透視直觀本意　感悟數(shù)學(xué)思想

鄭娟娟

摘 要：“幾何直觀”主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。通過借助幾何圖形，可啟發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，正確分析數(shù)量關(guān)系，找到解決問題的關(guān)鍵信息，提高問題解決的有效性。作者結(jié)合人教版義務(wù)教育教科書小學(xué)數(shù)學(xué)五年級下冊“解決問題——分?jǐn)?shù)加減法”的教學(xué)，從作圖析意，助力題意解讀;數(shù)形結(jié)合，助力策略探索;內(nèi)化升華，助力思想感悟三個方面來闡述如何借助幾何直觀，探尋問題解決的教學(xué)實踐。

關(guān)鍵詞：幾何直觀;作圖析意;數(shù)形結(jié)合;內(nèi)化升華

中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 收稿日期：2019-03-24 文章編號：1674-120X（2019）21-0074-02

一、引言

幾何直觀就是依托、利用圖形進(jìn)行數(shù)學(xué)思考和想象，它在本質(zhì)上是一種通過圖形所展開的想象能力，可以幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)、描述問題，探索解決問題的思路，理解和記憶得到的結(jié)果，正確分析數(shù)量關(guān)系，找到解決問題的策略，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中起著至關(guān)重要的作用。因此，在日常教學(xué)中，遇到比較復(fù)雜、難以用語言來描述清楚的問題時，教師不妨讓學(xué)生嘗試以畫示意圖作為突破口，在直觀形象的基礎(chǔ)上更好感知、領(lǐng)悟。應(yīng)有這樣的導(dǎo)向：能畫示意圖時盡量畫，其實質(zhì)是將抽象的思考對象“圖形化”，盡量把問題、證明等數(shù)學(xué)過程變得直觀，在直觀中去解決問題。

現(xiàn)以五年級下冊“解決問題——分?jǐn)?shù)加減法”為例來進(jìn)行闡述。

二、作圖析意，助力題意解讀

小學(xué)數(shù)學(xué)問題解決一般都以靜態(tài)的文字信息的方式呈現(xiàn)，有時候也會以某種動態(tài)呈現(xiàn)的純文字的信息出現(xiàn)，這樣就使數(shù)學(xué)研究的對象是“看不到，摸不著”的，學(xué)生也會由于信息的繁雜而無法理清數(shù)量關(guān)系，導(dǎo)致無從下手。這時，可以借力幾何直觀的解題優(yōu)勢，借助畫示意圖來理解動態(tài)呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)信息，使信息理解更加形象、更加生動，在理解的基礎(chǔ)上深入思考，并學(xué)會自我表達(dá)與簡單的題意刻畫。借助幾何直觀的形象生動的信息呈現(xiàn)過程，使學(xué)生在思考、想象、猜想中梳理信息，解讀和分析題意，理清解題思路，使所有的信息都交匯于示意圖上，找出解題的關(guān)鍵——理清正確的數(shù)量關(guān)系，從而打開學(xué)生智慧的心門，為順利解題提供方法保障。

例如，人教版五年級下冊“解決問題——分?jǐn)?shù)加減法”一課，教材以純文字的形式呈現(xiàn)“ 一杯純牛奶，樂樂喝了半杯后，覺得有些涼，就兌滿了熱水。他又喝了半杯，就出去玩了。樂樂一共喝了多少杯牛奶？多少杯水？”這部分內(nèi)容新增加的問題是“喝牛奶的問題”，這一問題所涉及的分?jǐn)?shù)比較抽象，常作為數(shù)學(xué)愛好者研究的智力題。學(xué)生面對這些文字時，往往無從下手，感受更多的是煩瑣、無跡可尋。因此，幫助學(xué)生理解題意，是解決問題的基礎(chǔ)，在讓學(xué)生閱讀理解的基礎(chǔ)上，教師可以充分放手讓他們用自己喜歡的方式進(jìn)行梳理、摘錄。大部分學(xué)生會采用文字描述的方法，在用文字描述方法的基礎(chǔ)上，會感受到信息量的多且難以理解。這時再突出用示意圖摘錄信息的方式，在用這兩種方法進(jìn)行表達(dá)之后，引導(dǎo)學(xué)生對這兩種摘錄信息的方法進(jìn)行對比，學(xué)生在充分對比之后會發(fā)現(xiàn)用文字描述比較煩瑣又不易理解，而畫示意圖的方法不但能直觀呈現(xiàn)問題的信息，而且有助于加深對題意的刻畫，從而更易于找出解決問題的關(guān)鍵——第二次喝的純牛奶是幾分之幾杯。但是學(xué)生由于還沒學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘法，無法用乘法來解決二分之一杯純牛奶的一半是多少的問題。此時，我們要作圖析意，充分借助幾何直觀，把靜態(tài)的數(shù)學(xué)信息鮮活地呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，使學(xué)生感悟幾何直觀的魅力，助力學(xué)生更加形象直觀地感知二分之一的一半是四分之一這一教學(xué)難點，也為后續(xù)進(jìn)一步探究解題策略，提供方法上的支撐。

三、數(shù)形結(jié)合，助力策略探索

幾何直觀是一種重要的解題策略，它具有形象性和可感性，它能有效溝通學(xué)生的具體形象思維與枯燥學(xué)習(xí)的內(nèi)容之間的聯(lián)系。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師要有效挖掘幾何直觀的科學(xué)內(nèi)涵，要充分發(fā)揮這種解題策略在數(shù)學(xué)探究中的作用，化靜態(tài)的學(xué)科知識為動態(tài)化，有效地突破學(xué)生的固有的思維。通過幾何直觀畫出示意圖，可以讓學(xué)生感受學(xué)習(xí)內(nèi)容的直觀化、形象化。因此，在教學(xué)中，要充分引導(dǎo)學(xué)生采用畫圖的方法，助力解題策略的探索，在“數(shù)形結(jié)合”中凸顯問題解決的本質(zhì)，從而突破教學(xué)難點，以形解數(shù)。

例如，在本課中，當(dāng)學(xué)生們已經(jīng)明確要解決樂樂一共喝了多少杯牛奶、多少杯水，解決問題的關(guān)鍵是要讓學(xué)生找出第二次喝純牛奶是幾分之幾杯。于是，我充分放手讓學(xué)生先獨(dú)立探索，學(xué)生在探究后展示時有很多種方法。有的學(xué)生用文字描述的方法：樂樂喝了半杯牛奶，兌滿了熱水，這時候杯子里有半杯牛奶、半杯熱水，又喝了半杯，這半杯里，一半是純牛奶，一半是水。所以樂樂第二次喝了半杯中一半的牛奶、一半的水。學(xué)生聽后眉頭緊鎖，有的若有所思。我又請一位學(xué)生來補(bǔ)充回答：“樂樂喝的一杯中，有半杯牛奶、半杯熱水，又喝了半杯，這半杯中一半是純牛奶，另外一半是水。所以樂樂第二次喝了四分之一杯的牛奶、四分之一杯的水?！痹诘诙粚W(xué)生回答后，我適時追問：“老師聽懂了，你們聽懂了嗎？”有一小部分的學(xué)生點點頭，大部分的學(xué)生都在沉默著，沉默的原因是過于抽象，學(xué)生們無法理解半杯中的一半是四分之一。這用言語來解釋過于蒼白，學(xué)生無法理解透徹。我趁機(jī)追問是否還有其他方法。有幾位學(xué)生在沉默之后舉起了手，我請他們來介紹做法，并適時展示兩位學(xué)生所畫的示意圖（如下圖）。

從學(xué)生所呈現(xiàn)的示意圖中，我們不難發(fā)現(xiàn)，由于有了示意圖的直觀呈現(xiàn)，學(xué)生能夠更加直觀地感知四分之一杯的牛奶在哪里，在數(shù)學(xué)上又該如何表示，使文字枯燥的呈現(xiàn)變得形象、多元。正是有了合理的數(shù)形結(jié)合，學(xué)生一下子明白了圖形中的四分之一杯牛奶的含義，不用乘法也可以直觀理解“一半的一半”就是四分之一。幾何直觀達(dá)到了“只可意會，不可言傳”的教學(xué)效果，使難懂的數(shù)學(xué)變得可感，變得形象、具體，活生生地呈現(xiàn)學(xué)生的思維過程，幫助學(xué)生理清思緒，豐富學(xué)生的解題策略，有效培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。我又適時地激發(fā)學(xué)生去思考如何更簡潔地表示，有的學(xué)生用線段圖的雛形圖表示，有的把示意圖化圖為線……學(xué)生在不斷思考、碰撞的過程中突出了幾何直觀的作用，又彰顯了示意圖的優(yōu)勢，在數(shù)形結(jié)合中，找到了解決問題的最佳策略。

四、內(nèi)化升華，助力思想感悟

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的歸宿點不僅是讓學(xué)生學(xué)會解決問題，發(fā)現(xiàn)問題解決的方法（畫示意圖），更重要的是要進(jìn)一步挖掘數(shù)學(xué)教學(xué)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的解題策略，使學(xué)生在梳理內(nèi)化的過程中，感悟數(shù)學(xué)教學(xué)的魅力，滲透數(shù)學(xué)思想方法。

例如，在學(xué)生借助畫圖策略找到解決問題的答案后，我并沒有就此打住，而是適時追問學(xué)生們還有沒有其他的辦法，能不能換個角度思考。學(xué)生們經(jīng)歷了強(qiáng)烈的頭腦風(fēng)暴。過了一會兒一個學(xué)生站起來說：“我們可以把注意力集中在純牛奶上，第一次喝了半杯牛奶，現(xiàn)在杯子里只剩半杯是純牛奶，第二次又喝了這半杯純牛奶中的一半，也就是四分之一杯牛奶。再把注意力集中在水上，加了半杯水，也是喝了這半杯水的一半，所以第二次喝的水和牛奶都是四分之一杯?！痹谶@位學(xué)生的啟發(fā)下，另外一位學(xué)生站起來說：“牛奶我們只要看喝的，第一次喝了半杯后，杯子中只剩下半杯，第二次喝了半杯中的一半，不就是四分之一杯嗎？水只要看加的，加了半杯水，喝了這半杯的一半也就是四分之一杯水，所以第二次喝的是四分之一杯的水和四分之一杯的牛奶?！边@一環(huán)節(jié)促進(jìn)了學(xué)生對數(shù)學(xué)方法的掌握。學(xué)生不僅感悟數(shù)形結(jié)合思想、變中不變的思想，還學(xué)會用換角度思考的方法來解決問題。

在回顧反思的過程中，我讓學(xué)生們用自己喜歡的方法檢驗，有的學(xué)生用畫圖法，有的學(xué)生用換角度思考法，有的用倒推法等進(jìn)行檢驗反思。

在這一系列的探究活動中，學(xué)生不僅獲得了解決問題的策略，更重要的是把數(shù)學(xué)思維推向深刻。這樣的學(xué)習(xí)過程一方面突出了解題策略的多樣化，另一方面彰顯了幾何直觀在解決問題中的作用，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，內(nèi)化并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

五、結(jié)語

透過一節(jié)課的數(shù)學(xué)探究，我們不難發(fā)現(xiàn)幾何直觀在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的作用，它溝通了數(shù)學(xué)與思維的聯(lián)系，通過形象直觀的思維呈現(xiàn)過程，整體把握學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解，借助數(shù)形結(jié)合這一橋梁，有利于培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要緊緊抓住數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)這一核心，有效挖掘數(shù)學(xué)內(nèi)涵，適時滲透數(shù)學(xué)思想，合理把握學(xué)生的思維動向，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。

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