初中數學三角形專題復習例題解析

柯孫長

摘要：三角形是初中階段重要的數學知識點之一，同時也是中考的考點，能夠與代數知識緊密聯系在一起，對提高學生邏輯思維十分有益，因此深受廣大數學教育工作者高度重視。在本篇文章中，筆者就初三階段如何更好地開展三角形專題復習，進行例題解析。

關鍵詞：初中數學;三角形;專題復習;例題解析

三角形作為中考數學中重要的考查點，受到廣大師生的關注，很多教師在復習過程中將三角形作為專題進行復習，希望能夠引導學生將所學習的關于三角形的知識點匯聚到一起，并且熟練掌握三角形解題方法和技巧，提高復習效率。

一、三角形的內角和例題解析

眾所周知，三角形內角和為一百八十度。很多學生在做題前都已經完全掌握了這一概念，但是中考中仍舊將之作為基本考查點，使其在識記這一結論基礎上，能夠熟練應用它的另外三個推論。數學教師在帶領學生復習三角形內角和時一定要緊密結合一些例題，使得他們學會應用所學三角形內角和知識點解答數學問題。

例題一：如圖1所示，已知ABC是頂角大小為60度的一個三角形，其中線段BD和線段CE分別平分角ABC和角ACB，并且兩個線段相交于一點O。求解三角形中角BOC的大小為多少。

解：因為在三角形ABC中∠A=60°，

所以∠ABC+∠ACB=120°;

又因為線段BD和CE分別為∠ABC和∠ACB的角平分線，

所以∠ABD=∠DBC，∠ACE=∠ECB，

所以∠ABC+∠ACB=∠ABD+∠DBC+∠ACE+∠ECB=2（∠DBC+∠ECB）;

又因為∠ABC+∠ACB=120°，∠ABC+∠ACB=2（∠DBC+∠ECB），

所以∠DBC+∠ECB=60°，

所以∠BOC=180°-60°=120°。

二、三角形的平分線例題解析

在初中階段，三角形中出現了三條重要的線段：中線、角平分線和高，在一些特殊的三角形中這三條線段可能是同一條線段。所謂角平分線，是指將三角形中任意內角平均分成兩個相等角的線段，并且與對邊交于一點。在三角形中，人們常常還將三個角的平分線的相交點進行了命名，稱之為內心。數學教師在帶領學生復習三角形的平分線時一定要將這些基本知識點灌輸其中，使學生建立起聯系，提高其復習效率。

例題二：如圖2所示，在三角形ABC中，線段AD將角CAB的平均分成兩個等大的角，線段EF與線段AD在點O出出現匯合，且線段DE與AB、線段DF與AC都是相互平行的關系，求證線段DO是角EDF的角平分線。

解：（1）因為線段AD是角CAB的平分線，

所以角EAD等于角FAD;

又因為ED平行于AB和線段DF平行于AC，

所以角EDA=角FAD，角FDA=角EAD，

所以角EDA等于角FAD，

所以線段DO是角EDF的角平分線。

三、全等三角形例題解析

學生在學習全等三角形時除了掌握其概念外，還應該熟記幾種證明三角形全等的方法以及學會如何利用全等三角形將問題進行轉變，進而提高三角形學習效率。數學教師在帶領學生復習全等三角形時，一定要使其學會準確辨認全等三角形所對應的各個條件，掌握綜合證明法證明三角形全等的的格式與方法，同時學會發現和利用隱含條件進行轉化，條件隱蔽時可添加輔助線用判斷定理。

例題三：如圖3所示，在三角形ABC中，線段BD和CE為三角形兩個高，三角形外存在一點P是高BD延長線上一點，且線段BP的長度與AC長度相等，點Q是線段EC上一點，且線段CQ的長度與AB長度相等，求證線段AP和線段AQ長度相等且互相垂直。

解：因為線段BD和CE均為三角形ABC的高，

所以，角CAE和角ACE的和為九十度，角CAE和角ABD的和也為九十度，

所以角ACE與角ABD相等;

又因為在三角形ABP和三角形ACQ中CQ等于AB、角ACE等于角ABD、AC等于BP，

所以三角形ABP全等于三角形ACQ，

所以線段AP與AQ相等;

又因為角QAC和角P相等、角PAD與角P的和為直角，

所以角PAD與角QAC的和為直角，

即角PAQ為直角，

所以線段AP垂直于線段AQ。

四、直角三角形例題解析

直角三角形是一類特殊的三角形，常常出現在各地中考卷中，是中考熱點內容，因此教師在帶領學生一起復習這部分內容時既要將基礎的直角三角形性質定理以及應用綜合性地介紹給他們，還要使其學會熟練使用直角三角形的判定定理解答數學問題。

例題四：如圖4所示，在三角形ABC中，其中角C為九十度，角CDA與角CDB角度也為九十度。（1）若三角形中的角A度數為60，那么如何求證線段BD長度是線段AD的三倍;（2）若線段BD長度是線段AD的三倍，那么如何求證角A為60度。

解：（1）因為在三角形ABC中角C為直角，角A大小為60度，

所以角B等于30度，角ACD也等于30度;

又因為角C為直角以及CD垂直于AB，

所以線段AB長度等于2倍AC長度，線段AC等于2倍AD長度，

所以AB等于4倍AD長度，

所以線段BD長度是線段AD的三倍。

將AB的中點標記為O，連接CO，

因為BD=3AD，

所以AB=4AD;

又因為角C為直角，點O為AB中點，

所以OC=AO=BO=2AD;

又因為CD垂直于AB

所以角OCD等于三十度，角COD等于六十度，

所以三角形ACO為等邊三角形，

所以角A為60度。

一言以蔽之，廣大初中數學教師在帶領學生進行三椒香專項復習時一定要將一些典型的例題講解給學生，使其熟練掌握解題技巧，提高解題效率，并且能夠在中考中取得優異的成績。

參考文獻

[1]張忠華.初中數學總復習教學中拓展型問題的設計與思考——以定三角形基架下的動點問題為例[J].上海中學數學，2015（4）：17-18.

[2]萬國全.注重能力培養優化二輪專題復習課教學--以“三角形中的最值與范圍問題”為例[J].中學數學教學，2016（1）：19-22.