淺議初中數學中數形結合思想

李大利

摘要：近年來，很多人都在對數學中重要思想——數形結合思想進行研究。其實從七年級的數軸、絕對值、有理數就出現了數形結合思想，而后的幾何、函數等領域的學習中更是將這種思想貫穿始終。可見數形結合思想在初中數學中占著舉足輕重的地位，數形結合有利于訓練思維能力、提升記憶力和培養創造力。要使每位同學都真正懂得如何運用數形結合思想，以及明白在什么時候運用數形結合思想。則必須要對初中生的年齡特征進行具體分析，以及了解他們在每個學習階段的認知水平和正在學習的新知識的特點以及新舊知識之間的練習，要逐步滲透、螺旋上升。這就要求教師在備課時，應該精心備課，有意識地把數形結合思想滲透到每個教學環節。[1]

關鍵詞：數形結合思想;初中數學教學;滲透

一、引言

在初中數學的數學思想中，有一類思想是體現基礎數學中的具有奠基性和總結性的思維成果，這些思想統稱為基本數學思想。[2] 而數形結合思想是初中基本數學思想中比較重要的思想之一。從近年來中考數學試卷中，可以清楚觀察出利用數形結合思想解決的題目比比皆是。我們對中學數學中數形結合思想的研究不僅有助于學生更好地掌握中學數學知識，而且能夠增強他們的解題能力。如果熟練地掌握了數形結合思想并合理運用，那么將會取得事半功倍的效果。但是數形結合思想不同于其他知識，需要經過長時間的觀察、分析、鞏固，然后逐漸積累而成。

二、數形結合思想有利于學生的發展

（一）.數形結合思想有利于鍛煉思維能力

在初中數學的課堂教學中滲透數形結合的思想，既可以輕松揭示數學問題的本質特征，并且又可以讓學生非常直觀地看到數學問題的結果。所以只要把知識體系中己有的知識計算和推導運用得當，就能夠很容易地推導出數學對象的整體結構，從而學生就可以獨立、迅速地得到所求解的數學問題的答案。因此數形結合的思想有利于鍛煉學生的直覺思維能力。

（二）.數形結合思想有利于提升記憶力

初中階段所學習的數學知識是屬于基礎性的知識。有人說知識就是力量，但前提是記住這些知識。牢牢地記住并正確使用這些知識對數學整體體系的學習大有裨益，而記憶是掌握任何知識的最基本途徑之一。數形結合思想的正確運用能夠幫助學生在頭腦中逐步形成數學圖象，以便于更加形象地記住這些信息。

（三）.數形結合思想有利于培養創造力

在平時的數學的課堂教學中，教師可以適時、適量地給出一些難度系數稍微高于學生能力，但通過他們的探究又能解決的新穎的數學題目，并且鼓勵學生大膽動手，不要在難題面前退縮。幫助他們樹立解題信心，幫助他們擺脫用以往固定思維模式去思考問題。合理應用數形結合思想可以幫助學生培養創造力以及創新精神。

三、數形結合的作用

數形結合思想不僅是初中的基本思想之一，也是解決數學問題最常用的途徑之一。“數”與“形”兩者之間有著密切的關系，彼此滲透，可以互相獨立，而在一定程度上又可以相互轉換，即“以形解數”和“以數解形”兩種情況。

（一）.數形結合在代數中的作用——以形解數

數學圖形的優勢是形象、直觀、易懂，能夠將抽象的思維形象地表現出來。但是在定量的數學問題方面很大程度上還是要借助代數的計算，尤其是對于一些非常簡單或者是相當復雜的圖形，如果我們只用眼睛去直接觀察，往往很多時候是得不出什么對我們有用的規律或者結論來的，這時數學圖形的優點就能夠展現得淋漓盡致。利用數學圖形可以挖掘出隱含在數學圖形背后的條件，再正確地把數學圖形數量化。利用“數”來解決“形”的問題，其實質就是通過把數學圖形的問題轉化成數學數量的問題，再進行具體分析、計算以及邏輯推理，最終獲得解決數學圖形問題的方案。

以形解數的優點是利用“數”的精確性來闡述“形”的抽象性，可以很方便地闡述圖形的模糊，尤其是在解決幾何問題時，利用其中某些量之間的數量關系，聯系代數方法，可以在很大程度上彌補想象的不足。

（二）.數形結合在幾何中的作用——以數解形

“以數解形”其實就是利用“數”的嚴密性、精確性去揭示“形”所隱含的代數關系，反映出抽象圖形中的某些特性。在解決數學疑難時，對于有關幾何圖形性質的難題，我們能夠將它轉化成數量關系之間的問題，這不僅對學生靈活解決問題有所幫助，還對培養學生轉換數量關系與抽象圖形的能力大有裨益。

而是要根據初中生的年齡特征，循序漸進、由淺入深地滲透數形結合思想，可分為領悟、展示、突出、概括四個環節來進行。

四、滲透數形結合思想的步驟

（一）.對數形結合的初體驗——領悟階段

數學概念是數學知識點的精華，是需要經過長期的分析、比較、抽象、綜合、概括等多種思維形式的加工過程。數學概念的教學絕不僅僅只是幾個簡單的定義、原理、定理，而是需要教師積極地去引導學生感受、認識暗藏在數學概念形成過程中的數學思想。因此，在進行數學概念的教學時必須要完整地向學生體現過程，并且逐步引導學生發現隱含在數學知識背后的數學思想。如：“數軸上一個數所對應的點與原點之間的距離叫做該數的絕對值。”這是絕對值的概念，可是對于剛剛從小學升入初中的大部分學生而言，絕對值的概念不僅抽象而且難以真正地理解、領會，這是若教師在課堂的教學過程中配以圖形來幫助學生理解、領會，相信肯定會事半功倍。

例1：求 ， 的值.

從圖3可以很明顯地看出： 就是 的長度5， 就是 的長度3.

（二）.對數形結合思想的碰撞——展示思想

“學習數學最好到數學家的紙簍里找材料，不要只看書上的結論.”[6] 在探究數學知識的過程中，我們所要用到的數學思想遠遠比要準備學習的新知識它本身更加值得我們學習。我們所學習的數學教材中的各種定義、原理、定理、公式，都是千百年來許許多多數學家們的智慧的結晶，是他們運用諸多數學思想得出來的正確的精華。所以，在進行數學定理的教學時，教師應該積極地引導學生親身參與、經歷定理的探究過程，理清所學習的定理、公式與其它學過的知識之間存在的聯系，使新舊知識在頭腦中形一個系統，并且親身感悟在推導數學定理的過程中所用到的數學思想。

例2：若不等式組 恰好有兩個整數解，求 的取值范圍？

解：由題中所給的不等式組可以得到 由題目可知，不等式組有兩個整數解，所以不等式組有解，它的解集是 。所以這兩個整數解依次為：0，1.故在數軸上表示如圖2。

于是： ，解得： 。

（三）.對數形結合思想的價值化——突出階段

解題過程其實質就是合理應用數學思想和數學方法的過程，是數學思想和數學方法指導問題解決的每一步的轉化，從此處可以非常清楚地明白授“漁”遠比授“魚”更加重要。在初中數學的課堂教學的過程中，教師不僅僅要注重知識本身的傳授，而更應該注重數學思想和數學方法的教學。要從題海戰術中解脫出來，關鍵是要真正地掌握方法，真正明白數學思想。因此，在進行解題的教學時教師斷不能只就題論題，而應該積極地引導學生該往哪里想。集中在數學思想方法上，然后突出數形結合思想解決問題的功能。

例3：甲乙兩地間隔10公里，現有A、B兩人分別從兩地出發，并且相向前進.假設他們是始終保持勻速前進，那么10分鐘后A前進了1公里，B前進了0.8公里，求多長時間后他們能夠相遇？做這種題，只要畫出線段圖（如圖3）、列式，問題就迎刃而解了。

（四）.思想概括

弗賴登塔爾曾解釋：“如果建構是證明過程之前的階段，則必然有一個中間階段，我相信那就是反思。”學生只有真正地理解、概括數形結合思想，把它內化為自己的知識，才能正確應用數形結合思想去解決數學問題。所以要求教師在初中數學課堂教學的過程中要將數形結合思想落實到具體的數學教學設計中，并且要有意識地積極地引導學生參與到數形結合思想的概括過程中，尤其是在數學知識教學結束之后再帶領學生復習數學知識本身的同時，還應將數學知識中的數形結合思想總結出來。這樣做不僅可以提升學生對于數形結合思想的應用意識，也能夠使他們分析、研究、處理數學問題的能力得到最大程度的鍛煉。

在數學教學中，我們一定要牢記“數”與“形”的結合，對于一些直觀圖形我們可以賦予數量的含義，而對于一些抽象數量我們又可以賦予一些圖象的含義，從而能夠有效地解決數學問題。

從本質上來說，數形結合思想在初中教學中，就是把抽象語言與直觀圖形有機地聯系起來，充分利用“數”和“形”之間的互相轉換，解決復雜問題。相信只要經過長期數形結合的思想的訓練，在實際的解題過程中合理地去應用數形結合的思想，初中數學教學必將迎來一片新的天地。

參考文獻：

[1] 李雪.初中數學數形結合思想教學研究與案例分析[D].河北師范大學，2013.

[2] 黃平.中學數學中的數形結合思想[D].江西師范大學，2012.

[3] 劉冰楠.數形結合方法在初中數學教學中應用研究[D].內蒙古師范大學，2012.

（作者單位：四川大學附屬中學西區學校）