核心素養下初中生數學猜想與探究能力培養

丁錦林

[摘 ?要] 核心素養要求培育學生的必備品格與關鍵能力，必備品格是在關鍵能力培養過程中同步得到培養的，因此關鍵能力的培養實為學科教學的基礎與首要指向. 對于初中生的數學學習而言，建構數學知識的過程就類似于數學理論的建立與發展過程，可以保證核心素養的各個要素能夠真正落地.

[關鍵詞] 初中數學;猜想探究;能力培養;核心素養;勾股定理

核心素養要求培育學生的必備品格與關鍵能力，根據當前認同的基本觀點，必備品格是在關鍵能力培養過程中同步得到培養的，因此關鍵能力的培養實為學科教學的基礎與首要指向. 在初中數學教學中，培養學生的猜想與探究能力，既是課程改革中強調的重點，也對應著核心素養下的能力培育指向，同時與數學學科核心素養的要素密切相關，因此是初中數學教學的重要任務. 筆者試以蘇教版初中數學“勾股定理”的教學為例，談談自己的淺見.

核心素養下猜想探究能力培養的理解

猜想對數學理論的建立和發展有著重要的作用，在初中數學教學中，教師要結合現代教育理論，積極聯系學生的生活經驗和認知基礎，探索并實踐培養學生猜想能力的有效途徑，從而提升數學課堂效率. 對于初中生的數學學習而言，建構數學知識的過程就類似于數學理論的建立與發展過程，尤其是在核心素養的背景下，引導學生建構數學知識，應當通過為學生設計符合他們認知規律的學習過程，來保證核心素養的各個要素能夠真正落地.

蘇教版八年級上冊“勾股定理”的教材設計，通過歷史上希臘發行的郵票引入勾股定理的歷史，其后基于這個史實創設一個情境，讓學生加工如圖1所示的素材，通過計算以AB為一邊的正方形的面積去推理得出勾股定理.

這個過程中，猜想探究主要體現在這樣的幾個環節：一是猜想為什么郵票上會出現這樣一個奇怪的圖形;二是猜想這三個圖形之間有什么關系;三是猜想這個關系在數學中有什么地位. 這些猜想有的是與數學直接相關的，如第二個猜想，有的與數學無明顯直接關系，但能影響學生對數學學科尤其是數學規律的理解. 好多學生正是知道郵票所代表的紀念意義，才認識到這樣的三個圖形背后隱藏著的“肯定是一個重要的數學規律”（學生語）.

猜想之后應當是探究，但對于初中學生而言，要想在猜想的基礎上激發起探究的欲望，還需要教師進行引導，因為初中學生的認知特點決定了他們中有相當一部分人不可能有強烈的探究并徹底解決問題的動機. 筆者在學生猜想之后采用的探究方法，就是介紹數學史上畢達哥拉斯去朋友家的故事，較為明確地指出三個正方形存在一定的數量關系，這就是我們要探究的方向.

在這樣的例子中我們發現，在數學概念或規律的學習中，學生的猜想探究欲望往往取決于學習情境，而猜想探究的能力則存在于具體的猜想與探究的過程當中. 無論是猜想還是探究，會直接運用到數學學科核心素養中的直觀想象、邏輯推理、數據分析、數學運算等，最后形成的數學模型，則對應著數學建模. 因此猜想探究能力的培養，與數學學科核心素養培育的途徑高度重合，前者就是實現后者的重要途徑.

基于核心素養培養猜想探究能力的途徑

既然是培養學生的猜想探究能力，那教師在其中的作用自然不能忽視. 而基于核心素養培育的需要去尋找培養學生猜想探究能力的途徑，也是教師教學研究的應有之義. 通常認為，猜想探究是學生數學關鍵能力之一，提高學生猜想探究能力需要教師設計高認知水平任務，教師的講解與反饋要尊重學生猜想探究的權力，還要激發學生獨立思考、合作交流和自我反思. 將這一思路具體到“勾股定理”的教學中，我們可以設計如下幾個教學環節：

一是通過現代教學手段，呈現基于數學史的與勾股定理相關的材料. 如上述郵票，在呈現的時候，可以借助動畫手段，讓其中的三個正方形部分凸顯出來，以強化學生的注意對象. 在史料加現代教學手段激活了學生的注意（興趣驅動）之后，學生就容易進入猜想情境，進而提出相關的問題.

在這個過程中，學生的猜想能力培養主要體現在基于對郵票上圖形的觀察，基于生活中形成的郵票上的圖像必定具有紀念意義的認識，學生會猜想這三個圖形的意義是什么，進而激活探究欲望.

二是引導學生關注圖形，猜想、探究其中的數學關系. 必須提供的信息是：每個小方格的面積視作1，計算小、中、大三個正方形的面積并發現其中的關系. 探究所用到的數學知識并不復雜，因此探究的重點實際上并不在于這三個正方形面積關系的發現，而在于結論得出之后學生生出的另一個疑問：直角三角形的這個三邊關系，是否是偶然的？對于這個問題，仍然可以組織學生猜想，其后還需要通過其他的方式來證明.

這個過程中，猜想與探究并存，兩種能力都能得到培養.

三是進一步給學生介紹歷史上勾股定理的證明方法，這些方法未必要一一詳細體驗，其目的在于讓學生認識到此前探究得出的結論是可靠的，進而將猜想上升為“定理”.

這個過程中，學生的猜想與探究作為認知活動，可以得到鞏固，從而可以強化學生此前猜想與探究過程中的認識，培養學生的猜想自信與探究能力，這是傳統猜想與探究教學中容易忽視的一點，但對學生的學習品質卻有著重要的影響.

從學科核心素養培育的角度來看，勾股定理猜想與探究過程中對圖形的加工涉及邏輯推理、數學運算與數據分析等，建立起來的勾股定理當屬數學模型，核心素養的培育過程蘊含其中.

猜想探究能力對促進數學學習的評估

通過上述案例可以看出，初中數學教學中培養學生猜想與探究能力的途徑，其實在于猜想與探究過程的設計與優化. 就勾股定理這一內容的教學而言，讓學生加深對勾股定理的理解，培養學生的數學探究能力和數學想象能力，以讓更多的學生熱愛數學，熱愛數學學習和數學探究，提高數學興趣、探究熱情和思維能力，提高初中數學課堂教學質量，是基本的教學取向.

將此教學取向置于核心素養培育的背景下，猜想與探究能力的生成過程何以與核心素養得到培育的過程相吻合，是需要評價的一個重要問題. 這里需要從教與學兩個方面來考慮，在實際教學中，當面向學生時一般不需要將數學學科核心素養的六個要素分解開來，去與猜想探究能力培養的過程一一對應，因為學生需要的是一個完整的學習過程，而不是被“肢解”的學習過程. 但對于教師而言，對一個完整的猜想與探究過程進行剖析，以發現并強化其中數學學科核心素養要素的存在，是一個必須進行的動作. 只有這樣，教學研究的視角才能更加深入.

總之，初中數學教學中培養學生的猜想與探究能力是重要的，置其于核心素養的視角下，更具現實意義與歷史意義.