傳統(tǒng)應用題教學之當代重建（下）

【摘要】傳統(tǒng)應用題教學之當代重建（下）鄭毓信（南京大學 哲學系，江蘇南京 210093）[=]【摘 要】傳統(tǒng)應用題教學之當代重建并非是相關傳統(tǒng)的簡單回歸，而是如何能夠依據數(shù)學教育目標的現(xiàn)代認識對此做出認真的總結與反思，并能通過新的研究做出進一步的發(fā)展。研究者以“努力提升學生的核心素養(yǎng)”作為分析的基本立足點，主張數(shù)學教育的主要任務是促進學生思維的發(fā)展，特別是幫助學生逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并能由“理性思維”逐步走向“理性精神”，從而真正成為一個具有高度自覺性的理性人。

【關鍵詞】應用題教學;理性精神;數(shù)學教育;當代重建

（續(xù)上期）

三、應用題教學與學生思維品質之提升

前面已經提到，學習的程式化與機械化是傳統(tǒng)應用題教學的又一常見弊病。但是，如果認定我們只需盡早引入代數(shù)方法就可解決這一問題，則是“看錯了病，號錯了脈”。因為，通過“列方程、解方程”解決問題事實上也是程序或算法的應用，如果學生缺乏足夠的自覺性，就可能導致機械的學習，甚至更可能因此喪失促進學生思維發(fā)展的一個良好契機。

為了清楚地說明問題，在此還可特別提及這樣兩個事實：（1）代數(shù)方法的應用并不能被看成解決問題的“萬能方法”。例如，有很多提前學習了方程方法的學生，在面對“面積問題”時仍然有較大困難，因為后者的求解往往需要用到“割補”等其他方法。（2）平面幾何（“綜合幾何”）的學習也有很多難題，其中的一些如果用解析幾何的方法求解則會變得比較容易，也即只需按照一定的程序或方法（代數(shù)化、方程化）就可獲得解決③。那么，我們是否也應盡早離開“綜合幾何”去引入解析幾何呢？應當指出的是，這事實上也正是數(shù)學教育改革運動經常提到的一個口號：“打倒歐幾里得”。但是，中外的相關努力應當說又未能夠都取得成功，從而也就使人們更清楚地認識到了這樣一點：學習綜合幾何的目的不只是獲得相關的知識，我們更不應以單純的解決問題作為求解幾何題的主要目的，而應清楚地看到其對于促進思維發(fā)展的重要作用④。

總之，我們應當超出單純的問題求解并從更廣泛的角度認識應用題教學的意義，也即應當通過應用題的教學努力促進學生思維的發(fā)展。

⑤ 由此可見，將應用題的教學歸結為由“典型應用題”過渡到“復合應用題”，也只是抓住了其中的一方面。 應當強調的是，上述分析事實上也為我們應當如何開展解題策略的教學提供了重要啟示。也就是說，我們應由唯一強調各種具體解題策略（更一般地說，是數(shù)學思維）的學習過渡到普遍性思維策略的學習與思維品質的提升。特別是，我們應努力幫助學生通過解決問題的具體實踐逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，并能努力提升思維的綜合（整體）性和靈活性、自覺性和創(chuàng)造性，等等。（當然，我們又不應將“具體解題策略的學習”與“普遍性思維策略的學習與思維品質的提升”絕對地對立起來，這即為我們改進教學指明了進一步的努力方向。）

以下圍繞普遍性思維策略的學習與思維品質的提升，對我們應當如何從事應用題教學做出進一步的分析。

具體地說，應用題教學的深化決不應被理解成形式的變化，即如由所謂的“一步應用題”過渡到“多步應用題”，而主要是指“由簡單走向復雜，化復雜為簡單”。其中，后者不僅可以被看成數(shù)學發(fā)展的主要線索，也為學生具體學習各種解題策略特別是普遍性思維策略，包括努力提升思維的品質，提供了重要途徑。

以下是這方面特別重要的幾個環(huán)節(jié)。

第一，辨識與求變。

前一節(jié)中已經提到了題型的“辨識”對于解題活動的特殊重要性，但就大多數(shù)情況而言，我們顯然不可能通過簡單的問題辨識與相關方法或解題模式的直接應用就可順利地解決問題，而必須針對具體情況做出適當?shù)恼{整或變化。由此可見，對于這里所說的“辨識”我們應做更廣義的理解，也即應當更加重視新問題與基本題型的對照比較，特別是要很好地弄清兩者的同與不同，這樣就可通過適當?shù)淖兓ソ鉀Q問題。

也正因如此，對于這里所說的“求變”，我們就不應混同于前面所提到的“變式理論”。因為，我們在此所關注的已不是如何能夠通過引入更多的變式幫助學生很好地掌握相關的題型與解題方法，而是如何能夠提高他們解決問題的能力，特別是思維的靈活性與創(chuàng)造性。例如，就“和差問題”的求解而言，學生往往首先需要依據題目中的條件求得所說的“和”與“差”，或是必須對已求得的結果做出一定調整才能最終解決問題。另外，問題中所涉及的未知數(shù)也可能不是兩個而是增加到了三個或更多。

以下是更復雜的一些情況，如要求學生就某一特定情境自己去發(fā)現(xiàn)相應的條件或限制，或是通過若干基本題型的組合得出新的問題⑤。例如，面對“年齡問題”，我們不僅應幫助學生清楚地認識此類問題在很大程度上可看成“和差問題”“和倍問題”與“差倍問題”的變形，而且也應幫助他們很好地認識此類問題的特征：盡管其中所涉及的年齡處于不斷變化中，但不同成員之間的年齡差又始終不變，這往往也是順利解決“年齡問題”的關鍵。再例如，“水流問題”顯然可被看成是由“和差問題”與“路程問題”組合而成，因為這正是此類問題的主要特征：船的順水速度是船的靜水速度與水流速度之和，其逆水速度則是兩者之差。

總之，為了切實提高學生解決問題的能力，關鍵并不在于引入更多的題型，而是應當引導學生積極地進行思考，并能切實提升學生思維的靈活性和創(chuàng)造性。再者，上面的分析顯然也可被看成這樣一個原則的直接應用：“數(shù)學基本技能的學習，不應求全，而應求變”，盡管我們所關注的并非基本技能的學習，而是學生思維品質的提升，特別是，能夠很好地掌握“求變”這樣一個普遍性的思維策略。

第二，整體分析與序的把握。

這是面對復雜問題時應當特別重視的又一環(huán)節(jié)：相對于細節(jié)而言，我們應當更加重視整體的分析，包括確定解決問題的關鍵，并能按照合理的順序一步一步地解決問題。

由法國著名科學家、數(shù)學家彭加萊的以下論述，我們可以清楚地認識到“整體分析”與“序的把握”兩者之間的重要聯(lián)系，以及這對于思維的清晰性和條理性的特殊重要性：“一個數(shù)學證明并不是若干三段論的簡單并列，而是眾多三段論在確定的序之中的安置。這種使元素得以安置其中的序要比元素本身重要得多。一旦我感覺到，也可以說，直覺到這個序，以致我一眼之下就領悟了整個推理，我就再也不必害怕會忘掉任何一個元素，因為每個元素都將在序中各得其所，而這是不需要我付出任何記憶上的努力的。”[9]

也正因如此，善于整體分析包括對序的很好把握，就應被看成又一重要的思維品質。進而，相對于這方面的專門教學而言，我們又應當更加重視這一思想在求解各類應用題時的具體應用。這顯然是我們在開展“握手問題”等與排列、組合密切相關的問題，以及“一一列舉”等解題策略的教學所應特別重視的一點，包括我們如何能很好地做到既無遺漏也無重復，既非雜亂無章也非瑣碎、煩人。

在此，還應特別重視“幾何圖示”（“結構圖”）的作用。例如，為了用圖形表示出全部的解題過程，可以用“點”表示其中的已知及未知成分，用“線段”表示它們的聯(lián)系。顯然，按照這一做法，整個解題過程就被表示成了由已知點到未知點并由多條線段組成的一個幾何圖形，從而也就十分有益于解題者建立對于全部解題過程的整體性認識和直觀把握。

以下是這方面的一個具體實例。

最后，依據上述分析，可更清楚地認識到這樣一點：我們確實不應特別強調解題過程中究竟包括幾個步驟，而應更加重視問題的整體把握與思維的條理性。

第三，由“解題策略”轉向普遍性思維策略。

這是具體判斷一個策略能否被看成普遍性思維策略的主要標準，即其是否具有超出數(shù)學的普遍意義。顯然，就應用題的教學而言，這也意味著我們不應單純地從解決問題這一角度去認識各個解題策略的作用，將它們看成純粹的“解題術”，而應注意分析它們是否具有更廣泛的意義。

例如，“畫圖”與“列表”顯然可被看成兩種具有廣泛意義的普遍性方法。另外，我們也可從同一角度對“假設法”的教學做出更深入的分析。“假設法”是指，教學中我們應當更加突出“嘗試與誤差糾正（try and error）”這樣一個方法。因為，后者相對于單純的“假設”顯然具有更普遍的意義，特別是在科學研究中具有廣泛的應用。

⑥ 不難看出，上述分析對于“問題解決”也是基本適用的，而這事實上也正是國際上關于“問題解決”的一點共識：由于我們在此所面對的并非是簡單的練習題（nonroutine problem），從而就必須通過各種相關的知識與技能的綜合和創(chuàng)造性的應用去求得問題的解答。詳見另著《問題解決與數(shù)學教育》，江蘇教育出版社，1994，第40頁。

再者，從更高的層次進行分析，我們又應當特別強調兩種普遍性的思維策略：“聯(lián)系的觀點”與“變化的思想”。另外，在一些學者看來，對于“特殊化與一般化”，也應予以特別的重視。在筆者看來，教師也可聯(lián)系自己的教學實踐對此做出概括和總結。這直接關系到了這樣一點，即我們能否在學生離開學校以后給他們留下一些具有普遍意義的東西。當然，為了實現(xiàn)這樣一個目標，我們在教學中應始終堅持這樣一點——“基本思想的學習，不應求全，而應求用”。

第四，突出數(shù)量關系的分析。

在此應再次強調一點，即應當將“數(shù)量關系的分析”很好地滲透、落實于應用題教學的全部過程之中。

還應強調的是，從上述角度我們也可更清楚地認識到“應用題”與一般所謂的“練習題”之間的重要區(qū)別。后者的反復演練主要是為了幫助學生很好地掌握相應的基本技能，包括養(yǎng)成較強的計算能力。也正因如此，就相應的教學工作而言，強調的往往是“程序性觀念”，也即如何能夠按照指定步驟快而準地進行計算從而獲得所要求取的答案。與此相對照，應用題教學則具有不同的性質：此時我們并沒有直接告訴學生應當通過哪些計算并按照怎樣的順序去求得答案，而是必須依靠他們自身的努力發(fā)現(xiàn)具體的解題途徑。也正因如此，就應用題的求解而言，我們應特別關注問題中數(shù)量關系的分析，也即應當更加突出“結構性觀念”。也就是說，對于應用題，盡管我們仍可區(qū)分出多種不同的類型，但是又必須通過問題中未知量與已知量之間關系（特別是等量關系）的分析發(fā)現(xiàn)具體的解題途徑，而“快而準地進行計算”則已退居到了次要的地位。當然，應用題教學主要是為了促進學生思維的發(fā)展，而不只是學生計算能力的培養(yǎng)⑥。

最后，突出數(shù)量關系的分析也可被看成小學數(shù)學教學很好地滲透代數(shù)思想提供了一個很好的切入點。因為，后者并不應被理解成在小學盡早地去引入代數(shù)方法或其他一些明顯屬于代數(shù)范圍的內容，而主要是指代數(shù)思想的滲透，“等量關系”（或者是“結構性觀念”）則又正是后者十分重要的一個內涵。另外，這顯然也為學生學習方程提供了重要基礎。

第五，注重優(yōu)化。

正如人們普遍認識到的，與知識的簡單積累或不斷糾錯相比較，優(yōu)化更應被看成數(shù)學學習的本質。而這又正是“通過數(shù)學學習努力優(yōu)化思維”十分重要的一個含義，即思維品質的提升。特別是，學生如何能夠逐步學會更清晰、更深入、更全面、更合理地進行思考，包括努力提升思維的綜合（整體）和靈活性、自覺性和創(chuàng)造性，等等。

在此，還應特別強調一點（這也應成為應用題教學的一個重要目標）：努力幫助學生養(yǎng)成“長時間思考”與“反思”的習慣與能力。具體而言，由于無論是解題策略、方法的學習，或是思維品質的提升，往往都有一個較長的過程，因此在教學中我們應特別重視幫助學生逐步學會長時間的思考，包括努力創(chuàng)設必要的外部環(huán)境或課堂氛圍，以及對學生的不同意見采取更加寬容與理解的態(tài)度，等等。更重要的是，我們還應努力使之成為學生的自覺行為，而不只是由于外部壓力的被動行為。也正因如此，我們在教學中就應對于總結與反思予以特別的重視，包括從整體高度對已建立的知識做出必要的“再認識”。

顯然，按照上述的要求，應用題教學將上升到一個更高的水平。當然，就這方面的具體工作而言，我們又應十分重視相應的教學行為對于學生的可接受性。

具體而言，筆者認為，小學中年段特別是四年級是開始應用題教學較為合適的一個時期。 但在做出相關努力的同時，我們又應特別重視學生興趣的培養(yǎng)，而不要因為不適當?shù)靥岣唠y度而使學生完全喪失了數(shù)學學習的興趣。另一方面，這是學生成長更為合理的一個軌跡，從而也在很大程度上決定了基礎教育階段數(shù)學教育乃至一般教育所應實現(xiàn)的主要目標：習慣—興趣—品質—精神。

筆者衷心希望能有更多教師積極投入此項工作，從而真正做好傳統(tǒng)應用題教學的當代重建。

參考文獻：

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[8]顧亞龍.題組模塊：給數(shù)學課堂以生成的力量[J].小學數(shù)學教師，2019（1）：34-40.

[9]彭加萊.科學的價值[M].李醒民，譯.北京：光明日報出版社，1988.