分類討論思想及其在高中數學教學中的應用

趙玉才

【摘要】分類討論思想是一種重要的數學思想，在求解某些問題方面往往可以起到化繁為簡的作用，不僅有利于提高學生解題能力，同樣有助于促進他們思維能力的發展，加強分類討論思想在學科教學中的滲透顯得尤為關鍵.以高中數學學科為例，對分類討論思想及其應用要點進行重點探討，希望可以助力新課程下高中數學高效課堂構建.

【關鍵詞】高中數學;分類討論思想;應用策略

在新一輪課程改革背景下，培養學生的學科核心素養，促使學生“智”與“德”同步發展是各學科教學的根本出發點.其中，“智”層面的學科素養是促進學生學科關鍵能力發展，其中涵蓋了數學思維能力、創新能力等.但是，以往的學科教學只注重按照教材開展知識講解，卻忽視了常用數學解題思想與方法的專項指導，進而限制了學生數學思維能力發展以及學科核心素養的形成.為了滿足新課程改革下高中生數學學科核心素養培養要求，加強分類討論思想等數學思想在課堂教學中的融入研討顯得尤為重要.

一、分類討論思想在高中數學教學中的應用意義

在進入高中階段之后，數學內容在“質”與“量”層面都有了很大程度的提升，大大增加了學生的學習難度，同時他們平時遇到的數學問題難度也越來越大，如果單純采取“套公式”“套模板”的固定式解題思維，那么顯然已經無法有效解決這些復雜、高難度的綜合性數學問題.而分類討論思想不單單是一種數學思想，同樣是一個有效的問題求解對策，對鍛煉學生邏輯思維能力有幫助，可以使他們懂得利用分類處理的方式優化問題解題思路，提高他們的歸納總結能力、問題分析和解決能力等.

二、分類討論思想在高中數學教學中的應用策略

（一）基于數學概念進行的分類討論

在高中階段的數學學科學習過程中，有絕對值、分段函數、斜率幾個關鍵的概念，它們本身的概念界定方面存在一定“分類”性，這使得它們在實際的數學應用中需要根據不同的條件確定不同的內容，經過分類討論分析方可最終確定定值.因此，涉及這些相關數學概念的問題求解，可以創新應用分類討論思想來有效解決這些問題.

1.基于絕對值概念的分類討論

在碰到包含絕對值的數學問題時，常規的解題思路是依據絕對值的基本定義，采取零點分類法將相應的絕對值采取分類的方式去掉.

2.基于分段函數概念的分類討論

分段函數，顧名思義，就是根據定義域的不同，相應的函數表現出差異性.針對分段函數問題的求解，由于其分段性特征的存在，使得問題求解過程中無法按照連續性函數的求解思路與方法進行求解，這樣會直接影響解題的準確性，所以在相應問題求解過程中也需要運用分類討論思想加以解決，針對不同段的函數采取差異化的求解方法.

3.基于函數斜率概念的分類討論

在使用點斜式對直線方程進行表述時，由于需要討論直線斜率本身的存在性，這就使得其需要進行分類討論才能保證整體函數分析的全面性與合理性.

例3 在xOy這一平面直角坐標系中，已知雙曲線C1：2x2-y2=1和橢圓C2：4x2+y2=1.其中點M和點N分別為雙曲線與橢圓上面的一個動點，且已知OM⊥ON，試證明點O點到直線MN的距離為定值.

解析 針對這一問題的求解，在求解過程中需要對直線斜率是否存在進行分析，針對不同的情況，都要結合已知條件進行論證分析才能得到最終的結論，否則如果不考慮直線ON的斜率，那么無法論證全面.

（二）基于數學運算進行的分類討論

在開展數學運算的過程中，其中不乏一些遇到開平方或者需要分情況討論的運算情況，這時候為了快速解決問題，就必須及時進行分類討論，保證可以快速、準確地求解相應的數學問題.

由此可知，在求解數學運算問題時，需要結合實際的運算情況，靈活地選擇分類討論思想來簡化問題，保證可以快速找到解題的突破口，增強分析問題的全面性與有效性.

（三）基于公式限制進行的分類討論

在高中階段的數學學科知識學習過程中涉及數列領域的通項公式等眾多數學計算公式，它們本身涉及不確定的參數，并且參數的不同會得到不同的計算公式.針對這些涉及具體數學公式的數學問題求解，就需要借助分類討論思想，針對不同的公式分類情況來進行深入分析活動，保證可以更好地提升數學問題的求解準確度與效率.

（四）基于參數變化進行的分類討論

在數學問題求解時常常會涉及許多未知參數，由于它們本身的未知性使得實際的問題求解中常常會因為參數取值的不同而產生不同的結果，所以在實際的相關問題求解過程中要注意以參數為基準來進行分類討論，以此確保最終問題分類討論結果的準確性.

（五）基于不確定性進行的分類討論

在當前高中階段的數學學科教學過程中，由于涉及向量、圖形等一些抽象的知識，并且它們本身涉及的題目中也涉及一些未知性，這種“寬泛”的解題條件使得問題求解中需要考慮更多的因素.針對這種情況，也需要借助分類討論思想來對相應的問題進行系統化梳理，保證可以借助不同條件下的“定式”問題求解來最終找到解決問題的答案.

例7 已知平面向量a，b，c滿足a⊥b，且a，b，c=1，2，3，試求a+b+c的最大值.

解析 鑒于題目中給出的向量都屬于未知值，條件不足或未知在一定程度上影響了計算結果的差異性，所以為了順利解決這道題，需要針對不同的情況來采取切實可行的處理手段與策略.在本道數學題中，在a+b和c保持同向的狀態下，待求值a+b+c可以取得最大值.但是由于|a|，|b|，|c|三者的不確定性使得問題求解中需要及時開展分類討論.

綜上所述，在三種不同的情況下，|a+b+c|的最大值各不相同.通過對比這三個結果的大小，最終可以求得|a+b+c|的最大值為5+3.

綜上所述，分類討論思想是一種提高高中生數學解題能力的一個有效數學思想.在實際的數學教學過程中，教師可以結合數學概念、數學運算、公式限制以及參數變化等為特征的數學問題，針對性傳授給學生分類討論思想的基本應用情況，保證不斷提升他們的數學問題求解能力.