發揮幾何直觀功能，助推學生數學理解

陳潔

[摘 要]幾何直觀，能讓抽象的數學問題形象化，讓復雜的數學問題簡約化，讓陌生的數學問題熟悉化。在小學數學教學中，教師要充分發揮幾何直觀的功能，通過圖形操作、圖形變換和數形結合等方法，提高學生的數學理解力，提升學生的數學學力，發展學生的數學核心素養。

[關鍵詞]幾何直觀;數學理解;小學數學

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2020）05-0076-02

“幾何直觀”是《義務教育數學課程標準（2011年版）》的核心概念，也是發展學生核心素養的重要方法、策略。幾何直觀，能將復雜的數學問題變得簡明、形象。在小學數學教學中，充分發揮幾何直觀的功能，能提高學生的數學理解力，提升學生的數學學力，發展學生的數學核心素養。

一、通過圖形操作，助推學生數學理解

學生的數學思維是直觀的、具體的、形象的，而小學數學的特質卻是理性的、抽象的。在數學教學中，教師可以通過圖形操作，給學生的數學思維提供必要的支撐，幫助學生直觀感知和理解數學概念。通過圖形操作，可以將數學知識直觀地表征出來，這個過程是一個“圖導”過程。圖導，能啟迪學生的數學思維、誘發學生的數學想象，從而讓學生深刻把握數學概念的本質。

比如，教學“分數的初步認識（一）”時，通過不同的幾何圖形紙片，如圓形、長方形、正方形等，引導學生將之“對折”“涂色”，直觀感受平均分一個幾何圖形的過程。圍繞學生的圖形操作，教師可以引導學生對比、交流，并通過追問，啟迪學生舍棄分數概念的非本質屬性，建構分數概念的本質屬性。如“為什么圖形不相同，涂色部分卻都可以用二分之一表示呢？”“為什么圖形相同，涂色部分的分數卻不同呢？”通過正反比較，學生能夠認識到，盡管圖形形狀不同，但由于都是平均分成了兩份后表示其中的一份，因而都可以用二分之一來表示;同樣的，盡管圖形相同，但其中一個圖形被平均分成了二份，另一個圖形被平均分成了四份，因為平均分的份數不同，所以表示其中的一份的分數就不同。有了這樣的圖形操作，學生就能深刻感悟到“一個分數的大小只與平均分的份數和表示的份數相關”。如此，從直觀圖形到抽象概念，學生經歷了分數形成的全過程。

笛卡爾說：“沒有圖形就沒有思考。”斯蒂恩說：“如果一個特定的問題可以轉化為一個圖像，那么就整體地把握了問題。”在數學教學中，教師可以引導學生通過對圖形、圖像、圖表的擺、拼、折、量、畫、剪等具體的數學活動，引導學生形象地描述數學問題，借助直觀領悟數學知識本質，從而豐富學生的數感，提升了學生運用幾何直觀表征數學知識的能力。

二、通過圖形變換，助推學生數學理解

幾何圖形的變換、運動也是幾何直觀的重要內容。通過圖形變換，可以拓展學生數學學習的寬度，提升學生數學學習的高度，挖掘學生數學學習的深度。因為圖形既是學生數學學習的重要內容，也是學生認識數學的重要方法。

比如，關于“梯形的面積”，教材是通過“倍拼法”將兩個完全相同的梯形拼成一個近似的平行四邊形，然后利用梯形與平行四邊形的關系，推導出梯形的面積公式。這個過程既溝通了梯形與拼合成的平行四邊形的內在關系，也滲透了數學中的轉化思想。為了拓展學生的數學思維，筆者在教學中充分賦予學生自主探究的權力，鼓勵學生運用不同的方法對梯形進行圖形變換。比如，有學生將梯形沿著對角線分割成兩個等高的三角形;有學生沿著梯形的中位線的兩個端點往下底作垂線，然后運用旋轉將梯形轉化成長方形;等等。不同的學生運用不同的變換方式，探究出梯形的面積公式，不同的方法彰顯學生不同的思路，顯現學生不同的數學思想、觀點。學生經歷了圖形變換的過程之后，不僅能理解梯形面積公式，而且能理解圖形與面積之間的關系。

圖形變換不同于圖形操作，圖形操作是對圖形進行各種形式的操作活動，而圖形變換可以看成是圖形的一種運動。借助圖形變換，可以揭示圖形的特性、特質，引導學生把握圖形與圖形之間的關系，經歷數學觀察、數學操作等具體感知過程，培養他們思考問題、解決問題的能力。

三、通過數形結合，助推學生數學理解

“數”與“形”是數學的兩大基本元素。從某種意義上說，數學知識的發端、演變、提煉和發展等都是圍繞“數”和“形”展開的。在運用幾何直觀進行數學教學的過程中，無論是圖形操作還是圖形變換，都是對圖形的單向活動。而“數形結合”，則是在“數”與“形”之間架設橋梁。著名數學教育家華羅庚先生曾經提出：“‘形缺‘數時難入微，‘數缺‘形時少直觀。”數形結合，抓住了數學的本質——“數”與“形”，將抽象與形象有機結合，充分運用圖形的直觀功能，提升學生的數學理解力。

在數學中，“數”和“形”往往交織在一起，彼此互相促進、建構、滲透、轉化。作為教師，要引導學生以形助數，通過數形結合，促進學生建構完整的知識體系。比如，“解決問題的策略——轉化”中的例題“[12]+[14]+[18]+[116]”，幾乎所有的學生都選擇了通分，部分學生將分數轉化為小數進行計算?；诖?，筆者將給出新問題：[12]+[14]+[18]+[116]+…+[11024]。因為原來的“通分法”“化小數法”等不再行得通，這樣就能激發學生產生認知沖突，意欲另辟蹊徑。正當學生處于“口欲言而不能，心求通而未得”之時，筆者在黑板上畫了一個正方形。有學生迅速領悟——將正方形看作單位“1”。在此基礎上，教師可讓學生展開小組交流、研討。當學生在正方形中畫出了“[12]”“[14]”“[18]”等分數之后就會發現，這些分數相加的和，就是正方形（單位“1”）減去剩下的“部分”，而剩下的“部分”對應最后一個分數大小。由此，學生感悟到數學轉化思想的魅力。通過“數形結合”，學生獲得了對抽象問題的“形象化理解”，從而提升了問題解決能力。

“數形結合百般好，隔離分家萬事休?！睌敌谓Y合，不僅能為學生理解抽象的數學概念提供有力支撐，而且有助于激發學生的數學思維，催生學生的數學想象。

弗賴登塔爾說，“幾何直觀能告訴我們什么是可能重要、可能有意義和可接近的，并使我們在課題、概念和方法的荒漠之中免于陷入歧途之苦。”培養學生的幾何直觀能力，提升學生的幾何直觀素養要從直觀教學開始。作為教師，要引導學生畫圖、析圖，用圖形引導、用圖形建構、用圖形創造，從而將抽象的問題形象化、將復雜的問題簡約化，通過幾何直觀，促進學生對數學知識由此及彼、由表及里的深度理解。

（責編 羅 艷）