問題驅(qū)動在學(xué)生幾何證明學(xué)習(xí)的實踐研究

張碧芬

【摘要】? 幾何是整個初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，一直被視為初中教學(xué)的重點、難點。它不僅涉及到計算，還需要在解題過程中不斷強化學(xué)生的邏輯思維，從中尋找切入點。但是這一切入點對于初中生而言，學(xué)習(xí)比較困難。問題是數(shù)學(xué)的心臟，以問題驅(qū)動引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)成為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一條基本原則。因此，在初中幾何教學(xué)中，必須正視初中生幾何證明存在的問題，通過分析問題，改善教學(xué)，提高教學(xué)的質(zhì)量。本文以初中生《三角形全等的判定定理》的幾何證明題為研究視角，對初中生幾何證明的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀進(jìn)行了簡單的分析，給出自己對幾何證明的幾點教學(xué)建議和教學(xué)片斷案例，為教師的教學(xué)提供一些參考依據(jù)。

【關(guān)鍵詞】? 問題驅(qū)動 幾何證明 實踐

【中圖分類號】? G633.6? ?? ? ? ? ?【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】? A ? ? 【文章編號】? 1992-7711（2020）33-077-02

一、初中生幾何證明的學(xué)習(xí)問題——以《三角形全等的判定定理》為例

本文通過測試八年級學(xué)生在學(xué)完《全等三角形的判定定理》后，配合訪談，總結(jié)八年級學(xué)生在幾何證明中存在的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，發(fā)現(xiàn)學(xué)生在幾何證明中的學(xué)習(xí)問題，參考教材及相關(guān)資料編制出測試卷，以本校八年級六個班共265名學(xué)生為樣本進(jìn)行測試，根據(jù)回收卷的統(tǒng)計結(jié)果，對學(xué)生存在的問題進(jìn)行分析。

根據(jù)回收卷，學(xué)生在幾何證明的學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題如下表所示：

分析回收卷與訪談結(jié)果，總結(jié)出初中生在幾何證明學(xué)習(xí)中存在以下的問題：

1. 學(xué)生在對幾何基礎(chǔ)知識的識記和理解不熟練，容易忽略定理的適用范圍。

2. 對于需要添加輔助線來完成推理證明的題，找不到連接條件與結(jié)論的切入點。

3. 文字命題和實際問題中，對幾何圖形的抽象存在一定的困難;無法結(jié)合題目與圖形，找出已知與求證。

4. 幾何證明書寫時，學(xué)生往往出現(xiàn)循環(huán)、虛假論證或偷換命題等情況;學(xué)生的幾何語言比較混亂，主要是表達(dá)較為隨意，往往出現(xiàn)多余的書寫步驟，或漏掉必要的步驟。

二、教學(xué)建議及教學(xué)片斷案例

1. 重視概念，做好基本功練習(xí)

在上述回收卷中第1-3題，有20.3%的學(xué)生均是對概念的理解不透徹，導(dǎo)致做錯。在幾何的學(xué)習(xí)過程中，幾何證明中的定理、概念、公式是作為論證推理的依據(jù)。對于基礎(chǔ)知識和基礎(chǔ)概念的教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)加強重視。對于基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)概念的講解要透徹，教師根據(jù)規(guī)律和特點，結(jié)合已有知識或?qū)嶋H例子幫助學(xué)生進(jìn)行理解，充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體功能。而問題驅(qū)動對于新課的導(dǎo)入更能讓學(xué)生印象深刻。比如，以角的平分線的性質(zhì)和判定的教學(xué)引入為例，可以設(shè)計成：

問題1：什么是角的平分線？

問題2：如圖，是一個平分角的儀器，其中AB=AD，BC=DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放正，沿AC畫一條射線AE，AE就是角平分線，你能說出它的道理嗎？

問題3：怎么做一個角的角平分線？

問題4：你能說出角平分線所蘊含的數(shù)學(xué)道理嗎？

問題5：若過E點作到角兩邊的垂線，量一量線段的長度，你能發(fā)現(xiàn)什么？

問題6：能否用數(shù)學(xué)語言總結(jié)你發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律？

通過問題串，學(xué)生經(jīng)歷了由回顧舊知，動手將角平分線從理性知識轉(zhuǎn)化為感性知識，最后再轉(zhuǎn)化為理性知識的過程。這樣設(shè)計不僅吸引學(xué)生的注意力，還加深學(xué)生對角平分線的概念的理解，強化了學(xué)生的作圖能力，對于后續(xù)角平分線的性質(zhì)和判定的學(xué)習(xí)打下了堅實的基礎(chǔ)。

2. 注重練習(xí)輔助線的基礎(chǔ)

在上述回收卷中，有45.2%的學(xué)生基本能做出正確的輔助線，但仍有25%的學(xué)生對于輔助線毫無頭緒。在初中學(xué)習(xí)中，證明線段或角的關(guān)系，多是利用全等三角形或圓的相關(guān)知識進(jìn)行求解。往往需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形或添加輔助線——圓切線進(jìn)行解決。而利用輔助線主要是幫我們找準(zhǔn)題目的切入點，把問題簡單化。因此，教師在平時的教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)注重練習(xí)輔助線的添加。以下題為例：

原題是：如圖1，已知△ABC是等邊三角形。D、E分別是AB、BC上的點，且BD=CE，AE、CD交于點F.求∠BFE的度數(shù)。

把本題設(shè)計成以下三個問題：如圖1，已知△ABC是等邊三角形。D、E分別是AB、BC上的點，且BD=CE，AE、CD交于點F.

（1）求證：△ACE≌△CBD

（2）過A作AG⊥CD于G，求證：AF=2FG

（3）如圖2，若BF⊥AF，求CF/AF的值。

問題1立足于原題，問題2是通過作點AG⊥CD，利用直角三角形中，30°所對的邊等于斜邊的一半可以解決問題，問題3在問題1、2的基礎(chǔ)上加深難度，也添加了輔助線。一道題可以修改成3個問題串，通過平時練習(xí)題一次又一次的輔助線的訓(xùn)練，幫助學(xué)生把輔助線的概念深入腦海。基于已有的數(shù)學(xué)輔助線基礎(chǔ)，學(xué)生以后遇到相類似的題型，就能進(jìn)行模仿解決數(shù)學(xué)幾何證明問題。教學(xué)中，教師要強調(diào)添設(shè)輔助線是為了解決問題，所以不能脫離命題的條件和結(jié)論去隨意添加。在尋找輔助線時，要立足于對題目的分析，進(jìn)行大膽的嘗試。

3.注重邏輯思維能力的培養(yǎng)

在上述回收卷中，發(fā)現(xiàn)第8小題有超過35.4%的學(xué)生出現(xiàn)邏輯錯誤，或用不成立的條件得出結(jié)論，或用循環(huán)使用條件和結(jié)論，或把結(jié)論和條件顛倒使用，或是把命題更改，進(jìn)行了錯誤的論證。結(jié)合與學(xué)生的訪談，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的邏輯能力較為薄弱，對于邏輯性強的數(shù)學(xué)學(xué)科，這是一個短板。因此，教師在平時的教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注重學(xué)生邏輯思維能力的培養(yǎng)。比如，在命題的教學(xué)中，可以如此設(shè)計：

問題1：“對頂角相等”研究的對象是誰？它具有什么性質(zhì)？

問題2：什么叫命題？

問題3：什么叫條件？什么叫結(jié)論？

問題4：命題當(dāng)中的條件實質(zhì)上是什么？命題當(dāng)中的結(jié)論實質(zhì)上是什么？

問題5：你能用陳述句陳述“對頂角相等”嗎？

問題6：如何改寫“等腰三角形底角相等”？

學(xué)生在一連串的問題下，不僅能確切的掌握住命題的概念，還掌握了把數(shù)學(xué)結(jié)論改寫成一般陳述句的數(shù)學(xué)技能。在掌握命題的概念后，學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力得到了訓(xùn)練，能確切的識別出條件與結(jié)論的關(guān)系，對于后續(xù)幾何證明的書寫，奠定了基礎(chǔ)。在教學(xué)過程中，教師應(yīng)教會學(xué)生使用分析法。即先從結(jié)論出發(fā)，思考要證明這個結(jié)論需要什么條件，而要使這些條件成立的條件又是什么？從結(jié)論反推回條件，直至所需要的條件同已知條件吻合，這有利于培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。

4.明確證明過程的書寫要求

在本次測試卷中，除1、2題是客觀題，其余均為解答題，1、2、3班有超60%的同學(xué)能使表述清楚證明過程，4、5、6班近一半的學(xué)生能基本表述清楚。幾何語言作為幾何的專門性語言，包括了圖形、符號和文字語言。使用好幾何語言對掌握幾何證明題有很大影響。因此，在學(xué)習(xí)幾何時，教師必須明確證明過程中的書寫要求。

在學(xué)生開始書寫幾何證明過程時，教師應(yīng)要求他們每一步都注寫依據(jù)，使學(xué)生清楚知道每個推理都有充分的因果和理由，而且因果關(guān)系合理。教師對于例題的板書更需要嚴(yán)謹(jǐn)，學(xué)生對于幾何語言的使用是通過模仿老師的板書養(yǎng)成的。當(dāng)學(xué)生養(yǎng)成了一定的說理習(xí)慣后，才可以適當(dāng)減少部分標(biāo)注。如已知條件，已知概念的定義等。在學(xué)生掌握基本的推理形式后，各個推理間要有一定的邏輯順序與聯(lián)系。在證明過程中，切忌一開始把所有條件全盤托出，缺乏推理之間的邏輯順序。

學(xué)生在書寫幾何證明過程中，教師要求學(xué)生幾何字符要對應(yīng)，要同序。這樣不僅可以在學(xué)生的潛意識中不斷強化對基礎(chǔ)知識的理解和記憶;還可以培養(yǎng)學(xué)生有根有據(jù)討論問題的習(xí)慣;同時，也有利于教師及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生在推理過程中所反饋出來的缺陷。

總之，在幾何證明的教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)學(xué)生所反饋出來的問題采取相應(yīng)的教學(xué)措施，而問題驅(qū)動始終貫穿在數(shù)學(xué)教學(xué)中。筆者僅從平時的教學(xué)中總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，提出教學(xué)建議和教學(xué)問題片斷案例，供研討。

[ 參? 考? 文? 獻(xiàn) ]

[1]劉東升.追求適合初中學(xué)生的教學(xué)深度[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊.2014（9）.

[2]趙艷.問題驅(qū)動引出新知，題組變式追求開放[J].教材教法.2018（11）.