淺談高中階段數學建模素養的培養

摘要：數學建模是數學學科核心素養的基本組成要素之一。數學建模搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式。教師應在教學實踐中不斷探索和總結培養學生建模素養的有效教學策略。本文首先簡要闡述了高中數學建模素養的培養路徑，而后結合實例進行了具體探討，冀對一線教師有所助益。

關鍵詞：數學建模;核心素養;高中數學;新課標;教學體會

核心素養的提出是新一輪高中數學課程改革的最大亮點之一，隨著課改不斷深入，促進學生核心素養發展更成為一線教師的核心教學指向。數學建模是數學學科核心素養的基本組成要素之一。數學建模是真正意義上的“學以致用”的基礎，是運用數學知識解決實際問題的必由途徑，故而“數學建模”素養的培養對學生的發展尤其意義非凡。以下擬結合筆者的探索實踐及體會對此作一簡要探討，冀對一線教師有所助益。

一、 建模素養培養路徑

核心素養的實質是“必備品格”和“關鍵能力”，數學知識和技能在將來可能會遺忘，而且有很多可能根本不會用到，但核心素養則是跟隨學生一生的東西，它是經過內化而形成的隱性的“思想指導”“行動指南”，在潛移默化中發揮重要作用。由此來看，核心素養的發展和養成必然是在大量的針對性訓練中實現，也就是通常所說的“量變引起質變”，不經過這一關，所謂核心素養的培養也就淪為空談。當然，這期間離不開教師的合理引導和有效點撥。具體到建模素養，按照課標中給出的定義，它是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學方法構建模型解決問題的素養。因而建模素養的培養離不開大量實際情境的創設和真實案例的列舉。具體來說，教師要注重在教學中引導學生經歷建立數學模型并應用其解決實際問題的過程，使學生形成深刻體驗，實現從感性認識到理性認識的躍遷和升華，這也就代表著學生真正掌握了數學模型的本質。長此以往，必能在潛移默化中提升學生的建模素養。

二、 例談建模素養培養

我們常說“數學來源于生活又服務于生活”，從廣義上說，所有數學知識都可應用于實際問題的解決，也就是說在學習這些知識時可以滲透建模素養，只不過有的知識與實際聯系更緊密，更多地被用于解決一些相關實際問題。教師要特別關注這些更具典型性的知識章節，在授課中積極落實建模教學，即在學生熟練掌握基本知識的基礎上引入一些典型的實際問題，引導學生經過通過數學建模解決問題的過程。下面以指數函數為來進行較為具體的探討。

眾所周知，指數函數在很多實際問題中有著重要應用，其中不乏學生身邊的一些熱點生活問題。例如，某家私立小學采取這樣的收費方式：學員入學時一次性交付費用8萬元，學滿六年后8萬元全部返還。那么學校在一個學生身上的最高收益是多少？（注：學校在銀行整存整取的現行利率是：一年期3.25%、二年期3.75%、三年期4.25%、五年期4.75%）

要解決這個問題難度并不大，只需利用指數函數建立模型，求出學校可以采取的所有存款方式的收益即可。根據題意，學校可以采取的存款方式有八種，即6次一年期、4次一年期和1次二年期、3次一年期和1次三年期、2次一年期和2次二年期、1次一年期和1次五年期、1次一年期、1次二年期和1次三年期、3次二年期、2次三年期。下面我們來看具體的建模及求解過程。

最簡單的情況是存一年期，假設存n次（也就是存n年，在本研究問題中n=6），則利息的計算公式是：本金×（1+利率）n-本金=利息①;如果是一年期存n次，某個非一年期（可能是二年期、三年期、五年期）存m次（本研究問題中m+n=6），則利息的計算公式是：本金×（1+利率）n（1+利率）m-本金=利息②，顯然，該式本質上與①式是一樣的，當存款方式包含一年期和其他兩種非一年期時，仍可基于①式來求解利息，只不過略加拓展而已（式中的利率項達到三個，其三個指數相加即為存款總年數），這種情況也就是第六種存款方式。由于該例問題相對簡單，數學建模也相對容易，因而至此實際上已經可以確定該類問題的基本數學模型即為①式。但出于科學性和嚴謹性的考慮，筆者在實際教學中還是將第六種存款方式作為特例對數學模型進行了驗證，這種情況下的計算式為8（1+0.0325）（1+0.0375）2（1+0.0425）3-8，顯然是符合①式的拓展形式的。在此基礎上推而廣之，不包含一年期存款的情況是否亦符合①式呢？如本研究問題中的第七種情況和第八種情況，經過數學推理和計算驗證，答案是肯定的。至此我們可以確定，一定本金存若干年如何獲得最大收益這一實際問題，其基本的數學模型即為“本金×（1+利率）n-本金=利息”，在模型的實際應用過程中，則需要根據具體情況對模型加以合理拓展。在建立了上述數學模型后，就可以利用該模型表達式求取每種存款方式所獲得的利息了。結果如下：

6次一年期：8（1+0.0325）6-8=1.6924;4次一年期和1次二年期：8（1+0.0325）4（1+0.0375）2-8=1.7864;3次一年期和1次三年期：8（1+0.0325）3（1+0.0425）3-8=1.9767;2次一年期和2次二年期：8（1+0.0325）2（1+0.0425）4-8=1.8815;1次一年期和1次五年期：8（1+0.0325）（1+0.0425）5-8=2.4172;1次一年期、1次二年期和1次三年期：8（1+0.0325）（1+0.0375）2（1+0.0425）5-8=1.7864;3次二年期：8（1+0.0375）6-8=1.9774;2次三年期：8（1+0.0425）6-8=2.2694。至此我們就通過建立指數模型的方式決定了最后答案，即學校從一個學生身上獲得的最高收益為2.4172元，采取的存款方式是1次一年期和1次五年期。在實際教學中，教師要能夠引導學生經歷上述建模求解過程，并使其形成較為深刻的體驗。經常如此，就能在長期的潛移默化過程中逐步培養學生的建模素養。

綜上所述，本文首先簡要闡述了高中數學建模素養的培養路徑，而后結合實例進行了具體探討。數學建模搭建了數學與外部世界聯系的橋梁，是數學應用的重要形式。教師應在教學實踐中不斷探索和總結培養學生建模素養的有效教學策略。本文拋磚引玉，尚盼同仁指教。

參考文獻：

[1]關晶.高中數學核心素養的內涵及教育價值[J].亞太教育，2016（26）：1-2.

[2]邱光云.加強高中數學建模教學提高數學應用能力[J].數學學習與研究，2015（15）：38-39.

作者簡介：

魯永軍，陜西省咸陽市，陜西省咸陽市旬邑縣職教中心。