基于MATLAB在旋轉面及其方程教學中應用的教學設計

汝強

【摘 要】在空間解析幾何教學中，MATLAB不僅能將復雜的空間曲面方程精準、直觀地用三維圖形表現出來，還能以動畫的形式將空間復雜曲面任意旋轉，使學生能直觀地、全方位地觀察、理解空間曲面方程所表示的曲面形狀、特征和性質，從而增強了學生的空間想象能力，啟發學生積極思考、研究和探索。本文以MATLAB在旋轉面及其方程教學中應用的教學設計作為出發點，對其展開深入探討。

【關鍵詞】空間解析幾何;MATLAB;教學設計

【中圖分類號】G642.41 ??????【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）16-0002-02

一、教學思想與學情

本節課教學設計堅持“學生為主體，教師為主導，知識為主線，發展思維為主旨”的“四主”原則的教學理念精心設計教學環節。采用講授式、啟發式、歸納式、類比式、任務驅動教學相結合;多媒體和板書相結合，綜合運用圖片、仿真實驗演示、flash動畫等多種教學手段輔助教學，努力提高教學效果。首先通過具有旋轉曲面外表的圖片演示，引導學生發現類比探究形成旋轉曲面的概念，引入新課。其次，發揮教師在課堂上主導作用和計算機的輔助作用，推導出旋轉曲面的方程，循序漸進突破教學難點。再次，引入雙曲槽，采用啟發式教學，從動畫模擬與理論抽象兩個方面，講解其背后的原理。

大一新生在高中階段通過對平面幾何的學習以及前面對空間曲線及其方程的掌握，已經具有一定的空間想象能力，會對本節課的學習產生興趣，但其在分析推理能力還比較欠缺，有待加強，而在多元函數積分學中，必然遇到曲面方程，如果學生掌握本章知識點不夠好，會使得“見其如同陌路”，這給學生學習后續知識帶來困難。

二、教學目標與重點、難點

知識與技能目標：1.理解旋轉曲面的概念;2.掌握旋轉曲面方程的求法;3.掌握常見的旋轉曲面方程的識記規律;4.理解雙曲槽蘊含的數學原理。

過程與方法目標：1.通過對旋轉曲面概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力;2.通過對旋轉曲面方程的推導，使學生掌握求旋轉曲面方程的一般方法，滲透數形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標解決幾何問題的能力。

重點：理解旋轉曲面的概念，雙曲槽蘊含的數學原理;掌握求旋轉曲面方程的一般方法及步驟。

難點：掌握特殊旋轉曲面方程的求法與思路。

三、教學過程設計

教學環節一——創設情境，激趣導入

圖片演示——旋轉曲面在生活中無處不在，舉例展示具有旋轉曲面外表面的物品及建筑;通過對外表曲面的觀察，思考其共同點，導入新課。

設計意圖：直觀演示，由這些物品及建筑給予學生美的享受與快樂同時，讓學生思考其外表曲面，做類比分析，為學習抽象旋轉曲面的概念做好鋪墊。通過對共同點的思考，培養學生將實際問題數學化的能力，數學符號語言和圖形語言互化的能力，設問引入旋轉曲面概念內容，承上啟下。

旋轉曲面的數學定義（重點）：一條平面曲線C繞其平面上的一條直線L旋轉一周所成的曲面S稱為旋轉曲面。

設計意圖：通過對旋轉曲面形成過程的MATLAB演示以及數學定義的引入，讓學生掌握兩個要點-母線、軸，為后續的求旋轉曲面方程奠定理論基礎。

教學環節二——自主探究，交流構建

旋轉曲面方程的求解（重點難點）：學習旋轉曲面的求解步驟，明確旋轉曲面上任意一點M都可以由母線上的某一點N繞軸旋轉而得到，體會點M與N到軸的距離相等以及具有相同的豎坐標兩個要點。

設計意圖：通過對旋轉曲面的定義理解，體會加深旋轉曲面方程求解思路，明確方程的由來適，解決教學難點。

教學環節三——學以致用，深化新知

舉例思考、類推，

實踐：軸字母不變，另“一方”變“兩方”的記憶口訣。

設計意圖：靈活運用口訣，能夠利用口訣快速的求出旋轉曲面的方程，為后續學習奠定基礎，擴展學生知識面。

教學環節三——深入思考，知識點延伸

視頻演示：雙曲槽

提問：動直棒能穿過這兩條雙曲線狹縫？

視頻演示、啟發討論

設計意圖：通過這一有趣的數學展品雙曲槽，激發學生的思考與興趣，進而發覺延伸到考慮母線與軸不在同一平面時（異面），對旋轉曲面方程的思索，擴展學生知識面。

利用MATLAB動畫模擬：通過動畫模擬更直觀形象地展示為什么動直棒能穿過這兩條雙曲線狹縫。

設計意圖：從動畫模擬的角度解釋動直棒能穿過這兩條雙曲線狹縫的原因，同時讓學生直觀的感受一根與定軸成異面直線的動直棒等距離繞中心軸轉動一周所形成的軌跡曲面就是旋轉單葉雙曲面。

理論支撐：雙曲槽實際上展示的是一根與定軸成異面直線的動直棒等距離繞中心軸轉動一周所形成的軌跡曲面，我們不妨將直棒直線方程設出，求出其繞中心軸所在的z軸旋轉的方程求出來說明為什么動直棒能穿過這兩條雙曲線狹縫。

設計意圖：啟發學生應用母線與軸在同一平面時（共面），求旋轉曲面方程的方法來處理，通過有趣的雙曲槽實例，動畫模擬與理論支撐相互印證，增加趣味性，也能使學生感到旋轉曲面并不只在書本內。

立足課堂，超越課堂。

四、教學反思

本節課以圖片演示的方式導入，通過對具有旋轉曲面外表的物品及建筑物觀察，找出共同點，進一步抽象出旋轉曲面的定義，使本來抽象的知識變得簡單和形象。利用旋轉曲面的定義給出求解其方程的一般性方法，當旋轉軸為坐標軸時，分別講授了母線在坐標面內和不在坐標面內的旋轉曲面方程，讓學生對理論邏輯有了具體而又生動的掌握，尤其非常有趣的是數學展品雙曲槽的引入，更激發學生的興趣，也給出了當母線在坐標面內，其繞坐標軸旋轉所得的曲面方程公式的記憶口訣——軸字母不變，另“一方”變“兩方”，指明了其的適用范圍。整個講解過程不僅僅只是給出求解步驟，簡單的技巧，而且更著重對整體思路的把握與分析，采用合適的處理方法，培養學生自主分析問題的能力。

參考文獻

[1]《高等數學》第七版，同濟大學數學系編，高等教育出版社，2016.

[2]Jame Stewart， Calculus （Seventh Edition），微積分（第七版），高等教育出版社，2014.

基金項目：中國礦業大學青年教改項目：基于MATLAB在空間解析幾何教學中應用的探索（2017QN08）。