淺談高中數學解題教學中的分類討論方法

柏楊

【摘要】隨著高中數學知識難度的提升，很多學生在學習中都遇到了問題，尤其對于解題感到更加為難。這就需要教師提供正確的解題方法。分類討論方法是一種重要的策略，是一種重要的數學思想，也是一種數學邏輯方法，體現了化整為零的思想以及歸類整理的方法。基于此，文章分析了高中數學解題教學中的分類討論方法。

【關鍵詞】高中數學;解題教學;分類討論方法

分類討論是一種重要的解題策略，但是當前很多學生在這方面的應用意識以及能力都較為不足，使得他們無法有效地應用該方法解題。分類討論思想一般體現在高中數學問題中，如數列、立體幾何、不等式以及函數等內容。

學生在解高中數學題時經常會出現一些情況，如在解到某一步之后，問題變得復雜，不能再用統一的方法、標準繼續解題，學生就會不知所措。這是由于解題方法中包含不止一種情況，而是有多種情況，這時需要列出已知的各種條件，合理地思考若干種可能的情形。

在這些情況下按照一定的標準解題，明確解題的思路和方法。這里就集中體現了問題解決的方法是由大化小，由一般化特殊，由整體化為部分。在分類解決問題后，需要將這些問題進行整合。所以，分類討論方法的解題過程就是“合-分-合”。

一、分類討論方法的重要作用

分類討論思想是以劃分概念和集合分類為基礎的。在高中數學解題中使用該思想方法需要注意以下幾方面。

（一）清楚引起分類討論的原因

在使用分類討論思想方法時，為了更好地解決問題，就需要明白分類的原因，進而明確分類的標準，在此基礎上開始解題。引起分類的原因主要有幾方面，如：公式、定理、概念、法則、性質等的定義;包含參數的不等式、方程以及函數等問題，由參數值的“量變”引起結果的“質變”;在對幾何問題進行研究的過程中，因為圖形的變化，不確定圖形的形狀而導致問題結果出現變化，從而存在多種可能性;排列組合問題的特殊情況;等等。

（二）學會正確分類討論的方法

要科學地進行分類，就需要在分類的過程中設立統一的標準，實現不重復，不遺漏。正確科學的分類討論要堅持幾種原則：第一，分類討論的對象要做到沒有遺漏，不重復;第二，分類的標準需要清楚;第三，如果分類討論的對象不止一種，那么就需要分層次進行討論，每個層次需要分別有統一的標準。

（三）注意分類討論結論的整合

分類討論思想有一個顯著的特征，即邏輯性。在解決這類問題時，就需要具備一定的邏輯推理以及分析能力，還需要掌握一定的分類技巧。除了要注重分類討論思想的運用之外，還需要注意“不要看見參數就想著分類討論”。

要是能夠對數學問題進行整體的處理，那么自然就無需進行分類討論，不然只會讓問題變得復雜，浪費解題的時間。

二、高中數學解題教學中的分類討論方法運用

（一）利用數學概念分類討論

在高中數學學習中，有很多的概念都是分類給出的，例如函數圖像和直線的位置關系、直線斜率、分段函數等。如果數學問題和數學概念有關，那么在解題時就需要學生結合給出的概念展開分類討論，進而完整、正確地解題[1]。

例1：如果函數（且）存在兩個零點，那么求實數的取值范圍（? ? ? ? ）。

這道題就是基于概念而產生的分類討論，看起來好像是對指數函數圖像與直線的位置關系的知識點進行考查，其實是考查指數函數的性質與概念。所以，在解題的過程中就需要結合底數的不同取值情況分類展開討論。

設（且），，因為函數有兩個零點，也就是和這兩個函數圖像的交點有兩個。將函數圖像畫出來，就會出現：當的值的范圍在0到1之間時，這兩個函數圖像的交點個數是一個，和題意不相符;當的值大于1時，的圖像經過點（0，1），而的圖像在點（0，1）的上方，這時可以判斷兩個函數圖像的交點數量是兩個，進而能夠明確的取值范圍。

在解這道題時，就運用了分類討論的方法，求的是實數的取值范圍，通過分類討論，結合圖像，就能夠解出這道題的答案。

（二）結合參數變化進行分類討論

有些數學問題中含有參數，因參數的取值是不固定的，因而可能有多種結果。在對這樣的問題進行求解或證明時，就需要依據參數的具體取值情況開展相應的分類討論，在解題中需要思考全面，對每種情況進行分類討論。

例2：當取什么值時，不等式的解是一切實數。

可以看到題目中的式子是一個不等式，但是并不明確是一元一次不等式還是一元二次不等式。所以，在解這道題的時候就需要針對參數開展分類討論，一共分為兩種情況：第一種是，第二種就是。分別討論之后再進行整合歸納。

在第一種情況下，能夠解出的值為1或2：當時，原不等式為2>0恒成立，因此這一取值和題意是相符的;當時，不等式變為，解為，與題意不符。

在第二種情況下，要使不等式恒成立，必須使相應的圖像開口向上，且判別式小于0，因而得出，且，解得或。

最后綜合第一和第二兩種情況，就能夠得出的取值范圍為。

（三）在幾何中運用分類討論思想

例3：如圖1，在三角形中，，三角形內有任意一點，且，求證。

要解這道題，教師要讓學生對三角形的各個角進行假設，設，，，根據正弦定理可得，，已知進而得出，又，即，且，從而能夠分別得出和的范圍：，。在這個區間內，是非單調函數，所以需要展開分類討論。

第一種情況是，∵，，∴，得出，且，，因而。

第二種情況是，∵，∴又，則，即，與第一種情況同理，最后得出。

綜合這兩種情況可以知道，∵，，∴，，因此。

（四）小組合作，提升論述深度

通常為了更好地顯示出分類討論在解題中運用的優勢，一般都是以小組的方式進行討論的，這樣可以避免一個人分類討論時出現遺漏，也可以更加全面地對各種情況進行討論。并且如果任務量增加，單靠一個人分類討論解題，也會容易出現錯誤。所以，在高中數學教學中，教師需要注重對學生的分類討論思考習慣進行培養，讓學生養成良好的習慣，按照學生能力對學生進行分組。然后選擇一個題目，讓每個學生在小組內討論溝通意見，也可以讓他們以同一處作為切入點，對分類思路進行查缺補漏。這樣能夠尊重學生在小組討論中的意見，還可以利用平等討論及實時討論的方法，增長每個學生在不同分類方法運用中的經驗。學生如果可以在規律性較強的小組討論中保持十分鐘，那么大概就能夠得出正確的答案，參加小組分類討論的學生得出的答案一般都準確率較高[2]。

例4：已知數列的前項和是（1），（2），求數列的通項公式。

教師可以讓學生在小組合作中對這道題進行求解，開展分類討論。學生在小組內觀察這道題目，會明確其涉及的知識點是和。

其中，（1）分兩種情況討論：當時，;當時，。也符合此式，綜合可得（1）的通項公式為。

（2）也分兩種情況討論：當時，;當時，。不符合此式，綜合可得（2）的通項公式為。

在小組合作中解這道題，學生可以全面地對各種情況進行分類討論，不會出現遺漏的情況，從而更好地解題。

除了在實際數學解題中運用分類討論思想，在預習或者復習中也可以運用分類討論思想。比如，在學習新知識時，小組成員在學習中就可以分類討論，劃分新知識以及舊知識，這樣能夠有效地提升學習效果。

綜上所述，要想讓學生能夠更好地解題，提升解題的速度以及準確率，教師就需要注重教授學生解題的思想和方法。只有掌握正確的解題方法，學生才能在遇到問題時不懼怕，正常地解題。

正確應用數學思想方法能夠促進學生數學能力的提升，能夠讓學生運算起來更加簡捷，推理利用更靈活。分類討論是一種重要的數學思想與解題方法。在解題教學中，教師需要注重對學生的分類討論能力進行培養，對思維縝密性、條理性進行培養，訓練他們的分類討論思想，提升學生對于數學學習的興趣。這無論對學生的數學學習還是對他們以后的發展都具有重要的影響。

【參考文獻】

[1]李凌云.分類討論思想在高中數學解題過程中的運用[J].中學數學教學參考，2017（11X）：37-38.

[2]王娟.高中數學解題教學中的分類討論策略[J].理科考試研究（高中版），2016（09）：14.