淺談高中數學思想方法的應用

徐冬梅

摘 要：數學思想方法是數學知識的核心和精髓，是有效解決數學問題的重要手段，在學生的學習和思維發展中起著十分重要的作用。本文從“數形結合思想”“分類討論思想”“轉化化歸思想”三個方面展開討論，通過分析它們在高中數學中的應用，旨在幫助學生靈活應用數學思想解決實際問題，培養數學綜合素養。

關鍵詞：高中數學；數學思想方法；靈活應用

高中數學的知識較為抽象、復雜，數學思想能夠幫助學生形成對知識的良好認知，提高思考、分析和解決問題的能力。但同時，由于高中數學知識的龐雜繁多，許多教師和學生受傳統觀念的束縛，只是一味重視淺層的數學知識和解題步驟，忽視了背后隱藏的數學思想，依靠題海戰術去緩慢摸索題目背后的思想，浪費大量的時間和精力，學習效果不甚理想。因此，廣大數學教師必須要更新教學理念，在教學中加強對數學思想方法的重視，同時在課堂上逐漸滲透這些思想。

一、利用數形結合思想，快速分析問題

數形結合思想是將數量關系和空間圖象結合在一起的一種思想，由于數學的學習研究總是圍繞“數”和“形”進行的，所以數形結合思想能夠有效幫助學生抓住問題的本質，通過將抽象的問題轉化為具體的“形”，避開繁瑣的推導和運算，使得解題過程更為簡便。

例如，在“函數單調性和奇偶性”的學習中就頻繁地用到了數形結合思想。教師可以利用圖象來解釋增減函數、奇偶函數的定義，借圖象可舉一些反例來強調學生往往容易忽略的“任意”二字的含義。在類似“討論函數f（x）=1/x（x∈R）的單調性”這樣的問題中，學生很容易將答案寫成“函數f（x）=1/x在定義域內單調遞減”或是“函數f（x）=1/x在 內單調遞減”，針對這種常見的問題，教師就可以利用反比例函數的圖象來解釋為什么該函數在定義域內不是單調遞減的，幫助學生從圖象直觀地理解概念，找到思維誤區，有效糾正錯誤。此外，在解決函數問題時，往往也可以應用數形結合思想先將簡單函數圖象作出，再根據直觀的圖象理清思路，逐步分析。例如在習題“求函數 的值域”中，就可以先畫出以1/2為底的對數函數圖象，從圖象中找到定義域范圍內的值域，再將這個值域加3。這樣的做法直觀簡便，不容易犯錯。

二、利用分類討論思想，規范解題

分類討論思想雖然較為基礎，但其應用十分廣泛，不僅能幫助學生在解題時形成條理清晰的嚴謹思路，而且有助于學生將學過的諸多知識進行歸納總結，形成系統化的知識網絡。

例如，在解決集合問題時，因為集合之間的關系和運算較為繁瑣，有時會出現很多中符合題目要求的情況，此時就可以利用分類討論思想去理清思路。在問題“已知集合 ，集合 ，且A∪B=A，求k的取值范圍”中，學生往往不夠嚴謹，會遺漏B=?這樣的情況，教師就可以在示范講解時，規范作答：“①B=?時，k+1 2k-1；②B ?時，2k-1 4；k+1 3”。這樣親身示范，逐漸滲透分類討論思想。再如，必修二立體幾何的知識點十分繁雜，教師就可以引導學生進行分類整理，將柱體、椎體和臺體的幾何特征進行歸納總結，再結合判斷題去分析每一條特征，找到常見的一些題目設置的陷阱，在無形中滲透分類討論思想，使學生在潛移默化中養成嚴謹的思路和良好的學習習慣。

三、利用轉化化歸思想，解決復雜問題

許多數學問題，若是從何正面思考并進行攻克，雖然可行，但其解題過程不論是對計算量還是思維量的要求都十分高，有一定的難度。此時，利用轉化化歸思想，采用一定的手段將問題進行變換轉化，將未知解的問題轉化到已知的、可解的知識范圍內，化復雜為簡單，化陌生為熟悉，就會事半功倍。

例如，在問題“求函數 的反函數的定義域”中，“反函數”是學生接觸較少的知識，若是從正面思考，就要先求出函數的反函數，再利用函數的性質結合圖象來分析其定義域，對學生對定義的理解應用和思維量都有較高的要求，此時可考慮將陌生的知識轉化到熟悉的領域內，即利用“反函數的定義域就是原函數的值域”這個知識點，將問題轉化為“求函數 的值域”，就使解題過程變得容易許多。再如，如果按照討論開口方向、對稱軸、判別式、區間端點值的正負去解決某些一元二次方程根的分布的題目，就需要很高的分析能力和十分嚴謹的思路，學生往往很難想得那么全面。因此，如果方程中出現了參數，并且能將其分離，那么往往采用分離參數的辦法，將問題轉化為求參數的范圍，就只需要將參數另一邊的式子看作一個函數，去求解其值域即可。這個過程明顯就簡單了許多。

總之，數學思想方法在教師在潛移默化中教授給學生的，教師在實踐教學中，要不斷總結教學經驗，并結合實際的學情，對數學概念、公式、經典題目等進行深入挖掘，幫助學生掌握數學思想，以使學生能夠舉一反三，達到靈活應用數學知識的目的。

參考文獻

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