以課堂模式改革　促數(shù)學(xué)課堂轉(zhuǎn)變

黃灝　何昌貴　何炳春

【摘 要】通過中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，我們要教、引導(dǎo)或傳遞什么？這是一個(gè)貌似極易回答的問題，因?yàn)榉叛蹏鴥?nèi)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂，充滿了數(shù)字、符號(hào)、公式和運(yùn)算，以及題型分類、技巧總結(jié)等微觀戰(zhàn)術(shù)，但如果僅止步于此，筆者認(rèn)為，那只能算是“教書”，并沒有“育人”，而后者更為重要，影響更加深遠(yuǎn)。那么，數(shù)學(xué)課堂如何將教書、育人有機(jī)融合？為形象、準(zhǔn)確地回答此問題，本文以《圓柱的體積》說課為例，從滲透數(shù)學(xué)文化、啟蒙思維方法、導(dǎo)入數(shù)學(xué)公式和引導(dǎo)深入思考幾個(gè)層面予以闡釋，探討數(shù)學(xué)課堂授之以“漁”的重要性、必要性和可循方法。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)文化;思維方法;啟發(fā)思考

【中圖分類號(hào)】G623.5? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2019）22-0198-03

1? ?滲透數(shù)學(xué)文化：創(chuàng)新+思考

所謂“育人”，不能簡單地認(rèn)為是通過政治課堂、思想教導(dǎo)就可以完成的，這是狹義層面的認(rèn)知。廣義而言，文化傳遞、思維訓(xùn)練和習(xí)慣培養(yǎng)等都屬于“育人”的范疇。毋庸置疑，各學(xué)科都承擔(dān)著“育人”的重要使命，數(shù)學(xué)課堂亦不例外。張奠宙先生指出：“數(shù)學(xué)文化必須走進(jìn)課堂”。那么，什么是數(shù)學(xué)文化，學(xué)界尚無確切的定義，我們也沒有必要糾結(jié)其具體內(nèi)涵，但可以從數(shù)學(xué)文化的導(dǎo)入方式、主要目的和重要意義等方面予以理解。

數(shù)學(xué)課堂的組成元素，并非只有數(shù)字、符號(hào)和公式，老師還可以挖掘、引入與本課堂相關(guān)的妙趣橫生的故事和血肉豐滿的人物，讓學(xué)生徜徉在數(shù)學(xué)歷史中，深切感受解決數(shù)學(xué)問題時(shí)歷經(jīng)周折的艱辛、奇思妙想的樂趣和取得成果后的欣喜，深入體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)科的重要價(jià)值與永恒魅力，極大激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的欲望和提升其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，無形中牽引著學(xué)生探討數(shù)學(xué)問題的信心。

以《圓柱的體積》課堂為例，相對(duì)直接“和盤托出”圓柱的體積公式，在課堂開始時(shí)，用8-10分鐘時(shí)間導(dǎo)入如下有趣的故事，更能勾起學(xué)生的興趣。故事名為“面積也可以稱出來”：有一個(gè)縣為了搞農(nóng)業(yè)規(guī)劃，需要準(zhǔn)確地計(jì)算出全縣的土地面積。地圖上雖然有比例尺，但是縣的邊界是彎彎曲曲的，怎樣才能計(jì)算出這個(gè)縣的面積呢？有一位木工師傅想出了一個(gè)巧妙的方法。他把地圖貼在一塊厚薄均勻的木板上，沿著這個(gè)縣的邊界鋸下一塊來，仔細(xì)地稱出這塊本板地圖的重量。他再從同一塊本板上鋸下一平方米木板，也仔細(xì)地稱出它的重量。這樣，只要算出木板地圖的重量是一平方米木板的多少倍，就知道木板地圖的面積是多少平方米。再把這個(gè)數(shù)乘以地圖比例尺的平方，就是這個(gè)縣的面積。

這個(gè)“稱面積”的數(shù)學(xué)故事，與其說是在教授一種“稱”的方法，不如說是讓學(xué)生覺得“很有意思”，原來還可以如此腦洞大開，竟然還可以這般“神”操作，充分調(diào)動(dòng)他們的學(xué)習(xí)興趣和打開他們的思維空間。

洛倫S﹒巴里特在《教育的現(xiàn)象學(xué)研究手冊》中說，“我們希望對(duì)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)的教師總是不斷地根據(jù)學(xué)生的興趣和需要來改變‘處理的方式”[1]，興趣是最好的老師、欲望是前行的動(dòng)力，在巧妙“破冰”之后，用投影趁勢展現(xiàn)出本課教材情境圖“圓柱體”，拋出第一個(gè)核心問題：圓柱體積如何計(jì)算？與圓柱的哪些元素相關(guān)？這時(shí)，學(xué)生將更加愿意去思考，更加大膽地去猜想，無論猜想正確與否，被動(dòng)接受與這種能動(dòng)性、參與性所產(chǎn)生的效果不可同日而語。

但是，受應(yīng)試教育的影響，當(dāng)前大部分?jǐn)?shù)學(xué)教學(xué)依然過分關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)的積累和數(shù)學(xué)技巧的訓(xùn)練，使數(shù)學(xué)逐漸喪失了原有的文化氣質(zhì)、價(jià)值魅力，僅剩下大量赤裸的數(shù)字、冰冷的公式和學(xué)生愁眉苦臉的運(yùn)算，這是數(shù)學(xué)教育的悲哀。在這種狹隘教育理念和短期成績導(dǎo)向下，從某種意義上來說，培養(yǎng)的是數(shù)學(xué)狀元、奧林匹克競賽冠軍，但不等于是數(shù)學(xué)大家，后者才是數(shù)學(xué)價(jià)值的彰顯者和創(chuàng)造者。為了還原數(shù)學(xué)本應(yīng)有的文化溫度，掃除學(xué)生畏懼、厭倦數(shù)學(xué)的種種障礙，逐漸改變?nèi)涨捌毡樽⒅囟唐诔煽兊默F(xiàn)象，筆者認(rèn)為，老師應(yīng)該懷揣一種傳承數(shù)學(xué)文化的情懷與堅(jiān)持，積極挖掘“創(chuàng)新+思考”的數(shù)學(xué)文化魅力，并通過一方講臺(tái)持續(xù)傳播開去，從課堂文化層面，建立一種敢于打破常規(guī)思維、勇于大膽猜想的氛圍，讓數(shù)學(xué)的教與學(xué)的過程充滿奇思、樂趣和成就感。

2? ?啟蒙思維方法：類比、遷移、變形等

如果把一堂數(shù)學(xué)課比喻成一臺(tái)偵探話劇，通過滲透數(shù)學(xué)文化調(diào)動(dòng)起學(xué)生的求知欲只是起到了“搭臺(tái)”和奏響樂器的作用，真正能夠讓學(xué)生深入其中去思考的最好方法，是老師預(yù)先設(shè)定好情景、道具和線索，讓他們可以自行選擇角色，借助已有的知識(shí)、方法和工具去探究答案，而不是坐在觀眾席上看著老師推導(dǎo)結(jié)果。因?yàn)椤敖逃哪康牟皇亲屓祟愘澝酪粋€(gè)現(xiàn)成的立法，而是讓他們能夠欣賞它，改變它[2]。”而“欣賞它，改變它”的前提，必定是發(fā)現(xiàn)、探尋到其中的奧妙或謬誤之后才可能做出的行為。總之，填鴨式講授，僅能讓學(xué)生知其然;情景式探究，還可以讓他們知其所以然，且是刻骨銘心、難以忘卻的。

以《圓柱的體積》課堂為例，在8-10分鐘數(shù)學(xué)文化滲透之后，設(shè)計(jì)20-25分鐘的新知探究環(huán)節(jié)，讓學(xué)生們踏上一場猜想驗(yàn)證之旅。操作如下：一是說明探究目的和注意事項(xiàng);二是為學(xué)生提供圓柱（實(shí)心、空心各一個(gè)）、等分的圓柱、天平、長方體容器、水、幾個(gè)同樣大小圓柱形的橡皮泥、1立方厘米的小正方體（實(shí)心）、直尺等學(xué)習(xí)材料;三是把學(xué)生劃分成若干小組，4人/組，讓各組選擇需要的材料開始探究。

我們在巡視中發(fā)現(xiàn)：有的小組根據(jù)探究圓面積時(shí)想到的畫曲為直的方法直接選取等分的圓柱;有的小組根據(jù)探究長方體、正方體體積時(shí)所用的測量上升部分水的體積和溢出部分水的體積的方法;有的小組選擇了圓柱形的橡皮泥，再把橡皮泥捏成長方體，進(jìn)而測量長方體的長、寬、高求出體積;還有一個(gè)小組特別有想法，從開課時(shí)“稱面積”的故事中得到啟發(fā)，選擇了天平和1立方厘米的小正方體，稱出了材料中實(shí)心圓柱的體積。最后，經(jīng)各小組共同商議，匯報(bào)展示了如下三種方法：（1）求上升部分水的體積和溢出部分水的體積;（2）圓柱體轉(zhuǎn)化成長方體求體積。（3）稱出圓柱的體積。這時(shí)，老師再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納，自然而然地導(dǎo)入圓柱體積的計(jì)算公式=底面積乘以高（sh）。

有人可能會(huì)說，不管怎么教，結(jié)論都是一樣的，那么這一番“折騰”的意義何在？筆者認(rèn)為，本課固然要教給學(xué)生圓柱體積的公式，但不是全部目的，訓(xùn)練其探究過程中的思維方法同等重要。“思維懷著去發(fā)現(xiàn)新事物的愉快心情和勇氣走向世界，期待著天天都有新的發(fā)現(xiàn)”[3]，比如，學(xué)生借用橡皮泥將圓柱體“轉(zhuǎn)化”為長方體，用“等積變形”的原理，將已掌握的長方體體積的計(jì)算方法“遷移”到圓柱體體積計(jì)算中來。如此以來，不僅可以加深學(xué)生對(duì)圓柱體體積公式的理解與記憶，還可以從小培養(yǎng)他們解決數(shù)學(xué)“新問題”的思維習(xí)慣。

數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展，必然是通過解決“新問題”來推動(dòng)的。讓我們做個(gè)極端的假設(shè)，假設(shè)學(xué)生記住了所有的數(shù)學(xué)公式，并歸納總結(jié)出了所有“老問題”的解決套路，那么在各種數(shù)學(xué)考試、競賽中都將所向披靡，但如果他們不具備解決“新問題”的思維習(xí)慣與能力，一旦拐到“老問題”“套路”之外的跑道上，在一個(gè)需要?jiǎng)?chuàng)造性解決問題的情況下，極有可能出現(xiàn)不知所措、舉步維艱的狀況。這是一種可怕的現(xiàn)象，足以讓數(shù)學(xué)學(xué)科停滯不前，以致于影響其他學(xué)科的發(fā)展。但是，目前很多數(shù)學(xué)課堂都在努力制造這種現(xiàn)象，教與學(xué)之間充斥的全是計(jì)算公式、解題技巧和考試秘籍，而忽略了數(shù)學(xué)思維方法的啟蒙教育。筆者認(rèn)為，著眼于數(shù)學(xué)學(xué)科的未來建設(shè)及社會(huì)文明的長遠(yuǎn)發(fā)展，這是值得深思并亟需做出方向性調(diào)整的，應(yīng)逐步轉(zhuǎn)向?qū)W生數(shù)學(xué)思維的敏銳性、創(chuàng)造性和批判性的培養(yǎng)上來。

3? ?引導(dǎo)深入思考：多種應(yīng)用，多維思考

引導(dǎo)學(xué)生推出圓柱體積的計(jì)算公式=底面積乘以高（sh）之后，對(duì)于學(xué)生來說，就又獲得了一種新的數(shù)學(xué)工具。在接下來的10分鐘里，我們設(shè)計(jì)了“小試牛刀”的鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生可以親自操刀去“解牛”，體會(huì)運(yùn)用這個(gè)新工具的方法和要領(lǐng)，才能真正將口訣轉(zhuǎn)化為應(yīng)用，實(shí)現(xiàn)從理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)變。

在這個(gè)環(huán)節(jié)，我們設(shè)計(jì)了三道練習(xí)題和一個(gè)小視頻。三道練習(xí)題都是求圓柱的體積，難度逐漸遞進(jìn)。第一道練習(xí)題屬于“書本型”的，給出圓柱底面積的半徑和圓柱的高，求圓柱體積;第二道練習(xí)題屬于“應(yīng)用型”的，通過兩幅圖展示，分別求房子上圓柱形的柱子需要多少木材、圓柱形的杯子能裝多少水;第三道練習(xí)題則屬于“思考型”的，只給出圓柱的側(cè)面積和半徑R，求圓柱的體積，再次引發(fā)學(xué)生的深度思考，然后引導(dǎo)展示出圓柱體積=二分之一側(cè)面積×R。最后，利用2分鐘播放小視頻：阿基米德發(fā)現(xiàn)圓柱容球，給學(xué)生們留下進(jìn)一步思考的空間。

為什么要引發(fā)學(xué)生的深入思考，而不是止步于圓柱體積公式的教導(dǎo)？筆者認(rèn)為，如果說在學(xué)習(xí)過程中啟蒙學(xué)生思維方法，利用舊知轉(zhuǎn)化成新知、利用遷移規(guī)律把知識(shí)轉(zhuǎn)化成技能、利用極限思想進(jìn)行推導(dǎo)等，是為了讓學(xué)生“學(xué)進(jìn)去”，那么，這個(gè)環(huán)節(jié)則是讓學(xué)生“用出來”。這里的“用出來”，包含幾個(gè)層面，一是學(xué)會(huì)運(yùn)用v=πr2h公式和給定的數(shù)值進(jìn)行代入式計(jì)算，這是最基礎(chǔ)的應(yīng)用;二是能夠利用圓柱體積公式解決水利、建筑等工程中的實(shí)際問題;三是將圓柱體積知識(shí)進(jìn)行遷移，去思考所知數(shù)值不充分的圓柱體、不規(guī)則的圓柱體抑或圓錐等的體積計(jì)算辦法，養(yǎng)成延伸式思考的習(xí)慣，這才是將知識(shí)轉(zhuǎn)化為應(yīng)用的正確解讀。

不難發(fā)現(xiàn)，這又循環(huán)到了用“已知”去探究“新知”的環(huán)節(jié)，同其他學(xué)科一樣，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也應(yīng)該是螺旋上升式的。然而，在應(yīng)試教育理念作用下，很多學(xué)生所掌握的數(shù)學(xué)原理、方程式是背誦習(xí)得的，習(xí)得后就把它們安放在一排排的暗盒里，然后貼上標(biāo)簽，需要用到哪個(gè)就去相應(yīng)的盒子里抽取。于是，這些原理、公式之間，左右是割裂的、上下是斷層的。在這種情況下，即便它們的數(shù)量規(guī)模越來越大，卻并不能產(chǎn)生創(chuàng)造性的生命力。因此，筆者認(rèn)為，老師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生深入思考、積極鉆研，逐步改變這種機(jī)械式的應(yīng)用與輸出局面。

綜上所述，通過《圓柱的體積》說課，可知中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂不僅要教會(huì)學(xué)生計(jì)算方法，還肩負(fù)著滲透數(shù)學(xué)文化、啟蒙數(shù)學(xué)思維方法和引導(dǎo)學(xué)生深入思考的使命，這些使命的意義和影響更加深遠(yuǎn)，值得每位數(shù)學(xué)老師去思考和踐行。

附：《圓柱的體積》板書

【參考文獻(xiàn)】

[1][美]洛倫S﹒巴里特，托恩﹒比克曼.教育的現(xiàn)象學(xué)研究手冊[M].北京：教育科學(xué)出版社，2010.

[2]《關(guān)于國民教育的五篇論文》，第85、86、93頁。

[3][德]E卡﹒西爾.啟蒙哲學(xué)[M].濟(jì)南：山東人民出版社，2007.