透過表象看本質

張科群

【摘 要】本文首先舉例分析了幾道2018年浙江省解析幾何高考題及其解法過程，然后思考了2018年浙江省解析幾何高考題，最后探討了透過表象看本質在數學解題中的重要性，以期為學生更好地學習數學提供有效方法和依據。

【關鍵詞】解析幾何;高考題;思考

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2019）28-0057-02

1? ? 2018年浙江省解析幾何高考題及其解法過程舉例分析

1.1? ?表象

（2018年浙江省高考第19題）已知點P是y軸左側（不含y軸）一點，拋物線C：y2=4x上存在不同的兩點A，B滿足PA，PB的中點均在C上。

（Ⅰ）設AB中點為M，證明：PM垂直于y軸;

（Ⅱ）若P是半橢圓x2+=1（x<0）上的動點，求△PAB面積的取值范圍。

學生剛看到題目的時候對第一問就會有些無從下手。它與傳統的直線方程與曲線方程聯立求韋達，再將幾何條件坐標化不同。這道題目如果設AB直線方程，再與拋物線方程聯立，學生根本不知道接下去如何解決線段AP，BP的中點在拋物線上這一幾何條件。

高考題的特點就在于新穎，第一次碰到有種耳目一新的感覺，好像跳出了傳統題目的包圍圈，但是仔細分析題目，這道題目的第一問可以有不同的解法，第一可以巧妙借助幾何知識。

解法過程：如圖2，設線段PA，PB的中點分別為C，D，線段CD的中點為N，由平面幾何知識容易知道P，N，M三點共線，當直線AB與軸垂直時，由于拋物線的對稱軸為軸，所以△PAB是等腰三角形，且軸，則有PM⊥AB（M，N在軸上），即PM垂直于軸。

再仔細觀察圖形，可以發現圖3中△PAB類似于阿基米德三角形。（拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形，這個三角形就是阿基米德三角形）。阿基米德三角形處理方法為：若拋物線，

1.2? 本質

阿基米德三角形的處理方法的核心是利用PA、PB是兩條位置完全相同的切線，所以形成了兩個結構完全相同的等式，從而化歸為同一方程，即阿基米德三角形蘊含根。而19年的浙江省高考題PA、PB在拋物線上位置完全相同，等同于把切線轉變成割線，它是否仍可沿用阿基米德三角形的處理方法呢？

解法過程：，

PA中點，因為PA中點在拋物線上，所以，又因為，所以得到：，直線PB與直線PA位置相同，同理可得，合并得到滿足，

把阿基米德三角形的處理方法沿用到這道高考題中，不僅巧妙的解決了第一問，更為第二問做好了鋪墊。這個題目看似新穎，但其解法卻不新，而且早在2011年的浙江省高考中就出現過類似的題目。

1.3? 透過表象看本質

（2018年浙江省高考第21題）

已知拋物線：，圓：的圓心為點M（圖4）。

（Ⅰ）求點M到拋物線的準線的距離;

（Ⅱ）已知點P是拋物線上一點（異于原點），過點P作圓的兩條切線，交拋物線于A，B兩點，若過M，P兩點的直線垂直于AB，求直線的方程。

2? ?2018年浙江省解析幾何高考題的思考

自主招生題、高考題、競賽題各種各樣的題不勝枚舉，但是高中的數學知識和方法就這些，所以更多的題目是原有題目的改編題。如文中所講的這兩個高考題，它都是出自阿基米德三角形，從同一個點出發的兩條拋物線切線改編成割線和圓的切線，其本質是相同的。

3? ?透過表象看本質在數學解題中的重要性

數學題目很多，不可能全都做完，所以在平時的解題過程中，要透過題目看到問題本質，歸類出基本模型，通過一題多解和多題一解，讓學生掌握處理一個基本模型的方法，理解方法背后所隱含的數學思想，發展學生的數學建模素養和邏輯推理素養。變化的是題目，不變的是解法，通過對問題變式的探究和原問題的推廣，幫助學生掌握一類問題的通解通法，進而形成解題模式。