研學(xué)課例：“橢圓的幾何性質(zhì)”教學(xué)設(shè)計

【關(guān)鍵詞】研學(xué)課例；教學(xué)設(shè)計；高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G遠33.6【文獻標(biāo)志碼】A【文章編號】1005-6009（2020）11-0065-02

【作者簡介】陳唐明，江蘇省如東高級中學(xué)（江蘇如東，226400）教師，高級教師。

一、教學(xué)目標(biāo)及重難點

通過前面“直線與圓”章節(jié)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)具備了用解析的方法研究曲線問題的基礎(chǔ)。基于此，筆者將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置為：（1）掌握橢圓的簡單幾何性質(zhì)，理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)a、b、c的含義；（2）讓學(xué)生通過橢圓幾何性質(zhì)探究，厘清橢圓有關(guān)量間的內(nèi)在聯(lián)系，從整體上把握橢圓的幾何性質(zhì)；（3）讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)問題研究的一般思路與方法，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)縝密的“理性思維”的習(xí)慣。

教學(xué)重點確定為橢圓的幾何性質(zhì)及其研究方法，教學(xué)難點確定為橢圓幾何性質(zhì)的探究過程。

二、流程設(shè)計

【問題情境】上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了橢圓的概念與標(biāo)準(zhǔn)方程（請同學(xué)們回顧橢圓的概念要點、標(biāo)準(zhǔn)方程并板書）。在建立了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程之后，我們下一步可以做什么工作？

（設(shè)計意圖：開放式提問，引發(fā)學(xué)生主動積極地思考。進一步的研究，學(xué)生自然會聯(lián)想到研究幾何性質(zhì)。）

問題1：你認(rèn)為橢圓有哪些幾何性質(zhì)？如何來研究呢？

（設(shè)計意圖：開門見山，從數(shù)學(xué)知識的內(nèi)部提出問題，引發(fā)學(xué)生進一步思考。）

問題2：大家回顧一下，當(dāng)時在學(xué)習(xí)“函數(shù)”一章時，我們是怎么去研究函數(shù)的？在已知函數(shù)解析式的情況下，我們可以研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？又是如何研究這些函數(shù)性質(zhì)的？你能將函數(shù)的研究方法遷移到橢圓的方程上來嗎？

函數(shù)是我們高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容。函數(shù)與方程也有著千絲萬縷的聯(lián)系。其實，函數(shù)也可以視為方程，如y=2x+1可以視為關(guān)于x的一次函數(shù)，也可以視為關(guān)于x，y的二元一次方程。從這個角度上來說，方程其實是函數(shù)的上位概念。我們可以將函數(shù)的研究方法遷移到曲線方程上來。

（設(shè)計意圖：教師引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)作為方程的下位概念，從形式上看，也可以視為方程，進而得出可以用類比函數(shù)的研究方法來研究橢圓的方程。通過函數(shù)解析式研究函數(shù)，我們通常關(guān)注函數(shù)的定義域值域、單調(diào)性、奇偶性及由此延伸出對稱性、周期性；研究函數(shù)圖象對應(yīng)到橢圓上來，我們可以研究橢圓的范圍、對稱性、頂點等。）

問題3：我們不難看出橢圓上任一點P（x，y）滿足-a臆x臆a，-b臆y臆b，能不能從方程（代數(shù)）的角度進行論證呢？

學(xué)生通過觀察橢圓的圖象得出橢圓上點的坐標(biāo)的范圍并不難，但如果止于此，將失去一個很好的培養(yǎng)學(xué)生理性認(rèn)知數(shù)學(xué)本質(zhì)問題（將幾何問題“代數(shù)化”）的好機會。教師此時應(yīng)點撥學(xué)生去思考：你能不能不借助于橢圓的圖象，直接通過橢圓方程得出橢圓上點的坐標(biāo)的范圍？在學(xué)生得出結(jié)論后，教師順勢給出：我們把經(jīng)過橢圓頂點的四條直線x=依a和y=依b所圍成的矩形叫作橢圓的伴隨矩形。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生在感性認(rèn)知的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生回歸方程，通過代數(shù)論證嚴(yán)格推證出范圍，引發(fā)學(xué)生有“深度”的思考，培養(yǎng)學(xué)生縝密的“理性思維”的習(xí)慣。給出橢圓的伴隨矩形，為后續(xù)借助矩形長與寬的變化來直觀刻畫橢圓的“扁”“圓”程度做鋪墊。）

問題4：大家發(fā)現(xiàn)橢圓是對稱的，那么橢圓具有怎樣的對稱性？能否從代數(shù)的角度進行證明？

圖形對稱其實質(zhì)為點的對稱，要證明曲線（圖形）關(guān)于某線（或某點）對稱，也就是要曲線（圖形）上所有的點關(guān)于該線（或該點）對稱之后所得的點也在曲線（圖形）上。

（設(shè)計意圖：讓學(xué)生從“形”的角度觀察，發(fā)現(xiàn)橢圓的對稱性，引導(dǎo)學(xué)生從“數(shù)”的角度進行再認(rèn)識；從本原問題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生給出嚴(yán)格的證明。）

問題5：比照函數(shù)性質(zhì)的研究，研究橢圓圖形上關(guān)鍵的點，可以基本確定橢圓的形狀與大致位置，你覺得橢圓上哪些點是最關(guān)鍵的？

橢圓頂點概念的生成，可先讓學(xué)生自主觀察探索；若學(xué)生給出的結(jié)論不全面，教師予以點撥：請大家回顧一下，二次函數(shù)的圖象（拋物線）與對稱軸的交點是什么點？（頂點）那么，橢圓有對稱軸嗎？如果有，有幾條？它們和橢圓有沒有公共點？若有，有幾個公共點？你認(rèn)為應(yīng)該給這些點取個什么名字？由此引出橢圓頂點的概念，并順勢給出橢圓的長軸（長軸長、半長軸長）、短軸（短軸長、半短軸長）等相關(guān)概念。

（設(shè)計意圖：類比是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法。通過類比，可以讓學(xué)生有新的“發(fā)現(xiàn)”。）

問題6：在黑板上畫若干個橢圓，讓學(xué)生觀察：這些橢圓有什么不同？（大小不同，扁圓程度不同）激發(fā)學(xué)生思考：橢圓圖形的大小依賴于a、b的值。橢圓的“扁”“圓”程度又依賴于什么呢？有沒有規(guī)律可循？

經(jīng)歷了這樣的研究，激活了學(xué)生的思維，讓學(xué)生有了積極地深度思考，學(xué)生掌握的不僅所學(xué)的表層知識（橢圓的幾何性質(zhì)），更是從中學(xué)會了研究數(shù)學(xué)問題的一般性方法，為后續(xù)的同類問題（雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)）學(xué)習(xí)提供范例、思路、方法。學(xué)生完全可以自己借鑒橢圓幾何性質(zhì)的研究思路去獨立完成雙曲線、拋物線的幾何性質(zhì)學(xué)習(xí)，這也就達到了“教是為了不教”的目的。