試談數形結合思想在高中數學教學中的運用

張文濤

【摘要】“數”和“形”是數學中最常見的兩種元素，也是數學學科最基礎的研究對象，因此，利用數形結合思想來解答數學問題是常用的方法，也是學生應當具備的解題能力之一.因此，在高中數學教學中，教師應當結合數形結合思想，將抽象的數學語言轉換為直觀的圖像，使數學問題變得簡單、易懂.本文就結合具體的例子探討數形結合思想在高中數學教學中的運用，以期幫助學生高效理解和掌握所學知識，同時提高學生的解題能力.

【關鍵詞】高中數學;數形結合思想;運用

數形結合思想是數學學習中一種常見和常用的數學思想.所謂數形結合，就是將抽象的數學語言與直觀的圖像結合起來，把復雜的數量關系轉化為可視的圖形，使數學問題直觀化、具體化.運用這種數學思想，能使學生發散數學思維、理清解題思路、找準解題方向、快速解答問題.在高中數學教材中，有很多知識體現了數形結合思想，因此，在教學中，教師應結合具體的教學內容，合理應用數形結合思想，幫助學生理解和掌握所學知識，同時促進他們數學解題能力的提高.筆者根據自己的教學實踐和經驗，對數形結合思想在高中數學教學中的應用進行了探討，不足之處還望廣大同仁指正.

一、利用數形結合思想解決集合問題

集合是高中階段非常重要和基礎的內容，安排在高一上冊第一章，也就是說，學生進入高中階段后，首先學習的內容就是集合.因此，集合是高中階段的數學課程的第一個概念，也是學生學習其他數學概念、數學定理的基礎.但是，對高一新生來說，集合的知識是比較抽象的，他們理解起來有一定的難度，尤其是交集、并集、補集的關系和運算是本章的重點，也是主要的考查內容.為了幫助學生真正理解和掌握集合的相關內容，教師可以運用數形結合思想，把抽象的交集、并集、補集等數量關系，用直觀的圖形展示出來.集合的數形關系通常利用Venn圖（如圖，兩個圖形的所有部分就是集合A與集合B的并集）和數軸展示，具體來說，Venn圖常用來解決較為具體的集合問題，即集合中的各個元素已經明確，通過作Venn圖，學生可以快速直觀地得出答案;數軸常用來解決和處理用不等式表示的集合問題，即根據題意作數軸，在數軸上標出各個集合的關系，這樣就能將各個集合的運算轉化為相對應的不等式之間的運算.

二、利用數形結合思想解決函數問題

函數是中學數學的重要學習內容，不管是在初中數學中，還是在高中數學中，都占有很大的比重，而且是教學的重點和難點.同樣的，這部分知識也是學生的學習難點，尤其是函數中各個變量之間的關系有較強的抽象性，學生理解起來有很大的難度.在高中階段，學生需要學習和掌握的函數包括指數函數、對數函數、冪函數、反函數等，不同的函數，其性質也各不相同.如果僅憑教師的講解，學生很難掌握這些函數的數量變化關系，為了幫助學生理解和掌握函數知識，教師可以將數形結合思想應用到函數教學中，將抽象的函數知識轉化為直觀形象的圖形，使學生借助圖形來理解函數中的數量關系，進而處理和解決相關數學問題.例如，在讓學生解答“已知函數f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的圖像與直線y=k有且僅有兩個不同的交點，求k的取值范圍”這一函數類問題時，教師就可以引導學生根據題目中的兩個函數解析式來作圖，先畫出坐標系，然后根據題目中的已知條件畫出兩個解析式對應的圖像，再依據圖像來分析題目中的數量關系，這樣，抽象的數量關系就變得具體、直觀，學生就能在作圖的過程中理解題目含義、掌握數量關系，進而快速準確地解答問題.

三、利用數形結合思想解決平面解析幾何問題

平面解析幾何是高中數學的學習重點和難點之一，其本質是利用代數的方法研究平面圖形的幾何性質.這部分數學知識有較強的抽象性，如果只是讓學生從數的角度來思考、分析、解答問題，勢必會給學生造成較大的困擾，因此，教師在講授平面解析幾何內容時，應當將數形結合的思想貫穿教學始終，通過數形之間的相互轉化，降低學生的學習和理解難度，使他們既能夠學會用方程來表示直線、曲線以及二者的位置關系，還能夠結合直線、曲線的性質來求出相應的方程.概括來說，就是讓學生學會幾何問題和代數問題的相互轉化.例如，有這樣一道解析幾何題：假設曲線x2+y2=2（y≥0）與直線y=x+b有兩個交點、一個交點、無交點這三種情況，請分別求出每種情況下b的取值范圍.如果學生利用代數的方法來解答問題，就對學生的邏輯思維提出了很高的要求，而且解答問題的過程比較復雜，而利用數形結合方法，讓學生在坐標系內先畫出曲線，然后根據曲線和直線的交點數量的不同，在坐標系內移動直線，就能把抽象、復雜的問題變得具體、簡單，學生很快就能解答出來.

實際上，數形結合思想在高中數學中的應用不僅僅體現在以上幾方面，還在數列、立體幾何、線性規劃、方程與不等式等多個問題中也貫穿著這一數學思想.限于篇幅有限，筆者只從上述三方面探討了數學結合思想的運用，希望學生能夠真正掌握這一思想，將抽象的問題轉化為簡單易懂的問題，進而理清解題思路、簡化解題過程、提高解題能力.

【參考文獻】

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