高中數學解題教學的三點策略

邱尚程

摘 要：解題訓練是高中數學教學的重要組成部分，學生的解題能力直接關系著其高考成績。高中數學教師應給予解題訓練最大限度的重視。本文結合題例簡要探討了三點高中數學解題教學策略，即注重數學思想，總結提煉；一題多解訓練，拓展思維；反思錯題原因，找到根源。

關鍵詞：高中數學；數學解題；解題教學；教學策略

解題訓練是高中數學教學的重要組成部分，學生的解題能力直接關系著其高考成績。高中數學教師應給予解題訓練最大限度的重視，并注重在習題教學中探索和總結相關策略，以期望不斷促進訓練效果，提升學生實際結題能力。本文擬就高中數學解題教學談幾點策略性意見，希望對一線教師有所啟示。

一、注重數學思想，總結提煉

在高中數學解題中，數學思想及方法的合理運用往往是正確解題的關鍵。教師應在習題教學中多引入一些蘊含著經典數學思想及方法的題目，供學生訓練，并注重引導學生加以總結提煉，體會其運用之道，從而從深層次上提升解題能力。例如：“設函數f（x）=|2x+1|+|x-1|，求解：（1）畫出y=f（x）的圖像；（2）當x∈[0，+∞），f（x）≤ax+b，求a+b的最小值。”該題比較簡單，但有一定典型性，第一問的解答需要用道基本的分類討論思想，即對定義域進行分類討論，f（x）=|2x+1|+|x-1|可變形為f（x）=-3x（x<-1/2）；x+2（-1/2≤x<1）；3x（x≥1），是一個分段函數。第二問則用到數學結合思想和不等式思想，亦比較容易，具體只要觀察函數圖像注意到y=f（x）的圖像與y軸交點的縱坐標為2，且各段圖像所在直線的斜率的最大值為3，即可求解，即當且僅當a≥3且b≥2時，f（x）≤ax+b在[0，+∞）成立，因此a+b的最小值為5。

二、一題多解訓練，拓展思維

很多高中數學題目有著一種以上的解法，也就是所謂“一題多解”。事實證明，一題多解訓練可以有效促進學生的解題能力，有助于數學思維品質的發展，特別是思維的靈活性和創新性。在平時的習題教學中，教師要適當地引入一些具有代表性的一題多解題目供學生訓練。例如：已知（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，試證明x、y、z成等差數列。

思路1：要想證明x、y、z為等差數列，必須求得x-y=y-z，而這一結論只能由已知條件推導得出，所以看到此題時最直觀的想法便是展開已知條件去尋求轉換。將（z-x）2-4（x-y）（y-z）展開并整理，不難得到x-y=y-z，即證得x、y、z成等差數列。

思路2：觀察已知條件（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，其中x-y、y-z、z-x三項具有“對稱輪換”的特點，那么我們就可以利用此特點采用換元法減少代數式中的字母數量，從而大大簡化轉換運算。具體可設x-y=a；y-z=b，則易得x-z=a+b，這時已知代數式可轉換為（a+b）2-4ab=0，通過推導可得出a=b，即x-y=y-z，故x、y、z成等差數列。

思路3：仔細觀察代數式（z-x）2-4（x-y）（y-z），如果設z-x=b，x-y=a，y-z=c，則其便呈現出二次方程判別式的形式特點，即b2-4ac，這就提供利用二次方程判別式相關知識求解的可能。此時分類討論：當x-y=0時，對已知條件推導易得z-x=0，所以有x=y=z，三者成等差數列；當x-y不等于0時，關于t的一元二次方程（x-y）t2+（z-x）t+（y-z）=0的判別式（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，所以方程有等根，而t=1為方程的一個根，所以方程的兩個根均為1，然后利用韋達定理即可順利求解。

三、反思錯題原因，找到根源

對學生而言，錯題反思是解題訓練中必不可少的一環，只有通過深入的分析找到根源，才能發現自身知識結構的弱點或思維上的某些盲點，從而獲得真正提升，并在以后不再犯同類錯誤。只有這樣，習題訓練才能真正起到作用。反之，若只講正確答案或者對出錯原因只停留在表面，則無異于失去使學生獲取針對性提升的良機。例如：“若銳角△ABC中角B是角A的2倍，則cosA+cosB的取值范圍是多少？”比較典型的錯誤解答過程是：cosA+cosB=cosA+cos2A=2cos2A+cosA-1=2（cosA+1/4）2-9/8，由于△ABC為銳角三角形且B是角A的2倍，故有A∈（0，π/4），cosA∈（0， /2），所以cosA+cosB=2（cosA+1/4）2-9/8在cosA∈（0， /2）上單調遞增，由此得到cosA+cosB∈（-1， /2）。那么錯誤的原因在哪里呢？表面上看是忽略了C=π-（B+A），C∈（0，π/2），從而得到A>π/6，A的區間大小錯誤而導致解答錯誤，但實際上，深層次的原因是忽略了C為銳角時對角A得制約，致使求得的A的區間變大，而從根源上看，則是解題者對銳角三角形的定義沒有全面而切實掌握，沒有合理地利用上銳角三角形中任意兩個銳角兩個角的和為鈍角這一隱含條件。而這在三角函數解題中又常常是正確解題的關鍵性條件。這樣，通過對出錯根源的剖析而明確本質原因，自然就能夠真正掌握該題，并在同類題目中不再犯同樣的錯誤。

綜上，本文結合題例簡要探討了三點高中數學解題教學策略，即注重數學思想，總結提煉；一題多解訓練，拓展思維；反思錯題原因，找到根源。事實上，高中數學解題是一個兼具深度和廣度的教學課題，一線教師要注重在平時的習題教學中不斷探索和總結，以期不斷提升解題教學的有效性。

參考文獻：

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