小學生幾何直觀到數學抽象的轉化途徑研究

周小青

【摘要】抽象是形成概念的必要手段.本研究以“植樹問題”為案例，借助幾何直觀幫助學生完成從幾何直觀到數學抽象的轉化，經歷了借助直觀，積累經驗;語言表述，形成表象;建立模型，進行抽象;練習應用，提升思維的過程.

【關鍵詞】幾何直觀;四大策略;轉化途徑

【基金項目】本文系吉林省發改委項目認知診斷模型構建、軟件開發與推廣和吉林省教育廳“十三五”社會科學研究課題JJKH20180044SK的研究成果之一.

抽象是從許多事物中舍棄個別的、非本質屬性得到共同的、本質屬性的思維過程，是形成概念的必要手段.[1]抽象是數學的本質，而小學生的思維特點是以具體形象思維為主的，本研究以“植樹問題”為案例，借助幾何直觀幫助學生完成從幾何直觀到數學抽象的轉化.

一、借助直觀 積累經驗

最初的抽象都是基于直觀的.植樹問題是較為抽象的關于兩端都栽、只栽一端和兩端都不栽的棵數、間隔數的關系.例題：要在全長20米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵.一共要準備多少棵樹？這里學生必須先理解間隔數即長度和每兩棵樹之間距離的關系，以及棵樹、間隔數之間的關系，這對四年級學生來說是有一定難度的.學生要完成從抽象的文字理解到用符號表達建立模型（算式），需要經歷還原成直觀表達——語言表達——符號表達一步步的抽象思維過程.這里有兩個層次：一是先解決學生對間隔數的認識，二是間隔數與棵數之間的關系.教師通過實物圖（兩棵樹之間的距離）讓學生理解間隔數，進而借助圖示可以把線段圖中的點（棵數）——線（間隔數）建立起一一對應的關系，化抽象為直觀的表達.整個學習過程中，學生不斷畫線段圖、反復觀察線段圖，經歷從解讀實物圖到畫出線段圖的過程，積累了豐富的感性活動經驗，豐富了學生的表象.為后面的抽象做了鋪墊.

二、語言表征 形成表象

語言是思維的載體，也是數學的一種表達方式.通過具體的圖示，教師讓學生用語言把這間隔數與棵數之間的關系表達出來，利用語言內化為自己的理解，學生可邊指著圖示，邊語言表達：兩端都栽，間隔數4個，而棵樹有5棵，因為最后一棵沒有找到間隔數與它對應;只栽一端，間隔數與棵樹相等，剛好可以找到一一對應;只栽一端，棵數比間隔數少了1個.讓學生用語言表達出圖示表示的內容，往往要借助動作，比如，間隔數指的是哪部分？棵數又指的是哪部分？這樣才能真正把語言與圖示建立起進一步的聯系.這是學生內化的重要階段，教師可通過學生個人說，同桌互相說等方式.在說的基礎上進一步建立表象，教師讓學生閉上眼睛，想象每種情況及對應的線段圖，想象出棵樹（為什么多1，相等或者少1）的情境，在腦海中借助一一對應形成清晰的表象.

三、建立模型 進行抽象

符號是數學的語言，數學符號是數學抽象物的表現形式，是對現實世界數量關系的反映，是數學存在的具體化身[2].由幾何直觀到語言表達，逐漸揭示了事物之間內在的本質關系.通過讓學生列式，并說說為什么這么列式.在此基礎上利用數形結合、利用手勢引導學生說出每個列出算式的意思及依據，進而總結出公式來.片段如下：同學們，我們發現了植樹問題有三種不同的情況，在解決這三種植樹問題的過程中，有什么異同點嗎？

相同點：都和間隔數有關.

——在算式中哪里體現呢？教師在20÷5下面畫出一條線，都表示求間隔數.

——都可以利用一一對應來幫助理解間隔數與棵數之間的關系.

不同點：兩端要栽，棵樹比間隔數多了1個;只栽一端，間隔數=棵數;兩端不栽，棵數比間隔數少了1個.剛才同學們猜測的不同答案，你現在有什么想說的嗎？

——不同的栽樹情況，就會有不同的間隔數，因此，我們在解答這類題目時很重要的要先判斷是怎么“栽樹”的.現在你能整理出這道題這三種栽樹的算式了嗎？這樣的學習過程讓所有的同學在探究與交流中真正理解了算式（符號）的意思，建立起本課學習中最為重要的關系：

通過比較，凸顯本質，進而建立起模型（公式），促進抽象思維的形成.

四、變式應用 提升思維

從抽象的深度來講，還需從具體的模型中解釋具體的事物，即應用所學的知識靈活解決相關的生活問題.

教師讓學生找到生活中哪些類似于植樹問題.學生找到了掛燈籠問題、爬樓梯問題、鋸木頭等.學會利用所學的知識解決生活中的數學問題.

變式：1.說出下面各題中的“間隔數”與“棵數”：出示課件（掛燈籠、鋸木頭、教學樓下的柱子與間隔）

2.工人們正在架設電線桿，相鄰兩根間的距離是200 m.在總長3000 m的馬路上，一共要架設多少根電線桿（兩端都架設）？

3.馬路一邊栽了25棵梧桐樹.如果每兩棵梧桐樹中間栽一棵銀杏樹，一共要栽多少棵銀杏樹？教師通過基本題、提高題來不斷促進學生把生活問題與上述學過的棵數、間隔數利用判斷建立起聯系，從而由抽象的關系去解釋具體的生活問題，把抽象思維提升到另一個高度.

“植樹問題”的本質就是對應問題，只要明確了“間隔”與“棵數”這兩者之間的對應關系，突出“一一對應”的思想，再以此為基礎并通過適當變化就可以應對各種相關的數學問題.

史寧中教授曾說過：“人的基本思維能力就是想象能力和抽象能力，人的其他的思維能力就是它們派生的.”[3]他認為，數學抽象的內容在本質上只有兩種：一是數量與數量關系的抽象.二是圖形與圖形關系的抽象.對學生的數學學習而言，直觀是為了形成學生的生動表象并借以形成概念、發展規律，教師要重視讓學生經歷由直觀到抽象的過程并給予恰當的指導，促進學生抽象思維的發展.

【參考文獻】

[1]史寧中.數學基本思想18講[M].北京：北京師范大學出版社，2016.

[2]徐利治.徐利治讀數學方法論[M].大連：大連理工大學出版社，2008.

[3]史寧中.試論教育的本原[J].教育研究，2009（8）：3-10.

[4]秦德生.美國中小學“估算”課程設計及其啟示[J].外國中小學教育，2013（12）：50-54.