例談中學生數學核心素養的養成

殷開勇

摘 要：數學核心素養是數學課程目標的集中體現。高中數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象和數據分析等六個方面。本文闡述了在數學概念的教學中，培養學生的數學抽象和建構能力以及在公式定理的教學中，培養學生的邏輯推理能力等兩個方面的策略。

關鍵詞：數學核心素養;數學抽象能力;邏輯推理能力

中圖分類號：G633.6 ? ? ? ? ?文獻標識碼：A

文章編號：1992-7711（2019）21-017-2

數學核心素養的內涵包含了數學核心知識、核心能力與核心品質。主要由數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析這六個方面所組成。數學核心素養是數學課程目標的最高體現，是學生在長期的學習過程中不斷積累養成的。筆者現談談如何培養學生數學抽象和建構能力和數學邏輯推理能力。

一、在數學概念的教學中，培養學生的數學抽象和建構能力

數學抽象是數學的基本思想，反映了數學的本質特征，貫穿在數學的產生、發展、應用的過程中。在數學教學活動中，教師應注重對學生抽象能力的培養，使學生養成一般性思考問題的習慣，更好地理解數學的概念、命題、結構和系統，提升學生的數學抽象能力及建構能力。

案例1 角的推廣——任意角的概念

問題1：在初中，我們已經學過了銳角、直角、鈍角、平角等角度，而現實生活有些角度是不能用這些角度來表示的，大家能舉出一些例子嗎？

學生：體操中的轉體720°、時針周而復始地旋轉等。

教師：體操中的轉體還可以分為向前轉體，向后轉體，又該如何表示這類角度呢？

無論是現實生活中，還是研究需要，都需要將角度進行推廣。

問題2：怎樣對角的概念進行推廣呢？

通過學生自行動手作圖，教師動畫演示等，發現通過旋轉可以產生角，改變旋轉的方向可以改變角度的方向，超過360°的角度可以通過增加旋轉圈數來實現。進而確立“旋轉”可以形成角這個認知。

教師：旋轉方向可以是順時針方向，也可以是逆時針方向。那么，如何區分這兩種具有相反意義的旋轉量呢？

學生：可以采用類似于數可以分為正數和負數的方式來區分。

為了區分不同旋轉方向所形成的角，我們作如下規定：

按逆時針方向旋轉所形成的角叫做正角;

按順時針方向旋轉所形成的角叫做負角;

如果射線沒有做任何旋轉，那么也可以看成是一個角，叫做零角。

教師：角的概念推廣后，它就由我們熟悉的那幾個角度推廣到了任意角，它可以是正角、負角、零角。請大家自己動手作出α=390°，β=-120°。

（學生獨立作圖后互相交流、討論）

本章節的設計通過讓學生從生活中尋找與角度有關的現象，進而從中抽象出角度這個概念。通過規定旋轉的方向，就可以把角度擴展到正角、負角。后面學習了弧度制以后，角的度數就可以擴充到全體實數，角的概念也就推廣到了任意角。從生活到數學，從具體到抽象，學生親身經歷了“任意角”這個概念的由來，對概念的產生和發展有著更直觀的認識，形成了一定的活動經驗。

案例2 “任意角的三角函數”教學案例

情境引入：周末，小王到游樂園游玩，小王坐上半徑為r的摩天輪，摩天輪繞著其中心O按逆時針方向旋轉（旋轉角為θ）假設小王的起始位置在點A處。隨著摩天輪的轉動，小王的位置在不斷變動，如何刻畫小王在每一個瞬間的位置P呢？

（學生經過幾分鐘思考、討論）

學生：可以以水平線為x軸，圓心O為坐標原點建立一個直角坐標系，點P可以用有序實數對（x，y）來表示。

設計意圖：隨著摩天輪的旋轉，讓學生通過直觀想象和數學抽象，可以把摩天輪抽象為一個圓，小王所在的位置抽象為圓上的一個點，這樣小王隨著摩天輪的旋轉就可以抽象為一個動點P在一個圓周上的運動。

教師：在摩天輪旋轉的過程中，哪些量在發生變化？

學生：r不變，θ，x，y發生了改變。

教師：在三個改變量中，哪一個量的改變占據著主導地位？

學生：x，y的變化是由θ的變化引起的。

教師：那么，隨著θ的變化，r，x，y之間到底有怎樣的聯系？這種情況下我們可以采用由特殊到一般的方法來觀察θ的變化是如何影響x，y的變化。比如當θ為一個銳角的時候？

學生：如圖，當θ為一個銳角時，角θ的終邊在第一象限。此時可以構建出一個直角三角形。由初中里直角三角形的邊角關系，可得：sinθ=PMOP=yr，cosθ=OMOP=xr，tanθ=PMOM=yx。

教師：很好！那么在上圖中，這幾個比值與P點在射線上的位置有關嗎？

學生：當改變P點的位置，由相識三角形的知識可知，這三個比值保持不變，所以和P點的位置是無關的，只和角θ的終邊位置有關。

教師：很好！這樣我們便可以得到銳角三角函數的定義了。由前面任意角的定義可知，射線OP不僅可以表示銳角θ的終邊，也可以表示所有第一象限角的終邊，這樣一來，我們便可以把銳角三角函數的定義推廣到所有第一象限角的三角函數了。

教師：當θ的終邊落在第二象限時，r，x，y與θ有什么關系呢？當θ的終邊落在其它兩個象限呢？

學生：當θ的終邊落在其它象限時，猜想yr，xr，yx也都只與θ的大小有關，而與點P在角θ的終邊上的位置無關。即恒有sinθ=yr，cosθ=xr，tanθ=yx。

對于學生的猜想，可以借助幾何畫板予以驗證，最終總結得出任意角θ的三角函數。

設計意圖：引領學生從最熟悉的銳角出發，借助初中里所學的直角三角形中的邊角關系，實現“邊長比”到“坐標比”的轉化，進而得到三個三角函數的表達式。培養學生的建構意識和轉化思想。由于有銳角三角函數作為鋪墊，再通過幾何畫板的演示，學生可以比較順利地進行任意角的三角函數的建構活動，將銳角三角函數推廣到任意角的情形，培養學生的抽象、建構、分析能力。

二、在公式定理的教學中，培養學生的邏輯推理能力

數學邏輯推理是指從一些事實和命題出發，依據邏輯規則推出一個命題的思維過程。主要包括兩類，一類是從小范圍成立的命題推斷更大范圍內成立的命題的推理，主要有歸納、類比;一類是從大范圍成立的命題推斷小范圍內也成立的推理，主要有演繹推理。邏輯推理是數學思維的主要形式，是發現、提出數學命題以及論證命題正確與否的重要手段，也是構建數學體系的重要方式。

案例3 輔助角公式的推導

在三角函數的教學中，輔助角公式是一個極其重要的公式。在課堂教學中，可通過如下問題的解決，培養學生的邏輯推理能力。

教師：利用兩角和與差的正余弦公式化簡

①12sinx+32cosx。

學生：可以把12，32分別改寫成cosπ3和sinπ3，所以12sinx+32cosx=cosπ3sinx+sinπ3cosx=sin（x+π3）。

教師：我們利用兩角和公式的逆運算，把同一個角的兩個不同名三角函數轉化成了同一個三角函數。

試化簡②sinx+3cosx。

學生：觀察到②式整體是①式的兩倍，

所以sinx+3cosx=2（12sinx+32cosx）=2sin（x+π3）。

教師：很好！再試試這兩個式子：③3sinx+3cosx;④5sinx+12cosx。

學生：③式可以采用類似②式的處理方法：3sinx+3cosx=3（3sinx+cosx）=3·2（32sinx+12cosx）=23sin（x+π6）。

④式和前面的不一樣，不能與特殊角度聯系起來。

教師：我們不妨猜測一下，如果④這個式子也能進行類似化簡的話，會是怎樣的一個表達式？

學生：應該也是類似的式子：5sinx+12cosx=Asin（x+θ）。

教師：我們就假設5sinx+12cosx=Asin（x+θ）吧，將等式右邊展開。

學生：Asin（x+θ）=Asinxcosθ+Acosxsinθ=5sinx+12cosx，

所以Acosθ=5，Asinθ=12，（Acosθ）2+（Asinθ）2=A2=52+122=169，所以A=13，cosθ=513，sinθ=1213。θ可以看作一個不是特殊角的銳角。

教師：很好！那形如Asinα+Bcosα這類式子是否都能進行類似的化簡呢？

學生：令Asinα+Bcosα=Csin（α+θ），將等式右邊展開運算可得C=A2+B2，cosθ=AA2+B2，sinθ=BA2+B2。

所以，Asinα+Bcosα=A2+B2sin（α+θ），其中cosθ=AA2+B2，sinθ=BA2+B2。

教師：我們推導出來的這個結論就是三角函數里一個非常重要的公式——輔助角公式。在這個推導過程中，學生經歷了“由特殊到一般”的思維方式。在數學教學活動中，注重邏輯推理能力的培養，有利于學生理解一般結論的來龍去脈、形成舉一反三的能力，有利于培養學生的思維習慣和交流能力，有利于學生提高探究事物本源的能力。

三、反思與感悟

高中數學的核心素養既相互獨立，又互相交融，形成一個有機整體。對于學生數學核心素養的培養，絕不是一蹴而就的事情。在課堂教學中，教師應根據教學內容，有意識地培養學生的多種核心素養。

[參考文獻]

[1]孫宏安.談直觀想象[J].中學數學教學參考，2017（11）.

[2]李剛，楊志文.例談學生數學核心素養的提升，2018（05）.

（作者單位：蘇州市吳江區平望中學，江蘇 蘇州215000）