高年級漸漸地讓孩子自己抽象出模型并學會運用模型，“確定位置”的數學模型是立體坐標系。學生在一年級接觸到的一列隊伍中“小明男孩排在第2個”，是一維空間上的確定位置;在二年級接觸到的“小明坐在第3排第4個”，是二維空間上的確定位置;五年級學習的“數對”則是初步抽象的二維坐標模型。再到后來學習的折線統計圖更加是我們初中階段的函數圖象的數學模型，在教學中如果我們教師注意到這樣的數學模型存在，并不斷的去強化和滲透一定能為學生將來在高中階段學習立體坐標系提供很好的支持。其實這樣的例子在小學數學內容的安排上有很多的例子，還有如圖形面積公式的推導，其實就是轉化模型的具體應用，梯形的面積是轉化成平行四邊形，后來圓的面積同樣是轉化成長方形。

四、數學模型的載體和實施

2013年8月份我有幸來到翡翠學校，在華師大的集中培訓下，自己接受了很多新的教育理念，終于為自己認識到的小學教學中的數學模型找到了一個載體，那就是吳亞萍老師的“教結構，用結構”以及課堂教學中的三放三收。

找到了數學模型的載體后，自己在當前的教學中，不斷的去嘗試，去完善這種教學方法。在開學之初，結合自己寒假的思考，我開始運運用這種方法。

【教學片段1】

出示情境圖。

師：請同學們認真數一數，大猴子面前有多少個桃？

生：有13個桃。

師：你真棒！誰再來說一說小猴子告訴了我們什么。

生：小猴子說“我買了9個。”

師：很好！現在我們來把著兩個信息連起來看看，你有什么想問的嗎？你知道怎樣列式嗎？

生：還剩多少個？13-9=4。

教師聽了滿意地點點頭，板書13-9=4。

接著教學13-9=4的計算方法。

【教學片段2】

出示情境圖。（同上）

師：誰來說一說第一幅圖，你看到了什么？

生：從圖中我看到了大猴子面前有13個桃子。

師：來了一只小猴子，小孩子想干嘛？

生：小猴子說“我買9個”。

師：你能把兩句話連起來說嗎？

生：大猴子有13個桃子，小猴子買了9個。

師：同學們觀察得很仔細，也說得很好。說完之后，你有什么想問的嗎？

生：大猴子有13個桃子，小猴子買了9個，還剩幾個？

生（齊）：4個。

師：對，大家能不能用小棒代替桃子，將計算過程擺一擺呢？

（教師在行間指導學生擺小棒，并請一生將小棒擺在投影儀的下面。）

師：（結合情境圖和擺小棒的過程說明）大猴子有13個桃子，小猴子買了9個，還剩4個。

生1：從13根小棒中一根一根拿，拿走9個，還剩4個。所以13-9=4。

生2：從10根里面拿走9根，剩下1根加上另外的3根，所以13-9=4。

生3：從13根里面先拿走3根，再拿走6根，13-3=10，10-6=4。所以13-9=4。

生4：9加（4）等于13，13減9得4。

師：同學們說得真好！你喜歡哪種計算方法呢？請同桌互相說一說。

師小結：像這樣的四種計算方法，我們分別把它們叫做一個一個的減，破十法，平十法，還有想加得減法。并分別用多媒體課件演示。其實呀這些方法我們不僅可以算13減9，還可以算很多的十幾減9的算式呢，你能舉例說明嗎？

生1：12-9=因為12-2=10.10-7=3所以12-9=3。

生2：15-9=因為9加6等于15，所以15-9=6。

……

上述兩段教學，所體現出來的教學方法和效果是完全不一樣的。第一個片段，屬于“就教材教教材”式的簡單教學，這是我第一次拿到課本對教學的定位，感覺完全停留在知識傳授的層面上，“13-9=4”僅是一道題的解答算式的計算方法而已。第二個片段，是自己在一年教學后，對教學的重建，除了教學充分展開外，更主要的是滲透了初步的數學建模思想，訓練的是學生抽象、概括、舉一反三的學習能力。且這種訓練并不是簡單、生硬地進行，而是和低年級學生數學學習的特點相貼切，由具體、形象的實例開始，借助操作予以內化和強化，最后通過思維發散和聯想加以推廣，把13-9=的計算方法推廣到十幾減9，甚至是后面的十幾減8等教學中，真正做到了教結構，用結構，讓學生用已經學到的模型去解決新的知識。

結束語

數學課堂上數學知識概念、命題、問題和方法等到處都存在“數學模型”的影子，用數學建模的思想來指導著小學數學教學，給我們的數學教學帶來了便捷之路，也給學生的知識積累帶來了便捷之路。

參考文獻：

[1] 姜啟源謝金星葉俊《數學模型第三版》，高等教育出版社，2008年.

[2]《義務教育數學課程標準》，北京師范大學出版社，2012，16-26.

[3]吳亞萍，小學數學教學新視野 [M]，上海教育出版社，2006，32.