化繁為簡 巧破教學難點

史松平

【摘要】《義務教育數學課程標準（2011年版）》提出：“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部聯系的基本途徑。”作為數學的基本思想之一，模型思想是《義務教育數學課程標準（2011年版）》新增加的一個核心概念。數學作為一種基本應用技能，可以幫助人們在搜索、整理、描述和創造過程中建立模型，進而研究模型，作出判斷，最終解決問題。因此，建立數學模型在小學數學課堂上是非常有必要的。

【關鍵詞】小學數學;植樹問題;教學難點

《植樹問題》這一學習內容對學生來說比較抽象，如果要分類學習，就會呈現3種情況下的9種基本類型，再加上各種變式，會讓班級中一半的學生望而生畏;而部分優秀學生在興趣班等課外學習活動中對“植樹問題”有不同程度的學習，從而導致學生之間的個體差異進一步擴大。在教學中，從學生的現實基礎出發，通過課程的學習，讓不同層次的學生都有豐富的體驗，能自主構建植樹問題“段數與棵數”的基本模型，是筆者教學所追求的基礎目標。在學習過程中，筆者力求讓學生真正體會植樹問題的思想方法，經歷從問題困惑到探究規律、建立模型、解決問題的全過程，從而實現長遠的發展目標。

數學教材共安排了3個例題——兩端都種、兩端都不種、封閉圖形的植樹問題，用4課時分散出現，這樣的教學安排雖然分散了難點，但不利于學生對知識的整體建構與體驗。基于這樣的認識，筆者對教材進行了重新處理，把3種情況安排在一節課進行教學，意圖就在于讓學生從整體上加以比較，同時在比較中理解，獲得比較完整的認知結構。所以，筆者嘗試將教材進行整合：在這一課時讓3種簡單的植樹問題同時呈現，并圍繞求“棵數”的3種現象不時地畫圖、分析、比較，通過分類、概括、抽象、尋找生活原型等各種方式，在學生頭腦中建構“合三為一”的數學模型。

在設計第一課時上，不宜求多、不宜求全，筆者把重點放在學生的體驗過程上，旨在讓學生領悟植樹問題的本質，在這一過程中滲透數形結合思想，讓學生經歷完整的數學建模過程。具體的教學流程，筆者設計如下。

一、創設問題情境，初步感知模型

1.出示實際問題情境

（1）出示問題。

師：在長24米的小路一邊植樹，大家認為要考慮哪些因素？

生：每隔幾米種一棵，兩端要不要種。

師：你考慮得挺周全的，的確需要考慮這些因素。

（2）補充條件。

師：每隔6米種一棵。想一想，要種多少棵樹？你們能解決這個問題嗎？你們打算怎樣解決這個問題？

生：列算式、畫線段圖。

師：畫圖這個方法好不好？

生：好。

師：在數學上我們經常要用到畫圖來解決問題。

（3）請學生把想法畫出來。（學生活動，教師巡視，找學生演示）

（4）展示學生不同圖示（3種畫法），如圖1所示。

2.在比較與辨析中初步感知模型

（1）你們能看懂這3幅圖嗎？這3幅圖都符合要求嗎？同樣在長24米的小路一邊植樹，都是每隔6米種一棵，為什么會出現三種不同的結果呢？（根據學生的回答板書：兩端都種，只種一端，兩端都不種）

（2）在現實生活中，什么情況下會出現兩端都不種或只有一端種的情況呢？（有房子、墻、障礙物等）

（3）認真觀察思考，通過畫一畫得出：在24米長的小路上種樹，每隔6米種一棵，有3種方案。

師：那根據這3種方案分別種了幾棵樹，你們能列算式求出來嗎？（生答師板演）

師：種樹的方法不一樣，種的棵數也就不一樣。但3種方案又有什么相同的地方？（學生能比較全面地關注3個關鍵要素——總長24米，每隔6米種一棵，分成了4段，并歸納出計算段數的基本方法。

師：這3種方案的第一步都是求什么？

生：段數。

師：那段數怎么求？

生：總長÷每段的長度=段數。

師：這里的段數用哪個算式來表示？（板書）

（4）在剛才畫圖解決植樹問題的過程中，你覺得該怎樣做比較有條理？也就是先做什么？再做什么？

生：先求出段數，再考慮3種植樹方案。

為了充分了解學生的原有認識，筆者一開始就將一個開放的、包容性很強的現實問題拋給了學生，讓學生根據問題情境嘗試畫出植樹方案的直觀圖，在展現學生的3幅直觀圖示以后，筆者引領學生去追尋植樹問題3種情形產生的原因與內在聯系，凸顯“總長÷每段距離=段數”這一基本數量關系，正確處理了操作與思考的關系，為模型建構做好了充分準備。

二、整體嘗試，合作探究，構建基本模型

1.現實問題情境的拓展

師：根據線段圖我們發現無論哪種植樹方案，棵數都與什么有關？（段數）

師：到底植樹的棵數與段數有怎樣的關系？通過一個例子并不能說明問題。請同學們來思考一下，在全長24米的小路一邊種樹，除了可以每隔6米種一棵外，還可以每隔幾米種一棵？（學生紛紛說出自己的想法：每隔1米、2米、3米、4米、8米、12米）

師：你們想不想自己動手來設計一下其他的種樹方法，請根據你們所想的相隔距離來畫一畫，但畫圖之前先看清楚要求。

2.學生整體嘗試，畫圖設計3種植樹方案

之后，筆者請學生選擇自己喜歡的相隔距離，獨立畫圖設計3種不同的植樹方案。

（1）我選取每隔（）米種一棵，我先把線段平均分成（）段。

（2）畫出3種設計方案。

①兩端都種;? ②只種一端;③兩端都不種。

（3）數據填入表格（見表1）。

全長24米 每隔幾米種一棵 段數量 兩端都種的棵數 只種一端的棵數 兩端都不種的棵數

3.列表整理，發現規律，構建基本模型

（1）選擇有代表性的學生作品進行展示，交流想法與結果。

（2）列表整理（見表2）。

全長2 4米 每隔幾米種一棵 段數 兩端都種的棵數 只種一端的棵數 兩端都不種的棵數

（3）發現規律，構建基本模型

①追問：如果每隔1米種一棵樹，需要分成幾段？3種情形分別需要種多少棵？（學生很快回答：24段，分別是25、24、23棵）為什么你們沒有畫圖也能這么快說出答案？（有規律）

②認真觀察這些數據，你發現了哪些規律？把你的發現和同桌交流一下。

③根據學生回答板書：兩端都種：段數+1=棵數;只種一端：段數=棵數;兩端都不種：段數-1=棵數。

4.舉例驗證模型和解釋理解模型

（1）舉例驗證模型

①追問：你們也有這樣的發現嗎？那這個規律一定正確嗎？

②舉例驗證。剛才我們選取的是在長24米的小路一邊植樹，方法有很多種。除了選取長24米的小路，我們也可以選取長是幾米的？以“在一條15米長的小路一旁植樹，每隔5米種一棵，3種情況各需要幾棵樹苗”為例，讓學生再次畫草圖驗證。學生驗證的結果：棵數與段數的關系符合發現的規律。

③返回到表2中進一步抽象概括：分成50段或a段時，3種情況植樹的棵數分別是多少？

師：無論是哪種情況，要求棵數，關鍵是找到什么？（段數）

（2）解釋理解模型

①追問：為什么兩端都種要段數加1而不是加2，只種一端的情況棵數和段數相等，兩端都不種要段數減1而不是減2呢？你能借助黑板上的線段圖來說明嗎？

②學生借助一一對應思想解釋模型：先是學生代表說理解釋，然后同桌之間說理解釋。

本環節的教學主要包括問題拓展、整體嘗試、構建模型、驗證解釋幾個過程，在讓學生真正深度經歷了建構模型完整過程的基礎上，很好地凸顯了學生的學，并使學生真正成了課堂教學的主人，每個環節的活動都體現了先學后教、先試后導的教學思想。學生的認知與理解隨畫圖次數的積累從量化轉化為質變，經歷了部分嘗試、整體嘗試、模型的構建、解釋模型的過程，展現了學生認知水平提升的歷程。若教師僅僅以對知識的掌握為教學目標，那么往往會把著眼點放在對規律發現后的棵數與段數之間的數量關系的掌握上。本節課筆者在教學目標的定位上凸顯過程性教學目標，即根據教學內容以及學生認知特點，借助操作、觀察、比較、分析和概括等數學活動，引領學生經歷規律的再發現過程，感悟與利用“一一對應”數學思想方法，從數學表象（操作模擬圖）、語言描述（如“棵數等于段數”“棵數比段數多1”“棵數比段數少1”）、數量關系式（棵數=段數、棵數=段數+1、棵數=段數-1）以及具體算法四個不同視角與層次實現對植樹問題的建模。

三、模型解釋、應用與拓展

1.初次運用模型

在全長200米的小路一邊植樹，每隔5米種一棵，3種植樹方案分別要種幾棵樹？

2.深化理解模型結構

下列現象能否看成“植樹問題”。如果“是”，屬于哪一類？

（1）隊伍長9米，每兩人之間相距1米，一共有多少人排隊？

（2）一根10米長的木頭，每2米鋸一段，需要鋸幾次？

（3）一條繩長180厘米，每隔20厘米掛一只小燈籠，共有多少只小燈籠？

3.應用模型，解決實際問題

（1）大象館和猴山相距60米（見圖2）。綠化隊要在兩館間的小路一旁栽樹，相鄰兩棵樹之間的距離是3米。一共要栽多少棵樹？

（2）在一條全長2千米的街道一旁安裝路燈（一端不安裝），每隔50米裝一盞，一共要裝多少盞路燈？

（3）在一條長360米的長廊兩側擺花，每隔4米擺一盆（兩端都擺），一共需要多少盆花？

（4）某公路全長10千米，相鄰兩站的距離都是2千米。這條公路上一共有幾個車站？

“植樹問題”包含的生活問題很多，如公路兩旁安裝路燈、花壇擺花、站隊中的方陣等。在模型建立后，教師應適時打破學生的單一認知，將此模型應用于其他情境中，不僅要讓學生體會到植樹問題和生活的聯系，感受到數學的實際應用價值，更重要的是讓學生對植樹問題的結構模型有更深層次的理解。在練習題的設置與量的控制上，力求符合學生的認知特點與需要，保證學生有效的當堂練習時間，給予學生相對完整的獨立思考、做作業的時間，以便學生及時鞏固認知。同時，這些題也是經過精心設計的，前兩道題是對植樹問題基本模型的應用，第（1）題數字較小，而且有圖作支撐;第（2）題數字較大;第（3）題關注從“單側”向“雙側”變化，豐富了學生對植樹問題的認知。第（4）題在鞏固當天所學的同時，突破學生認知，為后續進一步學習封閉圖形中的植樹問題埋下伏筆。

在小學數學教學中，教師應以學生已有的知識經驗為基礎，引導學生用數學的眼光觀察生活，使其經歷從生活原型到數學模型的建構過程，從而能夠用數學模型解決實際問題。數學建模的過程不僅能促進學生思維的發展，還能提升學生的積極性和主動性。

【參考文獻】

德吉.解析小學數學植樹問題[J].西藏教育， 2016（09）：30-31.

劉麗秋.小學數學建模教學的實踐研究——以“植樹問題”教學為例[J].考試周刊，2017（66）：115.