高中數(shù)學(xué)函數(shù)單調(diào)性的解法探討

許家睿

【摘 ? 要】 ?作為函數(shù)的一種重要性質(zhì)，單調(diào)性常常是某些函數(shù)問題求解的突破口，所以高中生要對函數(shù)單調(diào)性及其應(yīng)用技巧進(jìn)行深入學(xué)習(xí)和掌握。本文立足于高中數(shù)學(xué)問題求解視角，對函數(shù)單調(diào)性的常用解法進(jìn)行了深入探討，以期不斷提升高中生運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性解決數(shù)學(xué)問題的能力。

【關(guān)鍵詞】 ?高中數(shù)學(xué);函數(shù)單調(diào)性;解題方法

在高考數(shù)學(xué)試卷中，函數(shù)方面類型題的考察占比比較大，尤其是其中考察學(xué)生函數(shù)單調(diào)性掌握情況方面的題目非常多，相應(yīng)的考察樣式也比較多，增加了高中生求解的難度。為了使高中生更好地解決函數(shù)單調(diào)性方面的數(shù)學(xué)問題，就必須要強(qiáng)化他們對于相關(guān)函數(shù)性質(zhì)的理解和認(rèn)識，掌握必要的問題求解方法與技巧，借此來不斷地提升高中生解決函數(shù)類型題的能力。

一、巧借定義法，解決函數(shù)單調(diào)性問題

首先要從某一單調(diào)區(qū)間內(nèi)任意選擇兩個(gè)自變量參數(shù)x1和x2，之后求出并比較分析兩個(gè)參數(shù)所對應(yīng)的函數(shù)值f（x1）和f（x2），確定二者之間的大小關(guān)系。然后在對函數(shù)單調(diào)性概念進(jìn)行認(rèn)真遵從的基礎(chǔ)上，確定相應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并得出相應(yīng)的結(jié)論。在實(shí)際的函數(shù)單調(diào)性問題求解中，可以基于相應(yīng)的單調(diào)性定義來確定解題突破口。

例1 ?已知函數(shù)法f（x）=x3+sinx，-1≤x≤1，假定f（1-m）-f（m2-1）

<0。試求參數(shù)m的對應(yīng)取值區(qū)間。

解析：該道題是一道考察函數(shù)單調(diào)性的典型例題，通過基于函數(shù)單調(diào)性定義及性質(zhì)，可以快速找到解題突破口。如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上為單調(diào)增函數(shù)，且f（x1）

二、巧借導(dǎo)數(shù)知識，解決函數(shù)單調(diào)性問題

假定D為函數(shù)f（x）的區(qū)間，如果f（x）在該區(qū)間內(nèi)為可導(dǎo)函數(shù)，且如果可知f（x）=0，那么就表明函數(shù)f（x）為常函數(shù);如果f（x）>0，那么就表明函數(shù)f（x）為增函數(shù);如果f（x）<0，那么就表明函數(shù)f（x）為減函數(shù)。同理，假定函數(shù)f（x）在某特定區(qū)間D中是可導(dǎo)的且為減函數(shù)，那么可以推測f（x）<0;如果函數(shù)f（x）在某特定區(qū)間D中是可導(dǎo)的且為增函數(shù)，那么可以推測f（x）>0，這實(shí)際上就是函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，需要判斷函數(shù)f（x）和0之間的關(guān)系來進(jìn)行確定。在對某函數(shù)導(dǎo)數(shù)值進(jìn)行求解后，再進(jìn)行單調(diào)性判斷，那么有助于簡化某些抽象、繁雜的數(shù)學(xué)問題，尤其適用于高次函數(shù)或帶有參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性問題求解中。

例2 ?假定函數(shù)f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中參數(shù)a為實(shí)數(shù)。假定f（x）在區(qū)間（1，+∞）上為單調(diào)減函數(shù)，且函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上存在最小值，試求參數(shù)a的取值范圍。

解析：該道題涉及到未知參數(shù)，且函數(shù)本身比較復(fù)雜，所以如果直接進(jìn)行函數(shù)分析，那么解題過程比較繁雜，這時(shí)候如果可以運(yùn)用導(dǎo)數(shù)方面的知識，那么可以降低解題的難度。因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f（x）=（1/x）-a=（1-ax）/x，相應(yīng)的定義域?yàn)椋?，+∞），且在區(qū)間（1，+∞）上f（x）為單調(diào)減函數(shù)，所以可知參數(shù)a必然大于0。令f（x）<0，可得x>1/a，那么可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（1/a，+∞）上呈現(xiàn)為單調(diào)減函數(shù)。由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，+∞）上f（x）為單調(diào)減函數(shù)，所以可以得出：（1，+∞）∈（1/a，+∞），即1/a≤1，故可得a大于等于1。令g（x）=ex-a=0，可得x=lna。如果xlna，那么可知此時(shí)g（x）>0，此時(shí)函數(shù)g（x）為單調(diào)增函數(shù)，加之函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，+∞）上存在最小值，那么可得lna>1，即a>e。如此一來，就可以確定該道題的最終答案為區(qū)間（e，+∞）。

三、巧借復(fù)合函數(shù)，解決函數(shù)單調(diào)性問題

復(fù)合函數(shù)也是高中生學(xué)習(xí)函數(shù)知識中重要的學(xué)習(xí)內(nèi)容，具體就是將函數(shù)y=f（t）和函數(shù)t=g（x）融合在一起，構(gòu)成復(fù)合函數(shù)y=f[g（x）]，這個(gè)復(fù)合函數(shù)本質(zhì)上是由外層函數(shù)y=f（t）和內(nèi)層函數(shù)t=g（x）組合構(gòu)成。在對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判斷的過程中，需要對內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行全面分析，之后即可判斷出復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性情況，具體表現(xiàn)為：復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)的時(shí)候，內(nèi)外層函數(shù)的增減單調(diào)性是一致的，即都為增函數(shù)或減函數(shù);復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)的時(shí)候，那么可知內(nèi)外層函數(shù)的增減單調(diào)性是不一致的。在實(shí)際的學(xué)習(xí)過程中，可以按照“增增或減減為增;增減或減增為減”的口訣來進(jìn)行記憶。如此一來，就可以快速判斷出復(fù)雜復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性情況。

例3 ?試判斷函數(shù)f（x）=4 ? ? 的單調(diào)性。

解析：該道題目是一道典型的判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的類型題，實(shí)際的分析過程中，適宜采用分解法來進(jìn)行判斷，那么可以便捷地求出相應(yīng)的問題，具體就是先將待求函數(shù)f（x）劃分成內(nèi)層函數(shù)t=x2+1和外層函數(shù)f（t）=4t，其中內(nèi)層函數(shù)是關(guān)于x軸對稱的偶函數(shù)，其在左半軸和右半軸上分別為遞減函數(shù)和遞增函數(shù);外層函數(shù)在數(shù)軸上均表現(xiàn)為遞增函數(shù)。根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷依據(jù)，即“同增異減”的判定原則或特性來求出f（x）=4

的單調(diào)性，具體就是在區(qū)間（-∞，0）上為遞減函數(shù);在區(qū)間（0，+∞）上為遞增函數(shù)。如此一來，就可以使高中生快速地求解該道復(fù)合函數(shù)。

總之，三角函數(shù)是高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，其學(xué)習(xí)情況直接關(guān)乎高中生能否解決三角函數(shù)類型題。為了順利地解決三角函數(shù)單調(diào)性方面的問題，高中生需要巧妙地運(yùn)用定義法、導(dǎo)數(shù)知識和復(fù)合函數(shù)等來加以解決，同時(shí)需要注意不斷夯實(shí)自己的理論功底，確保可以有效地提升自身解決數(shù)學(xué)問題的能力。