研發數學思想課程的必要性

段立偉

摘 ? 要：當前學生普遍缺乏數學思想方面的系統知識，使得學習多在細處鉆研不能串聯。解決這一問題有效方法之一是編制數學思想課程，通過有序、緊湊的課堂學習來幫助學生建構數學思想智慧體系。

關鍵詞：小學數學;數學思想;課程化

中圖分類號：G623.5 ? 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1009-010X（2019）19/22-0113-06

一、問題的提出

（一）課題研究的背景

長久以來在小學數學界一直認為數學有兩條線：數學知識是一條明線，數學思想是一條暗線。這種認識是片面的，不科學的。眾所周知，人的學習分兩種：一種是上行學習，如理論、思想、方法、概念的學習，是從高處入手，往往具有提綱挈領的作用;一種是下行學習，如具體的題型、知識點、經驗的積累與感悟，這兩種學習相輔相成，缺一不可。當學生知識存量少時滲透數學思想是符合認知規律的，當學生知識達到一定存量時，思想就有了學習的條件，隨著學生知識量的增加，如何運用數學思想來減輕大腦負擔，提升思維效率，變革知識結構將越來越成為必要。當前師生普遍缺乏數學思想方面的知識，使得學習多在具體問題上徘徊，解決這一問題最直接有效的方法是編制數學思想課程，通過有序、緊湊的課堂學習來幫助學生建構數學思想智慧體系。新課標也明確指出掌握“數學思想方法”是四基之一。正是在這樣的背景下，我們提出了研發小學數學思想課程的課題。

（二）國內外研究現狀及分析

國際數學教育改革呈現出了突出數學思想方法作用的趨勢，現代化數學教育改革運動的指導思想是“大眾數學”，大眾數學是指把數學教育從單純以升學為目的轉向為日常生活、就業需要與進一步學習相結合方面上來，大眾數學的關鍵就是數學思想方法的大眾化。目前，國際上以“數學思想方法大眾化”為理念的小學數學思想課程并不多見，這也是理念多于實踐的原因之一。

國內在知網，萬方網、維普網中輸入“小學數學思想”關鍵詞后，我們共得到相關研究成果近2萬之多！再對近3年下載量前10的研究成果進行分析梳理后，我們得到的結論是：普遍是“……思想滲透”“……思想有效策略”。在對近三年立項課題的搜比結論基本相同。廣大優秀教師和專家學者在這些方面做了大量的、深入的、卓有成效的研究，但在數學思想如何大眾化、系統化、課程化的研究方面是比較少的，原因有多方面，但主要是我們一直認為學習數學思想應選擇滲透方式。

（三）本單位調研情況

2016年5月，在本單位六年級各班共發放“小學六年級數學思想了解度”調查問卷300份，收回有效問卷278份。

1.你知道什么是數學思想嗎？

統計：不知道和知道一點的人數占91.0%。

2.下面的數學思想哪些是你熟悉或聽說過的？

統計： 200次以上的有方程、統計、假設，在100到200之間的有歸納、轉化、等量代換、量率對應、概率。

3.你覺得數學思想有沒有學習的必要？

統計：認為很有必要的人數占70.9%。

4.你見過專門講小學數學思想的書籍嗎？

統計：“沒見過”的學生占73.0%。

5.你知道數學思想與數學能力的關系嗎？

統計：不知道和知道一點的占87.1%。

6.平時上課老師講數學思想嗎？

統計：經常講的只占10.4%，基本不講和很少講的占52.5%。

在對15名數學教師（非課題組教師）的座談中，統計到能說出三種數學思想的2人，說出一種的5人，能結合例子簡述化歸含義的2人。

綜合分析，可得到以下判斷：

（1） 數學思想是有學習基礎的;

（2）學生想學，教師想教是明確的;

（3）大家在數學思想方面的知識是不夠完善的。

二、分析現狀成因

（一）客觀上

一是選拔性的“應試教育”為社會普遍認可，使得數學思想教育不受重視;二是教師的數學思想知識不夠完善;三是缺少適合在課堂上教學的小學數學思想課程。

（二）主觀上

長久以來在小學數學界一直認為數學思想的學習是從屬于知識點的。

通過完成有一定參考與應用價值的小學數學思想課程，來幫助學生建構數學思想智慧體系。此課程需站在系統的高度組織小學數學思想，需符合“大眾數學”理念。

三、課程的理論依據

（一）哲學中的系統論

所謂系統是由相互聯系、相互依賴、相互制約和相互作用的若干要素組成的一個具有整體功能和綜合行為的統一體。它具備四性：整體性、層次性、結構性和開放性。小學數學思想系統是建立在小學數學課程基礎上，以小學數學中的數學思想做系統要素，以反映各要素之間在數學上的邏輯關系，和在學習上的過程關系為目的的系統。

（二）認知規律

認知心理學證明，約11、12歲的兒童，思維已進入了形式運算階段，接近于成人思維，這一階段的兒童可以不再依靠具體事物來運算，能對抽象的和表征的材料進行邏輯推算，所以形式邏輯的演繹、歸納、類比以及更加抽象化、符號化的數理邏輯都有可學的內因。

（三）課標要求

新課標明確了“數學思想方法”是四基之一。

四、課程簡介

（一）課程目標

通過課程學習幫助學生建構數學思想智慧體系，培養學生“對稱、有序、變通”的思維能力。

（二）課程建構指導思想

思想是智慧，智慧是不能嚴格按從屬關系建構的，但基本結構（集合、等分、比較）是清楚的;核心思想（抽象、推理、模型）是不變的;對稱、有序、變通的思維智慧是統一的。

（三）內容概述

總的來說，小學數學思想可捋出五條線索。

第一條線索（第一單元），集合、等分、比較、推理是主線。人做事或思考問題都應先定目標，再依目標定范圍，順秩序。順秩序有兩個目的，一來是想知道集合大小，這時順秩序具體為對集合建量綱，可通俗為有序等分;二來是要研究集體內各元素，各方面及與外集合之間對立統一的關系，這時順秩序具體為“比較”與“推理”，比較是從策略上組織集合，先分層劃分集合，再歸納類質，再分析類間關系，系統的把握集合，但如何歸納，如何整體把握，則需要明白歸納、類比、演繹是如何的學問，課程把其通俗為同類同理、異類同理、依理推理。

當學生學到以上知識，數學思想的智慧體系框架也就有了，緊跟其后是“類、基本數量關系與關系句”的學習，這樣安排理由有三，一來是基本數量關系、關系句與具體應用題之間存在著緊密的聯系，是數學課程的重要內容，也是鍛煉學生思維能力的重要方面;二來能充分發揮數學思想作為上位知識的學習優勢;三是體現學以致用的務實精神。

第二條線索（第二單元）是對應、轉化與不變求變。對應是轉化的條件，轉化是對應的目的，不變求變是對應與轉化的補充（強調條件、策略）。

第三條線索（第三單元）是分與合。從簡單的湊、刨，到秩序上的排列與組合，再到分類、討論與整合，分解、重組與整合，分合之間的智慧由表及里，層遞深入。

第四條線索是對消、還原、方程與假設。這四個思想有著緊密的聯系， 從方程來說，還原與對消是解方程的根據，從假設思想來說，方程的解題觀與假設的解題觀正好對立，方程是“順其自然”，假設是“有意而為”。

第五條線索是極限與統計概率。這兩個思想統一在頻率上，頻率屬統計范疇，概率可以看成是頻率的極值，區別是極限在終極狀態下解問，統計與概率是為決策而立術建說。

最后一課講“對稱、有序、變通”的智慧，從更高更深刻的層次統領數學思想智慧體系，不論數學還是在其它學科，還是生活、工作都應用它來指導自己的思維。

課程由理論、教材解析、教材三部分組成，共五個單元19節，約22課時。

（四）課程內容特色

兼顧大眾理念，科學思維和課本關鍵知識。

1.在大眾數學方面。集合、等分、比較是具有普遍實踐意義的數學思想;歸納、類比、演繹是具有普遍推理意義的數學思想;對稱、有序、變通的思維是數學思想的智慧根據（圖1）。

圖1：對稱、有序、變通是建構與推理的根據

2.在與課本關鍵知識結合方面。課程將基本數量關系、基本關系句、典型應用題、統計與概率、方程等方面的知識及相應技能與數學思想融為一體，充分發揮課程在上位學習方面的優勢。在“部分課程”中，部整、份總、大小、倍比是最基本的數量關系。一類內分有部整關系，當內等分時，部整關系可以轉代成份總關系;兩類比較有大小關系，當大數可按小數等分時，大小關系轉代成倍比關系;分率是兩量按1：1等分后的份比關系，在一類內分中：分率=■，一般寫成：“部分量=整體量×分率”，在兩類比較中：分率=■，一般寫成：“比較量=標準量×分率”，根本是■=■的比例方程。

3.以間隔模型為例，示范如何科學的思維。課程以間隔問題為例展開教學，選擇間隔是因為有很多題型都可以歸結到這一模型上，在它的身上可以深層次的體現對立統一的觀點，能充分地說明對稱的、有序的、變通的思維方式能帶給學生極好的印象及起到示范作用。

（1）與“不封閉”對稱的是“封閉”。植樹問題是最簡單的間隔問題，主要講不封閉的間隔關系，與它對稱是封閉的間隔關系。在植樹問題中，首先研究的是兩端都植的間隔關系，還有一端植一端不植，和兩頭都不植的情況存在，這三種情況對稱在差異上，分別總結各自的間隔關系，再引導學生變通看待，即“一端不植”和“兩端不植”可以看成是“兩端都植”的特例。

在封閉中，最簡單的是圓。引導學生先研究圓中的間隔關系，再研究不圓，并最后整合出不論“圓”與“不圓”只要是封閉的線就都有“點數=間隔數=每邊點數×4-4=（每邊點數-1）×4”的穩定關系存在。而封閉的間隔關系，又可以與不封閉中“一端不植”的情況變通，從而實現更廣泛意義的變通。

（2）與“線”對稱的是“面”。不封閉也罷，封閉也罷，總的來說都是間隔在線上的關系。線與面對稱，面上最簡單的間隔關系是方陣，方陣中最簡單是實陣，與實陣對稱的是虛陣，依次歸納各間隔關系，最后再整合優化，融會貫通。

當虛陣只剩一層時，虛陣就變通成一條封閉的線，它的“虛陣點數=4×層數×（最外層每邊數-層數）”公式就變通成“虛陣點數=4×1×（最外層每邊數-1）”與封閉線上“點數=（每邊點數-1）×4”又統一了。

（3）與“面”對稱的是“體”。面與體對稱。體即物體，而物體與點線面最大的區別在于運動。所以這樣看來，前面所研究的為靜，而靜與動對稱且變通，在動中最簡單的是行程，行程中的“時間=路程÷速度”，從靜的角度看，就是以速度為間距，看路程中有這樣幾個間隔，這樣看來“份數=總數÷每份”“數量=總價÷單價”“工作時間=工作量÷工作效率”均為間隔。

（4）與“行程”對稱的是“工程”。行程與工程對稱，差異在行程必須有具體量，而工程無量綱。

（5）“一般行程”與“典型行程”對稱。在典型行程問題中，最直接的間隔問題是“相遇”，求“相遇時間”就是求“相遇路程”。如果以“速度和”為間距的話，有多少個間隔。相遇是相對而行，與相對而行差異對稱的是相反和同向，相反的問題可以歸結到“相遇”的關系上，同向的問題可以歸結到“追擊”上，求“追擊時間”就是求“追擊路程”中有多少個以“速度差”為間距的“間隔數”。

（6）“行程”與“非行程”對稱。非行程典型間隔問題是“盈虧”與“雞兔同籠”。盈虧是看由于兩次配額不同造成的總差距（盈加虧），里面有多少個小差距（配額差），其實質就是在求間隔數。雞兔同籠也是這樣，假設全是兔，算出總腿差，再看造成這么大的差需要多少個小差（4-2），從而算出雞的只數。

間隔模型的這種同干異枝，同枝異條，同條異花，同花異果，同果異味兒，為怎樣對稱的、有序的、變通的思維做了很好的示范，能讓學生印象深刻、記憶久遠，遷移廣泛。

五、問題與設想

因課程綜合性，如想連續完整的學習建議安排在六年級下學期。如果能將課程分層于四至六年級效果理應更好，做小初銜接也很有意義。如果能統一思想框架，并在此框架下建構一架多本的數學思想特色課程，將會更有意義。

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