強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念，提高初中數(shù)學(xué)教學(xué)效率的策略

藍(lán)偉興

【摘要】數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)的靈魂，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)、學(xué)好數(shù)學(xué)的前提，是學(xué)生理解數(shù)學(xué)定理、推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式、掌握數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的基礎(chǔ)，沒有重視數(shù)學(xué)概念，一切課堂教學(xué)都是低效甚至是無效的教學(xué)。本文結(jié)合本校生源比較薄弱的實(shí)際情況，談?wù)勗诮虒W(xué)中強(qiáng)化數(shù)學(xué)概念的四個(gè)策略探究。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；創(chuàng)設(shè)情境；轉(zhuǎn)換角度；抓住本質(zhì)；反復(fù)訓(xùn)練

一、創(chuàng)設(shè)情境，產(chǎn)生概念

“教學(xué)情境是指在課堂教學(xué)中，根據(jù)教學(xué)的實(shí)際內(nèi)容，為實(shí)現(xiàn)三維目標(biāo)所設(shè)定的，能產(chǎn)生一定情感反應(yīng)，并且能使學(xué)生主動(dòng)積極參與建構(gòu)性學(xué)習(xí)的，具有學(xué)習(xí)背景和學(xué)習(xí)活動(dòng)條件的學(xué)習(xí)環(huán)境。廣義來說，是指作用于學(xué)習(xí)主體，產(chǎn)生一定的情感反應(yīng)的客觀環(huán)境。從狹義來說，則指在課堂教學(xué)環(huán)境中，作用于學(xué)生而引起積極學(xué)習(xí)情感反應(yīng)的教學(xué)過程。”在課堂教學(xué)中，如果教師能夠聯(lián)系學(xué)生非常感興趣的例子，即使那些經(jīng)常打瞌睡的學(xué)生也會(huì)抬起頭，用興奮和期待的眼光看著老師和屏幕。知識(shí)本身具有豐富生動(dòng)的實(shí)際內(nèi)容，而表征它的語言（包括文字語言、符號(hào)語言和圖形語言）則是高度抽象的。所以創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，猶如湯中加點(diǎn)鹽。鹽只有溶入湯中，才能被吸收，知識(shí)只有融入情境之中，才能顯示出活力和美感。“在教學(xué)中如何創(chuàng)設(shè)情境，突出數(shù)學(xué)概念的形成過程，凸現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，是教學(xué)中不容忽視的問題?！?/p>

創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境的方式很多，可以是實(shí)驗(yàn)創(chuàng)設(shè)、故事創(chuàng)設(shè)、問題創(chuàng)設(shè)、科技史話創(chuàng)設(shè)、生活常識(shí)創(chuàng)設(shè)、語言描述創(chuàng)設(shè)、典型事例創(chuàng)設(shè)、活動(dòng)創(chuàng)設(shè)、媒體創(chuàng)設(shè)、時(shí)事熱點(diǎn)創(chuàng)設(shè)、角色扮演創(chuàng)設(shè)，等。在《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程》這一課的教學(xué)中，有些老師通過讓學(xué)生觀看衛(wèi)星發(fā)射的軌跡引出橢圓的概念，使學(xué)生對(duì)本節(jié)課產(chǎn)生了極大的興趣，有些老師通過讓學(xué)生動(dòng)手畫橢圓的方程，從而引出橢圓的概念。這兩種引入方式都是重視數(shù)學(xué)概念的結(jié)果，因此取得了很好的教學(xué)效果。然而有些老師只是叫學(xué)生自己閱讀書本上的探究，然后在黑板上把橢圓的概念寫出來或在PPT上直接投影橢圓的概念，最后讓學(xué)生讀兩次，這樣就完成了橢圓概念的教學(xué)，結(jié)果很多學(xué)生對(duì)橢圓的概念還沒有弄清楚，就要繼續(xù)學(xué)習(xí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，后面的課堂練習(xí)也就沒有信心完成了，這樣的課堂教學(xué)是低效的甚至是無效的。創(chuàng)設(shè)課堂情境的方法有很多種，可以通過創(chuàng)設(shè)與概念密切相關(guān)的問題或問題串引出概念，可以通過觀察實(shí)驗(yàn)引出概念，也可以通過學(xué)生的動(dòng)手操作引出概念。所謂“磨刀不誤砍柴工”，花8到10分鐘時(shí)間展現(xiàn)數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程，讓學(xué)生真正理解概念，對(duì)于后續(xù)的學(xué)習(xí)是非常有必要的。

當(dāng)然，不恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)情境會(huì)使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生誤解，所以創(chuàng)設(shè)教學(xué)情景必須慎重，不能為了激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣而隨意創(chuàng)設(shè)一些與數(shù)學(xué)概念關(guān)系不大甚至是無關(guān)的教學(xué)情景。

二、轉(zhuǎn)換角度，理解概念

“杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念需要進(jìn)行心理構(gòu)建，只有在自身已有知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，主動(dòng)建構(gòu)新知識(shí)的意義，才能達(dá)成理解”。在《集合的基本運(yùn)算》這一課的教學(xué)中，并集概念是本節(jié)課的重點(diǎn)，更是本節(jié)課的難點(diǎn)，如何讓學(xué)生理解并集的概念呢？教材中通過思考題引出并集的概念，這是一種很好的引入方式，教師可以通過啟發(fā)式教學(xué)幫助學(xué)生理解并集的概念，通過多次轉(zhuǎn)換角度引導(dǎo)學(xué)生掌握并集的概念，下面是我的課堂教學(xué)實(shí)錄：

教師：實(shí)數(shù)有加法運(yùn)算，類比實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算，集合是否也可以相加呢？

學(xué)生：不知道

教師：大家觀察下面三個(gè)集合之間有什么關(guān)系？A={1，3，5}，B={2，4，6}，

C={1，2，3，4，5，6}

部分學(xué)生：集合A和集合B中的元素全部都在集合C中。

教師：（微笑，不說話）

部分學(xué)生：集合C中的元素都可以在集合A或集合B中找到。

教師：（微笑著說話）同學(xué)們的觀察能力很強(qiáng)，回答得非常好！大家再看看下面三個(gè)集合之間又有什么關(guān)系？A={x|x是有理數(shù)}，B={x|x是無理數(shù)}，C={x|x是實(shí)數(shù)}

個(gè)別學(xué)生：集合A和集合B中的元素全部都在集合C中，集合C中的元素都可以在集合A或集合B中找到。

其他學(xué)生：對(duì)，果然是這樣。

教師：同學(xué)們回答得很好，上面兩個(gè)問題中，集合C是由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的。那么集合C與集合A，B之間形成一種什么樣的運(yùn)算呢？

學(xué)生：不知道

教師：這種運(yùn)算可以叫做并集運(yùn)算，上述兩個(gè)問題中，集合C就是集合A與集合B的并集。集合A與集合B的并集可以用什么數(shù)學(xué)符號(hào)表示呢？

學(xué)生：不知道

教師：集合A與集合B的并集可以用數(shù)學(xué)符號(hào)記作“ A∪B”。那么 A∪B怎么讀呢？

學(xué)生：讀作“A并B”。

教師： A∪B表示什么意思？

學(xué)生：表示集合A與集合B的并集。

教師：回答正確，那么，什么叫做集合A與集合B的并集？

學(xué)生：由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫做集合A與集合B的并集。

教師：回答得很好?。ㄎ⑿c(diǎn)頭）那么 A∪B用數(shù)學(xué)符號(hào)怎么表示呢？請李煜同學(xué)到黑板寫出來。

學(xué)生：（在黑板上寫） A∪B={x|x∈A，或x∈B}

教師：寫得很好！那么，能不能用Venn圖來表示A∪B呢？請張春紅同學(xué)到黑板上試著畫一畫.

學(xué)生：（在黑板上畫）

教師：我們來根據(jù)并集的概念完成下列題目：

（1）設(shè)A={x∈N|1≤x≤3}，B={x∈N|2≤x≤5}；求A∪B；

（2）設(shè)A={x|1≤x≤3}，B={x|2≤x≤5}；求 A∪B。

教師通過不斷地轉(zhuǎn)換角度，引導(dǎo)學(xué)生通過并集的符號(hào)理解、圖形理解，文字理解來掌握并集的概念，然后通過由淺入深的例題加深概念的理解。在概念的教學(xué)中，如果能夠通過不同的角度去引導(dǎo)學(xué)生，不但可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，而且可以使學(xué)生對(duì)概念的理解更加深刻，記憶更加持久。相反地，如果僅從單一的角度去進(jìn)行數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，會(huì)讓學(xué)生感覺數(shù)學(xué)很枯燥，而且無法調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和學(xué)習(xí)熱情，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的記憶僅僅停留在思維的表層。

三、抓住本質(zhì)，掌握概念

數(shù)學(xué)概念反映的是一類具有共同屬性的事物能區(qū)別于其他事物的全體，任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念都有它確定的含義以及所確定的對(duì)象范圍，這就是數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延。只有抓住數(shù)學(xué)概念的要點(diǎn)，才能理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，從而掌握數(shù)學(xué)概念。例如，橢圓的概念產(chǎn)生以后，教師就要通過啟發(fā)式提問讓學(xué)生掌握橢圓定義中的五個(gè)要點(diǎn)：1.橢圓是平面圖形，不是空間圖形；2.動(dòng)點(diǎn)只有一個(gè)；3.定點(diǎn)有兩個(gè)；4.動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長；5.動(dòng)點(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)能構(gòu)成三角形。有些概念容易混淆，較難理解，我們可以通過概念對(duì)比加深概念的外延理解，從而加深數(shù)學(xué)概念的理解。例如，通過等差數(shù)列與等比數(shù)列的概念對(duì)比，橢圓與雙曲線的概念對(duì)比，交集與并集的概念對(duì)比等等。通過概念的對(duì)比，容易抓住概念的要點(diǎn)，使學(xué)生更好地理解概念。平面曲線的切線概念是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)。理解平面曲線的概念必須抓住四個(gè)要點(diǎn)：1.平面曲線的切線是一條確定的直線；2.當(dāng)平面曲線是函數(shù)的圖象時(shí)，平面曲線在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是該切線的斜率；3.切點(diǎn)既在切線上又在曲線上，即切點(diǎn)的坐標(biāo)同時(shí)滿足切線與曲線的方程；4.函數(shù)的圖象在某點(diǎn)處的切線與該函數(shù)的圖象可能不止一個(gè)公共點(diǎn)，所以不能用判別式求切線方程。“作為定義的一種描述，就是要揭示概念的本質(zhì)特征，‘割線的極限’作為平面曲線的切線定義，所反映的對(duì)象指一切平面曲線。”

概念課的教學(xué)不能簡單地用“一定義、二要點(diǎn)、三注意”的形式講完就好了，“數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)（思維活動(dòng)的教學(xué)），而不僅是數(shù)學(xué)活動(dòng)的結(jié)果（數(shù)學(xué)知識(shí)）的教學(xué)。”所以抓住概念的要點(diǎn)固然重要，但不是老師直接告訴學(xué)生，而是通過教師的啟發(fā)和引導(dǎo)，讓學(xué)生主動(dòng)參與，積極思考，師生共同歸納出概念的要點(diǎn)，從而對(duì)概念產(chǎn)生正確的認(rèn)識(shí)。

四、反復(fù)訓(xùn)練，鞏固概念

心理學(xué)上認(rèn)為，記憶一個(gè)抽象的知識(shí)，一般要重復(fù)7次，如果要持久記憶，需要重復(fù)14次甚至70次。數(shù)學(xué)概念的理解，需要一個(gè)循序漸進(jìn)的過程，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，我們要停留幾秒鐘甚至幾分鐘讓學(xué)生自由朗讀概念，記憶概念，消化概念，然后再通過列舉一些具體的例題或練習(xí)幫助學(xué)生加深概念的理解，從而掌握概念。在學(xué)生初步理解并集的概念以后，筆者在PPT投影中給學(xué)生訓(xùn)練了下面幾道題：

練習(xí)1，所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合叫做___________；

練習(xí)2，集合A與集合B的并集可以用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為___________；

練習(xí)3，A∪B可以讀作_______。

例1，設(shè)A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，求A∪B；

例2，設(shè)集合A={x|-1

例3，設(shè)集合A={x|-13}求A∪B。

筆者設(shè)置練習(xí)力求從簡單到復(fù)雜，從具體到抽象，力求符合循序漸進(jìn)原則和“小步子”原則。這樣設(shè)置練習(xí)，既有利于培養(yǎng)學(xué)生的自信心，又有利于分層教學(xué)的實(shí)施，更重要的是，通過這樣的練習(xí)，學(xué)生不但可以理解數(shù)學(xué)概念，而且可以掌握數(shù)學(xué)概念。在《現(xiàn)代心理學(xué)綱要》一書中，詳細(xì)地介紹了記憶術(shù)的六種記憶方法，而重復(fù)記憶法是一種很常用的記憶方法。心理學(xué)上認(rèn)為，人的記憶重復(fù)了一定的次數(shù)，就能產(chǎn)生持久的記憶。同樣地，一個(gè)數(shù)學(xué)概念通過不同的角度，讓學(xué)生反復(fù)閱讀，反復(fù)訓(xùn)練，學(xué)生會(huì)不斷加深對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解，逐漸熟悉數(shù)學(xué)概念。對(duì)于某些抽象的數(shù)學(xué)概念，使用反復(fù)閱讀，反復(fù)訓(xùn)練的方法，的確是一種很好的方法。例如，對(duì)數(shù)的概念：設(shè)ax=N（a>0且a≠1），則x=logaN（a>0，且a≠1），這里，我們把x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，a叫做這個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做這個(gè)對(duì)數(shù)的真數(shù)，x就是這個(gè)對(duì)數(shù)，用logaN來表示， 不是數(shù)字，就像根號(hào)“”一樣，僅僅是一個(gè)符號(hào)。在課堂教學(xué)中，筆者讓學(xué)生先理解這個(gè)概念的內(nèi)涵，接著進(jìn)行一系列的具體例子反復(fù)訓(xùn)練。結(jié)果，連班上的倒數(shù)第一名都熟悉了對(duì)數(shù)的概念，無論是文字還是符號(hào)表達(dá)，他們都能迅速作出反應(yīng)，一直持續(xù)到高三，他們依然對(duì)logaN非常熟悉。這種訓(xùn)練方法很枯燥，也很低效，但對(duì)于一些抽象而且極端重要的數(shù)學(xué)概念，我們不得不出此下策。反復(fù)訓(xùn)練，僅僅是為了讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)概念。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的核心知識(shí)，學(xué)生要掌握數(shù)學(xué)的定理、公理、性質(zhì)、法則、公式，要掌握常用的數(shù)學(xué)解題方法，理解常用的重要數(shù)學(xué)思想，首先必須理解數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)概念是學(xué)生入門的基礎(chǔ)，學(xué)生放棄數(shù)學(xué)，是從不理解數(shù)學(xué)概念開始的，學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，是從理解數(shù)學(xué)概念開始的，本文只有一個(gè)目的，就是希望廣大數(shù)學(xué)教師從小學(xué)開始重視數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，讓更多的學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)，避免學(xué)生放棄數(shù)學(xué)。

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