培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維“四部曲”

郭惠煌

摘? ?要：隨著新課改不斷地深化，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要致力于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，而數(shù)學(xué)素養(yǎng)的關(guān)鍵是學(xué)生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的形成。抽象思維是數(shù)學(xué)思維一種形式。結(jié)合課堂實(shí)例進(jìn)行分析和探討，提出培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)抽象思維的四策略，以期促進(jìn)學(xué)生綜合能力的全面發(fā)展。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué);數(shù)學(xué)思維;抽象思維;策略

中圖分類號(hào)：G623.5? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1009-010X（2019）31-0062-03

新課程實(shí)施以來，許多教師都在轉(zhuǎn)變自己的教學(xué)方式以及變革學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，致力于提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)思維是學(xué)生應(yīng)該具有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)之一。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》談到“數(shù)學(xué)教育既要使學(xué)生掌握現(xiàn)代生活和學(xué)習(xí)中所需要的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，更要發(fā)揮數(shù)學(xué)在培養(yǎng)人的思維能力和創(chuàng)新能力方面的不可替代的作用。”

數(shù)學(xué)思維是指能夠用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)去思考問題和解決問題的能力。數(shù)學(xué)思維里兩大對立思維：形象思維和抽象思維。小學(xué)數(shù)學(xué)形象思維主要是用直觀形象和表象解決問題的思維。在實(shí)際教學(xué)中，小學(xué)生也傾向于以形象思維為主。小學(xué)數(shù)學(xué)抽象思維是指主要運(yùn)用概念、判斷、推理來反映現(xiàn)實(shí)的思維過程。數(shù)學(xué)對象以及數(shù)學(xué)理論的最終形式都是抽象思維的產(chǎn)物。抽象思維是數(shù)學(xué)思維的高級(jí)形式。數(shù)學(xué)發(fā)展所依賴的最重要的基本思想就是抽象。

運(yùn)用抽象思維學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)才能使學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從干瘦走向豐盈，從粗淺走向深刻，才能使學(xué)生真正會(huì)學(xué)數(shù)學(xué)。筆者結(jié)合具體實(shí)例淺談培養(yǎng)小學(xué)數(shù)學(xué)抽象思維的四策略。

一、豐富實(shí)踐活動(dòng)，邁向抽象思維

小學(xué)生抽象思維的形成是離不開實(shí)踐活動(dòng)的。活動(dòng)是認(rèn)識(shí)的源泉，又是抽象思維展開的基礎(chǔ)。心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為思維的發(fā)展過程就是在實(shí)踐活動(dòng)中主體對客體的認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)不斷建構(gòu)的過程。抽象思維亦如此。動(dòng)手操作是一種帶著強(qiáng)烈數(shù)學(xué)意識(shí)的活動(dòng)，動(dòng)手操作能及時(shí)促進(jìn)大腦思考，所以抽象思維的展開需要大量的實(shí)踐活動(dòng)來支撐。教師在教學(xué)的過程中要盡可能提供給學(xué)生豐富的實(shí)踐活動(dòng)，使學(xué)生在做的過程中深入思考，促使其抽象思維螺旋上升，使他們的知識(shí)得到有意義的建構(gòu)，并且確保學(xué)生抽象思維的形成有理有據(jù)。

人教版五年級(jí)下冊“找次品”例2“8個(gè)零件里有1個(gè)次品（次品重些）。假如用天平秤，至少稱幾次能保證找出次品”。教師應(yīng)該讓學(xué)生動(dòng)手模擬天平秤一秤找出所有方案，學(xué)生自己從中挑出最優(yōu)方案（3，3，2）。學(xué)生在動(dòng)手找方案的過程中會(huì)不斷去尋求最優(yōu)方案，從而找到方案越來越多，學(xué)生抽象思維萌芽：“每次羅列出所有方案太費(fèi)時(shí)，這種方案有什么特點(diǎn)呢？”教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生找到這種方案的存在形式“分成3份，盡量等分”。緊接著學(xué)生抽象思維開始滋長：“為什么分3份次數(shù)最少”，從而才有機(jī)會(huì)深入學(xué)習(xí)，促進(jìn)其抽象思維形成。學(xué)生展開抽象思維要依賴于剛才的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，引導(dǎo)他們觀察剛才的實(shí)踐活動(dòng)，通過（2，2，2，2），（1，1，1，1，1，1，1，1），（1，1，6），（2，2，4），（3，3，2）這些方案不難推出“零件剩下越多越難找出次品，要最少次數(shù)找出次品就應(yīng)該讓每秤完一次，剩余的零件個(gè)數(shù)越少越好找”，最后抽象思維形成：分越多份只會(huì)第一次排除走的零件個(gè)數(shù)越少，剩的越多;分3份且要盡量等分才能在第一次就排除走最多非次品零件，從而剩余零件越少。

二、借助形象思維，深入抽象思維

形象思維可以快速溝通感性認(rèn)識(shí)和理性認(rèn)識(shí)。直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得明了，形象可以直觀呈現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，可以推動(dòng)學(xué)生深層次的思考。對于一些容易混淆、不易理解的數(shù)學(xué)知識(shí)，可以借助直觀，幫助學(xué)生鞏固知識(shí)，在每一次直觀展示知識(shí)點(diǎn)的過程中，引起學(xué)生主動(dòng)對知識(shí)進(jìn)行再次意義建構(gòu)，發(fā)展數(shù)學(xué)思考，學(xué)生的抽象思維得到有目的性的提升。形象思維是抽象思維形成的有力保障，適當(dāng)?shù)亟柚馕锟梢约铀賹W(xué)生抽象思維的形成，直至深觸抽象思維。

人教版五年上冊“植樹問題”，學(xué)生通過線段圖以及一一對應(yīng)的思想找到棵數(shù)和間隔數(shù)的關(guān)系，看似知識(shí)已通透，可在實(shí)際練習(xí)中，學(xué)生并不能靈活應(yīng)用。究其原因是處于新知識(shí)適應(yīng)期：植樹問題三種情況在一起容易混淆。如果學(xué)生在知識(shí)通透理解后，找到手與植樹問題的共通之處，然后遇題就借助“手”來推導(dǎo)植樹問題三種情況里棵數(shù)與間隔數(shù)的關(guān)系，久而久之，再慢慢引導(dǎo)學(xué)生擺脫“手”這個(gè)工具，相信三種情況在一起的情況下學(xué)生對棵數(shù)和間隔數(shù)都能靈活轉(zhuǎn)換，因?yàn)樾蜗笏季S在時(shí)間的歷練下，已經(jīng)印入到他們的腦子里，他們每一次從“手”上找到棵數(shù)與間隔數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，也再次思考每一種關(guān)系存在的背后原因，也就是形象思維漸漸地上升為抽象思維了。學(xué)生能靈活用之，就達(dá)到抽象思維全面通透，全面走入抽象思維。

三、探究數(shù)學(xué)本質(zhì)，遷移抽象思維

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)常借助直觀事物來幫助學(xué)生分析數(shù)學(xué)抽象問題，蘇霍姆林斯基也說道：“兒童的智慧在他的手指尖上。”兒童的思維是離不開實(shí)踐活動(dòng)的。可是通過直觀事物或者實(shí)踐活動(dòng)的表象得到的結(jié)論往往不能深深扎入他們骨髓里。只有深入挖掘知識(shí)本質(zhì)，呈現(xiàn)給學(xué)生數(shù)學(xué)原始的風(fēng)貌，知其然并知其所以然，才能幫助學(xué)生領(lǐng)悟到知識(shí)的真諦，豐富知識(shí)的結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的認(rèn)知深度，他們才能靈活運(yùn)用，摒棄機(jī)械模仿。如此舉一反三，觸類旁通，逐步培養(yǎng)抽象思維，并實(shí)現(xiàn)遷移。

人教版五年級(jí)下冊“2、3、5的倍數(shù)特征”，為什么3的倍數(shù)特征總是難以出來。2、5的倍數(shù)特征屬于外顯形式比較明顯，他們通過觀察外在形式就能得出的結(jié)論。但是如果教師在教學(xué)2、5的倍數(shù)特征就只局限于觀察表象得出結(jié)論，不去引領(lǐng)學(xué)生深入挖掘本質(zhì)，當(dāng)他們遇到3、4等這種數(shù)的倍數(shù)特征外顯形式較模糊的數(shù)，就難以找到知識(shí)存在的形式了。所以教師在找到2、5倍數(shù)特征后，應(yīng)該引領(lǐng)學(xué)生明白模型存在的本質(zhì)是：整十整百整千的數(shù)除以2或5，一定能整除，所以無論十位及以上的高級(jí)數(shù)位上為何數(shù)字，都能整除2或5，因此只需判斷個(gè)位能否整除2或5。有了這樣的鋪墊，才能促進(jìn)抽象思維的遷移，學(xué)生在研究3、4等數(shù)的倍數(shù)特征才會(huì)運(yùn)用抽象思維去思考其內(nèi)在的原因，推出模型存在的形式。

四、研討一題多解，升華抽象思維

一題多解可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，激發(fā)他們的積極性，還可以拓寬思路，升華抽象思維，使一些零散的知識(shí)得到有效地聚攏，展開橫、縱向的聯(lián)系。學(xué)生思考一題多解的過程，可以打破原有抽象思維的局限，從而拓寬思維廣度。在思考多種方法的過程中，可以引領(lǐng)學(xué)生將一道題所涉及的知識(shí)從不同方向、不同層面進(jìn)行深入探索，將題目做“透”、做“深”、做“廣”，教師也會(huì)有意想不到的收獲，學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)就是這樣產(chǎn)生的，而且也有利于他們總結(jié)解題規(guī)律，升華抽象思維。長期堅(jiān)持鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，抽象思維就可以得到有價(jià)值地提升。

五年級(jí)下冊“長方體和正方體”這單元老生常談的題目：“將一個(gè)長為18cm，寬和高都為6cm的長方體，切成3個(gè)最大的正方體，表面積增加多少cm2 ？”方法一：后來的表面積-原來的表面積=增加的表面積。這是大部分學(xué)生的解題思路。方法二：直接找到增加的是哪些面，算出這些增加面的面積就是增加的表面積。這種方法較簡單，所以筆者教學(xué)這題時(shí)更側(cè)重講解方法二。緊接著筆者為了讓學(xué)生分清兩種方法在何種情況較合適，就呈現(xiàn)了這題“一個(gè)棱長為12cm的正方體，可以切成幾塊棱長為4cm的小正方體，表面積增加多少cm2 ？”出題意旨是要讓學(xué)生明白增加幾個(gè)面不好看出來，所以應(yīng)該用方法一。可是學(xué)生呈現(xiàn)出3種方法。第1種是運(yùn)用方法一，第2種是運(yùn)用方法二。最讓教師驚喜的是第3種方法，學(xué)生不是求出增加了幾個(gè)小正方形的面積，而是轉(zhuǎn)為求增加幾個(gè)大正方形的面積，增加幾個(gè)大正方形的面好數(shù)出來，沿著長、寬、高三個(gè)不同的方向切下去，每個(gè)方向都能切3刀，每刀多兩個(gè)大正方形，每個(gè)方向多6個(gè)面，3個(gè)方向就多18個(gè)面。

課下仔細(xì)回味課上的思維碰撞，其實(shí)兩種方法都同等分量，筆者不該糾結(jié)兩種方法的適用性，學(xué)生在一題多解的思考過程中運(yùn)用了轉(zhuǎn)化和類推的思想，也溝通了轉(zhuǎn)化和推理的橋梁，發(fā)展了抽象思維。

培養(yǎng)小學(xué)生的抽象思維不是一蹴而就的，也不是一兩個(gè)課例就能立竿見影的，它是一個(gè)細(xì)水長流的過程。抽象思維的培養(yǎng)應(yīng)該貫穿于教學(xué)的始終，要在常態(tài)課中滲透，讓學(xué)生在實(shí)踐中體驗(yàn)，在思考中學(xué)習(xí)，在教與學(xué)的碰撞中慢慢地促進(jìn)形象思維和抽象思維的和諧統(tǒng)一，這樣才能真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]曾曉新.數(shù)學(xué)中的形象思維與抽象思維[J].湖南數(shù)學(xué)通訊，1993，（6）.

[2]曹培英.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的抽象思維及其教學(xué)策略[J].新教師，2017，（12）.

[3]中國人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.