數學建模的思想方法在中學數學學習過程中的滲透

余吉東　王中群

【摘 要】基于對中學生數學學習情況的分析，應用較為典型的數學案例，并在學習者學習的過程中滲透進數學建模的思想方法予以探究，從而提高學習者應用數學知識解決實際問題的能力和數學思維能力。

【關鍵詞】數學建模;數學模型;數學建模思想方法;滲透

中圖分類號： G633.6文獻標識碼： A文章編號： 2095-2457（2019）33-0103-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2019.33.051

The Penetration of Mathematical Modeling Thought in Middle School Mathematics Learning Process

YU Ji-Dong WANG Zhong-qun

（School of Mathematics and Statistics， Qiannan Normal University for Nationalities，Duyun Guizhou 558000，China）

【Abstract】Based on the analysis of the mathematics learning situation of middle school students， this paper applies the typical mathematical cases， and penetrated into the ideological and method of mathematical modeling in the course of the learners learning， and explores them so as to improve the ability of applying mathematics knowledge to solve practical problems and the ability of mathematical thinking.

【Key words】Mathematical modeling; Mathematical models; Mathematical modeling ideas and methods; Penetration

1 中學數學學習過程中滲透數學建模思想方法的意義

1.1 有利于提升學習者的整體處理和創造能力

數學建模立足于實際問題，要讓學習者學會知識的綜合利用。解答數學問題本身就是一個在不斷創新促使解答完成的過程，所以在這種背景下，利用數學建模能夠構建出一個活動性、創造性比較良好的空間。

1.2 有利于對學習者進行正確評價

數學建模在構建過程中，對學習者的數學成績并沒有硬性規定。由此可以看出，數學建模的應用，能夠對學習者的真實學習水平進行準確反饋[1]。

2 中學數學學習滲透數學建模思想的案例分析

2.1 構建方程（組）模型

例1：一家汽車銷售公司8月份銷售某廠家的汽車。在一定的范圍內，每1部汽車的進價與銷售量有如下關系：若當月僅售出1部汽車，則這部汽車的進價為27萬元;每多銷售1部，所有銷售出去的汽車的進價都降低0.1萬元∕部。月底廠家根據銷售量一次性返利銷售公司，銷售量在10部以內（含10部），每部汽車返利0.5萬元;銷售量在10部以上，每部汽車返利1萬元。

（1）若汽車銷售公司一個月銷售3部，則每部汽車的進價為多少萬元？

（2）如果汽車的進價28萬元∕部，汽車銷售公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出多少部汽車？

建模過程如下：

2.1.1 實際問題轉化為數學問題

問題1：每部汽車的進價為：27-0.1×2=26.8（萬元）

問題2：盈利=銷售利潤+返利

設需要售出x部汽車

由題意可知：每部汽車銷售利潤為

28-[27-0.1×（x-1）]=（0.1x+0.9）（萬元）

2.1.2 對數學模型進行求解

問題2：28-[27-0.1×（x-1）]=（0.1x+0.9）（萬元）

當0≤x≤10當x>10

方程為：x×（0.1x+0.9）+0.5x-12

方程為：x×（0.1x+0.9）+x=12

化簡方程得x2+14x-120=0

化簡方程得x2+19x-120=0

所以x1=-20（舍去），x2=6

所以x1=-24（舍去），x2=5（5<10）舍去

2.1.3 回歸實際問題

問題1：若汽車銷售公司一個月銷售3部，則每部汽車的進價為26.8萬元;

問題2：如果汽車的進價28萬元∕部，汽車銷售公司計劃當月盈利12萬元，那么需要售出6部汽車。

方程（組）模型是研究數量關系與變化規律的數學模型，可以幫助人們更準確的描述實際問題。

2.2 構建函數模型

例2：一個農民育肥了一頭100kg的豬，在上一周的觀測表明這頭豬每天增重約2kg，并且知道五天前生豬的售價為7.8元/kg，現在豬的售價下降為7.5元/kg了。如果繼續飼養下去，每天的飼養的費用需要7.1元。還知道這頭豬前期育肥的投入大約500元。這位農民計劃在最近把這頭豬售出。問什么時間出售這頭豬的收益最高。

這個題不難轉化為數學問題。但是，由于我們對于今后豬的生長狀況，銷售狀況知之不多，因此需要通過假設把他它們明確下來。

建模過程如下：

2.2.1 模型假設

（1）出售前，豬每天的日增重是相同的。

（2）生豬的售價近期可能會繼續下跌，但是價格將以每天相同的數量減少。

（3）生豬飼養的花費每天不變。

（4）豬在飼養和出售期間不再有其他的花費。

2.2.2 建模

首先將有關的變量和參量用數學符號表示出來：

豬飼養時間 t（d），t天時豬的重量w（t）（kg）， 售價p（t） 元，t天時售豬所獲得的總收益R（t）（元/kg）， 飼養的總花費C（t）（元），最終獲得的凈收益P（t）（元）。這些都是隨著時間t改變的變量。

另外，根據題目和假設可以知道：豬的現價p0（元/kg），售價日減少量r（元），豬的初重w0（kg），豬的日增重量g（kg）， 前期投入k0（元），每天飼料的花費k（元/d）。這些都是與問題有關的參數。

2.2.3 建立模型

繼續飼養期間生豬的重量w（t）=w0+gt

繼續飼養期間生豬的單價p（t）=p0+rt

繼續飼養期間生豬的總花費C（t）=k0+kt

繼續飼養t天售豬的總收益R（t）=p（t）w（t）

繼續飼養t天農民售豬得到的凈收益的模型為

2.2.4 參數估計

根據假設可以給出模型中有關參數的估計w0=100kg，g=2kg，p0=7.5元，r= =0.06（元/d），k=7.1元/d，k0=500元。于是我們的模型將可以具體地寫為

P（t）=R（t）-C（t）=（7.5-0.06t）（100+2t）-（500+7.1t）

P（t）=250+1.9t-0.12t2

2.2.5 問題的結論

我們的問題是要確定使得收益最高的售豬時間。因此問題就轉化為上面的模型中求時間t，使得模型中的凈收益P（t）達到最大。

令p'（t）=0，則有1.9-1×0.12t=0，解得t=7.9，

P（7.9）=250+1.9×7.9-0.12×7.92=257.52

2.2.6 回歸實際問題

還需要飼養大約（7.9≈）8d，然后出售，這時獲得的凈收益最高，為257.52元。

通過建立函數模型以及運用模型解決問題，進一步體現函數與方程的關系，體會函數的廣泛應用和應用方法。在現實問題中有諸多的體現如銷售問題、水電費問題等。

2.3 構建三角與幾何模型

諸如臺風、航海、皮帶傳動，等傳統的應用問題，常需要建立相應的幾何模型，轉化為幾何或三角函數問題求解。

例3：如下圖1，李明從家門口A點出發到公園，上午9點在A點出發往北偏東∠2=30°的B處走，AB=30米。下午2點在A點出發往北偏西∠1=60°的C處走，AC=10米。李明行駛是保持直線勻速行走。

圖1

圖2

（1）求李明行駛的速度？

（2）李明走了一段時間后，到達D處，問此時距離李明出發點A處有多遠？

建模過程如下：

（1）問題重述：這是一道應用題，畫出示意圖幫助分析，觀察思考圖中各個角度的大小，求解問題1求李明行駛的速度？問題2又經過一段時間后，李明到達A處的正西方向的D處，問此時李明距離出發點A處有多遠？

（2）問題分析：由題意可知，建立直角坐標系，設A點為坐標原點，畫出示意圖2，幫助分析，觀察思考圖中各個角度的大小，可以得出ΔABC是直角三角形，李明是沿南偏西方向行走，根據勾股定理，求出BC的長度就可以得到行駛的速度，通過解ΔACD就可以求得AD。

（3）模型假設：假設此題就是圖2所示的幾何問題;運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決。

（4）模型的建立與求解：

問題1：解在中ΔABC，∵∠CAB=30°+60°=90°

問題2：解∵∠DAC=90°-60°=30°，

根據題意，畫出相應的數學模型圖，觀察模型圖，可知ΔABC是直角三角形，運用正弦定理、余弦定理等知識和方法求得AD。

從以上數學案例可以看出，教學模型的建立過程，就是簡化復雜的思考過程，合理化解決抽象的數學問題[2]。因此，學習者要學會調查數學問題，收集相關資料，觀察問題表象，深入研究問題對象的內在特征和規律，弄清楚解決問題的關鍵，從而建構起反映數學問題的數量關系，再利用相應的數學思想與方法去解決問題[3]。

3 結論

數學建模思想方法在中學數學學習過程中的滲透是鍛煉和提升學習者的各方面能力的，在分析、作圖、以及數學符號表達等方面，都會在實踐中不斷強化。數學建模思想方法的滲透不僅能夠極大地吸引學習的注意力，而且能夠打開更廣闊的數學思維，從而達到學習數學，會用數學的效果。

【參考文獻】

[1]于梅英.中學數學教學中滲透數學建模思想的幾點嘗試[J].數學通訊.2009.02

[2]范振成.數學建模思想方法應用[J].閩江學院學報，2010（5）：25-27.

[3]楊愛華.借助情景“事理”理解“數理”——基于“應用題”與“解決問題”繼承與發展關系的教學探究[J].教育導刊， 2012（2）：82-86.

[4]周學耘.高職數學建模教學探究[J].科教文匯（上旬刊）， 2012（10）：99-101.