關于“博弈”模型應用的數學教學思考

李妙寧

【摘要】在經濟社會中各種問題的研究都經常用到博弈模型，但教師卻往往忽略跟學生打交道其實也經常存在博弈。要知道，學生也是人，他們也會思考，也有自己的主張和想法，要令他們聽你的話跟你合作，要是沒有好的策略作為指導，真的很難。小學數學的教學，在一定的“背景”下，在一定“規則”的約束下，有老師與學生這兩種似對立又關聯的角色的參與，他們有意或無意地進行自己的教或學的行為，并依據課堂內外的種種教與學的相關影響因素，不約而同選擇各自的最優策略。如此看來，我們的數學教學符合博弈模型的前提條件，是一場標準的博弈，而且還是一場能動的、發展著的博弈。“智豬博弈”“金牌銷售者”“囚徒的困境”是最優決策問題的經典例子，如何結合數學教學與這些“博弈”模型，從而提高教學效果，這是需要大家學習與思考的。

【關鍵詞】博弈論；智豬博弈；數學教學；銷售者；囚徒的困境

博弈論常用在經濟社會中的各種問題研究，其實在我們日常生活中到處存在博弈，在商場上戰勝對手需要博弈，在家里要讓妻子（或者丈夫）同意你的決策需要博弈，即使是朋友間也無時無刻不存在博弈，我們跟學生打交道其實也經常存在博弈。不過這里所說的博弈并非一般人們理解為的游戲或對抗比賽。而是處事的策略。人們總認為教學只是師生間的交流，并不存在功利得失，所以不存在博弈中的較量，這是人們對博弈理解的一個誤區。博弈論（Game Theory）是數學，更確切地說是運籌學的一個分支，是使用嚴謹的數學模型研究沖突對抗條件下最優決策問題的理論。簡單地說，博弈論是研究決策主體在給定信息結構下如何決策以最大化自己的效用，以及不同決策主體之間決策的均衡。

小學數學的教學，在一定的“背景”下，在一定“規則”的約束下，有老師與學生這兩種似對立又關聯的角色的參與，他們有意或無意地進行自己的教或學的行為，并依據課堂內外的種種教與學的相關影響因素，不約而同選擇各自的最優策略。無論是教與學都是在謀求各自利益的最大化，其實就是在探求一種教學結構和教學空間上的均衡和諧。這樣看來，我們的數學教學符合博弈的前提條件，是博弈，而且還是一場能動的，發展著的博弈。小學教師能在小學處理好教與學的關系，則對剛剛進入對立局的小學生來說，是人生一大幸，現就數學教學中的“博弈”淺探一番。

一、善用“智豬博弈”中的新規則

“智豬博弈”（Pigs′payoffs）是一個著名博弈類的例子。意思是說，豬圈里有兩頭豬，大豬和小豬。在豬圈的一邊裝有踏板，遠離踏板的另一邊裝有投食口，踩一下踏板，投食口就會落下少量的食物。此時就會出現兩種情況，當小豬踩動踏板時，大豬會在小豬跑到食槽之前吃光所有的食物；當大豬踩動了踏板，就可以在小豬吃完落下的食物之前跑到食槽，爭吃到另一半殘羹。那么，兩只豬會選擇什么策略？結果是，大豬為了自己不餓肚子只能勞碌奔跑，而小豬一定會偷懶，選擇等在食槽邊。對小豬而言，踩動踏板一定沒得吃，所以，它絕對不會踩動踏板，只會選擇“等吃”策略。反觀大豬，已明知小豬絕對不會去踩動踏板，自己去踩總比不踩強，所以只好親力親為了。

數學課堂上也會出現這樣的場景。一種場景是學習不是很好的學生做“小豬”，學習好的學生做“大豬”。在課堂合作學習上“小豬”經常是不練習不發言，把別人的答案意見當自己的，“大豬”眼看著自己的成果被“小豬”利用，但為了小組的成績，為了不被老師批評，還是要不停努力完成任務。另一種場景是老師做“大豬”,課堂上不停講，不停灌，就為了學生能多考一分，而大部分學生只愿做“小豬”，只要稍微專心聽課成績就能合格，不用刻苦學習就能勉強達標，不用做“大豬”疲于奔命。

故事中的游戲規則導致了“小豬躺著大豬跑”的現象，如果改變一下核心指標：每次落下的食物數量和踏板與投食口之間的距離，豬圈里還會出現同樣的“小豬躺著大豬跑”的景象嗎？

我們可以假設以下幾種新的規則，以便先嘗試解決第一種場景的問題。

新規則一：增量方案。增大投食量，以保證不管是小豬還是大豬去踩踏板，大家都能吃上食物。如此一來雖解決了“小豬躺著”的問題，但卻造成競爭意識不強，大家都不愿意多踩踏板，最后只會是“兩個和尚沒水喝”。有些老師的課堂上倡導“欣賞教育”，但是當課堂上學生得到的表揚和好的評價大于他們的付出，甚至不努力也有好的評價，此時就會導致完全沒有競爭。有些老師在課堂上倡導“嚴師出高徒”，一昧地批評、訓導學生，大大降低了學生的學習積極性，學生的競爭意識自然不高。以上兩種情況都是增量過程中，量的多少問題，過多的好的或不好的評價都很難成為強化學生所學知識的手段，課堂教學中老師把握好其中的尺度，才能以期更大程度激發學生的學習能動性。

新規則二：減量加移位方案。減量，減少原來的投食量；移位，把踏板位置移到投食口的旁邊。在新規則條件下，不管是大豬還是小豬，只要踩動踏板就能就近獲得食物，由于食物量不能一次吃飽，還需要多次踩動踏板，多勞多得，豬們都會拼命踩，不勞動就沒有收獲。對于游戲設計者，這是最佳方案之一。成本不高，但收獲大。

以上的新規則強調的是“多勞多得，不勞不得”，收獲不是人人都有，而是直接針對個人。在教學的過程中教師也要采用有效激勵評價機制，評價的作用在于強調學生的形成性作用，有的放矢，削除“搭便車”現象，注重學生個體的個性化評價。特別是在數學課堂教學上教師還可以借助現代化信息，及時檢測反饋每一位學生的知識生成過程，監測到每一位學生的學習效果，從面生成有關學習能力和學習效果的評價，給予學生學習的導向和動力。

新規則三：不改變踏板和投食口的距離，只把大豬和小豬分開，讓小豬和小豬在一個圈，大豬和大豬在一個圈，這樣“小豬躺著大豬跑”就變成了小豬、大豬在自己的地方到處跑。

把小豬和大豬分開，就是“因材施教”。在常態編班的前提下，對于同一班級、不同類型的學生采用分層教學，這是符合新課標“讓每位學生都得到發展”的理念的。教師可以通過分層備課、分類指導，分層練習等手段改變學生“吃不飽”“齊步走”的現象，以促使不同層次的學生的知識與技能在原來的基礎上得到較好的提高，從而促進全體學生的發展，使教學的實施更具有實際意義。

二、做一個聰明的“銷售者”

不管是對什么事物的研究，通常都喜歡用一些生動形象的例子作為研究的模型。為此，筆者也嘗試把教學中一些有關博弈的模型用一個有趣形象的例子進行說明。小學生初到學校，就像進入了一間新開的商場。無論是對學校的人和事，還是對剛剛接觸的新知識，甚至是一節新課，都充滿著好奇。所以，筆者將通過對孩子進入商場后的遭遇來說明教學博弈是怎么一回事。

對于一般人來說，到商場通常是為了買東西的。當然不可否認，有的人到商場其實只是為了消磨時間。但是，不管是出于什么目的。每一個到商場的人通常都會在自己沒見過的或好奇的商品前停留一段時間。這時銷售員就要充分利用這個時間進行銷售，有的銷售員是“姜太公釣魚，愿者上鉤”，讓客人自己看自己挑，主動性不強；有的使出渾身解數把商品推介給顧客，力求銷售成功；說到這里，大家應該猜到在這個模型里，學生扮演著顧客的角色，而老師就是銷售者。雖然這種說法很殘酷，或者說很無奈。但是，如果我們接受這樣的一個現實的話，我們就會從一個“銷售員”的角度出發了，轉變自己的觀念，老師不再是高高在上的“傳道授業者”，而是一個為了在有限的時間里多推銷出枯燥的數學“商品”的聰明的“銷售員”。過去我們在教學的過程當中很少考慮到自己所教的知識怎么樣才能讓學生喜歡學,怎樣才能把學生的注意力和學習興趣吸引到自己的課堂上,今天我們不研究不行了,如果學生不選擇你的課,你就面臨失業.在我們的課堂上,就要思考如何增加課堂知識的趣味性和對知識傳授的感染力, 提高學生獲得知識的成功感，從而獲得最佳教學效果,就必須增加知識教授的附加值，讓學生喜歡我們的課堂。

三、勇于走出“囚徒的困境”

“囚徒的困境”是一個著名的博弈模型，是說兩個共犯被抓進了公安局，由于沒有足夠的證據，無法對他們進行定罪。在這種情況下，警察將兩個犯人分別進行審訊。在審訊時告訴他們，如果他們供出同伙的罪行轉為污點證人，他們就會因立功而輕判兩年；如果他被別人供出了罪行，他就將單獨被重判八年。因此，囚徒的處罰有了三種可能：其一，兩者都保持沉默，從而無罪釋放；其二，把對方供出來，自己輕罰兩年；其三，被對方供出來，自己重罰八年。在這種情況下，每位犯人都在猜測對方是否會為了減輕自己的懲罰把對方供出來，雖然明知兩個人都保持沉默是最好的方法，不管對方是否把自己供出來，自己把對方供出來都是有利的。于是，最終的結局最大可能出現的情況就是兩人都把對方供出來，結局是兩名犯人都被重判。

假設在同一個班上，學生只學語文和數學兩門課程，但實際上學生還要學習更多的課程，這里為了簡化問題，我們假設只有兩門。語文和數學老師為了讓學生在自己的學科上考出好的成績，都會在作業布置上盡可能搶占學生的課后作業時間。這時，兩位老師之間的博弈就開始了，假設原來學生每天抄一篇課文的生字詞和做五道數學題就可以了，現在語文老師讓學生除了抄生字詞還要背一篇課文，把學生的空余的時間利用起來，短期內，這種增量的方法是有效的，但是，長此以往，學生為了保用活動的時間，盡然會縮短數學作業的時間。數學老師很快就會意識到這個問題是，學生盡管按時完成了作業，但質量已大不如前，為了解決問題，數學老師也一定會增加數學的作業量，從語文老師那里把學生的時間搶回來，甚至還可能多搶了時間。同樣的道理，語文老師也不是省油的燈，于是他又……如此循環下去，而且博弈的主體也不斷地增多，其他老師也意識到了這個問題，大家明知不可為而為之，就算火坑也必須跳了。

當所有老師都參與進來以后，學生的負擔就嚴重超載了。學生的學習時間硬是被老師間的博弈大量增加了。家庭作業就低效甚至無效，只是為了應付老師的檢查。這時，老師就會要求家長也參與進來，加強監督學生的作業效果，越來越多的角色參與到這個博弈，而且長此以往，不但家長和老師耗時耗精力，學生的學習積極性越來越低，大家明知不可為，卻沒有人愿意率先退出，以免讓別的科目得益。

數學作業也是我們教學的一個重要部分，它對于學生掌握知識，形成技能、培養能力，提高素質有著十分重要的作用。教師應該優化作業的設計，數學作業的量與質并重，設計實踐性作業，讓學生摸索生活問題；設計層次性的作業，讓差異學生都有知識獲得感；設計探索性的作業，讓學生把數學與生活聯系起來，增強動手能力；設計自主性作業，讓學生成為學習的主動者；使家庭作業成為學生業余生活中熱衷的一項活動。這樣既能激發學生對數學的興趣，也能讓學生擺脫沉重的作業包袱，教師才能真正走出“囚徒的困境”。

被譽為新教育之父的英國教育家塞西爾·雷迪也強調說：“教育的目的應該在于協調。”我們的課堂，無論是老師的“滿堂灌”和“一言堂”，還是學生自主探究時缺少掌控的散亂，都是空間的不平衡，結構的和諧。劉文哲先生的“3S”布局理論的另兩個原則就是結構與空間，這是巧合也是盡然。我們能感受到博弈思想與小學數學教學和而不同、不同而和的默契和與淵源。在博弈思想的牽引下，我們要追求一種給定對方的最優策略而選擇了最好策略的空間與境地，我們要營造一種平衡的、和諧的、穩定的結構與狀態，讓我們的數學課堂從傾斜走向均衡，從低效走向高效，讓我們課堂的各種“博弈”令教學更高效。

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