淺談分類思想在初中數學教學中的滲透

鄔吉利

[摘 ?要] 分類思想是初中數學知識生成的過程中需要運用到的數學思想方法，分類思想的具體體現就是分類討論方法. 分類思想滲透的基本思路是教師通過問題的提出，讓學生有了一個體驗分類的過程. 分類思想從方法層面來看，屬于數學思想方法一類;而從學生數學學習的角度來看，分類思想則是指向學生的思維發展的. 只有瞄準學生的思維需要，瞄準學生思維成長的方法，分類思想方法才能在滲透的過程中體現其價值，彰顯其意義.

[關鍵詞] 初中數學;分類思想;數學教學;滲透

隨著課程改革的深入發展，隨著核心素養的有序推進，初中數學教學中重視思想方法的教學，已經成為當前數學教師的基本共識. 而且對于數學思想方法的教學，目前也基本上都認同一個觀點，那就是思想方法是重要的，思想方法具有一定的嚴格定義與實現途徑，但是思想方法本身并不適宜作為一個直接教學的內容，尤其是面向初中學生，思想方法更應當是一滲透的教學方式，即讓學生在知識學習與運用的過程中，通過對數學思想方法的體驗性運用，去實現對數學思想方法的認識與內化. 這種滲透的教學思路，是當前初中數學思想方法教學的主流思路. 筆者近來在數學教學中，對分類思想進行了相關的研究，取得了比較豐富的認識.

所謂數學分類思想，就是根據數學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數學思想. 分類思想既是一種重要的數學思想，又是一種重要的數學邏輯方法. 分類思想在具體的數學知識教學中，常常是與數學分類討論的方法結合在一起的，而所謂數學分類討論方法，就是將數學對象分成幾類，分別進行討論來解決問題的一種數學方法. 可以簡略地講，分類思想是初中數學知識生成的過程中需要運用到的數學思想方法，分類思想的具體體現就是以分類討論方法為形式的體現. 下面從三個方面闡述筆者的相關認識.

分類思想促進學生更好地分析并解決問題

初中數學教學可以分成新知識學習與運用兩個方面，無論是新的概念、規律的學習，還是其運用，都有一個共同的環節，那就是問題解決. 數學概念建立的過程中有問題解決，數學知識運用的過程中也有問題解決，在問題解決的過程中，學生要會用觀察、比較和分析的方法思考問題，會用有條理的語言來闡述自己的思想，而這就需要學生運用分類的思維方法來思考問題.

例如，在“有理數”的學習中，有一類問題非常基礎，也具有一定的典型意義，這就是比較有理數的大小的問題，初一新生對此問題常常比較苦惱，因為總有一些題目會出錯. 很多情況下，教師教給學生的常常是一些比較技巧，目的是為了讓學生正確比較出有理數的大小，以為考試時拿分，這樣的策略不足以培養學生對數學思想方法的認識.

實際上，此處可以采用分類思想來幫學生解決問題. 筆者在教學中引導學生思考這樣的幾個問題：在有理數的大小比較中，你遇到過哪些情況？能否進行一下分類？（提出這個問題的時候，筆者下發了學生近期所做過的比較有理數大小的題目）在這個問題的驅動之下，在學生對自己所做過的相關題目的回顧與分析中，可以通過分類得出這樣一些結果：一是正數與負數的比較（這個最簡單，學生最容易想到）;二是正數、負數跟0的比較;三是正數跟正數的比較;四是負數跟負數的比較.

隨后進一步提出的問題是：這四類比較中，哪些你是有把握的？哪些你是感覺有困難的？學生通過討論交流發現：第一、二、三類其實都是比較容易解決的，唯獨第四類負數與負數的比較，存在著一些困難，而究其原因是學生對負數原本比較陌生，缺少對負數的直覺認識，現在讓他比較負數大小，更加會捉襟見肘. 通過分類發現了難點所在，下面的關鍵就是想辦法解決問題，考慮到學生的認知規律，筆者讓學生將負數與負數比較大小，與正數與正數比較大小進行對比，譬如a，b均為正數，且a>b，那當a，b取相反數時，結果是什么呢？

以上就是一個典型的通過分類去分析問題、解決問題的案例，而這個過程中的分類并沒有以貼標簽的形式出現，只是教師通過問題的提出，讓學生有了一個體驗分類的過程，這正是分類思想滲透的基本思路.

在初中數學習題解答過程中滲透分類思想

眾所周知，“分類”最初是源于生活用于生活，分類思想是自然科學乃至社會科學中的基本邏輯方法，也是研究數學問題的重要思想方法，它應貫穿于整個數學教學中. 但同時不可否認的是，除了新的知識學習之外，初中學生最主要的任務，就是做題目. 筆者以為，在當前評價考核機制的背景之下，習題解答并不宜“妖魔化”，應當視其為培養學生數學認識、生成數學學科核心素養的重要機會. 習題解答不同于一般的問題解決，數學習題往往沒有太多的生活元素，更多的是通過已知條件的呈現并讓學生在解答未知的過程中，去運用自己的邏輯推理能力實現解題. 如果在習題教學中能夠引導學生運用分類思想，那也能起到很好的滲透作用.

例如，在函數知識的教學中，有這樣的一類習題比較典型：已知函數y=（m-1）x2+（m-2）x-1（m為實數），如果函數與平面直角坐標系的x軸只有一個交點，那m的值是多少？

教學經驗表明，很多學生在這道習題的解答中，往往第一反應就是認為這是一個二次函數——對應著一元二次方程，當其與x軸只有一個交點時，說明該一元二次方程的Δ值為0，然后通過Δ=b2-4ac去求出m的值. 而等到教師強調這一思路的缺陷時，相當一部分學生呈現出恍然大悟的樣子：是自己粗心，沒有想到這個函數有可能不是二次函數.

這真的是粗心嗎？不是！本質上這是學生的思維認知水平偏低，不知道習題的復雜性，而說得更加徹底一點，就是學生對于一元二次方程的最基本要求，即二次項系數不為0恰恰是忽視的. 那么怎樣增強學生的這個印象呢？——實際上這也是學生自己提出的問題：怎樣才能讓自己在關鍵時刻知道要注意一元二次方程的二次項系數不為0呢？在筆者看來，最好的方法就是“分類”，讓學生結合上面的習題，首先就分二次項系數等于0和不等于0兩種情況，然后得出m的值為“等于1”和“不等于1”兩種情況.

應當說，在學生初次接觸這類題目的時候，由于原先大腦里只有一元二次方程的認識，因此一旦開始跟學生進行分類討論，實際上就是打破了學生原先的認知平衡，學生自然會帶著較為強烈的興趣去探究，而探究的基礎實際上就是分類討論的兩種情形，探究的過程則是分類之后運用一元二次方程與一次方程的知識分別去進行判斷. 在這樣的過程中，分類討論的方法驅動著學生思考，學生在對分類思想的體悟中，不僅豐富了知識層面的認識，更加豐富了方法層面的認識. 這樣的一個教學過程中，教師沒有刻意地跟學生強調“分類思想”，但學生卻實實在在地體驗到了分類思想方法的運用，因此這是一個十分典型且有效的分類思想方法滲透的過程，對于學生掌握相關知識、提升數學學習能力是非常有幫助的.

分類思想的有效滲透指向學生的思維發展

分類思想從方法層面來看，屬于數學思想方法一類;而從學生數學學習的角度來看，分類思想則是指向學生的思維發展的. 盡管強調分類思想在學生數學學習的過程中應當秉承滲透思路，但初中學生已經具有了方法認識的意識，他們在數學學習中也注意要掌握一定的方法，因此某種程度上講，讓學生認識到在解決數學問題時，有時由于被研究對象的屬性不同，影響了研究問題的結果，因而需對不同屬性的對象進行分類研究，或者由于在研究問題過程中出現了不同情況，因而需對不同情況進行分類研究，也是非常必要的.

例如，同樣在函數知識的教學中，有一類證明題非常“另類”，而其中的方法因素又非常豐富，讓學生解決這類題目時，通過分類思想的運用，可以拓寬學生的知識面，豐富學生的解題思路. 如函數y=x6-x5+x4-x3+x2-x+1，證明：y的值恒大于0. 不少學生在解決此問題時常常感覺無法下手，這也就是在思維上表現出了困難，實際上若采用分類的思路去解決問題，讓學生從x≤0，01四個角度進行分析，則可以輕易地證明. 這種分類看起來是方法層面的，實際上就是指向學生的思維的，學生通過分類會發現，原來解決此類問題還可以通過分類的方法得以實現，這不僅拓寬了學生思維的廣度，還挖掘了學生思維的深度，對于學生的數學學習來說有著十分重要的促進作用.

總之，在初中數學教學中，分類思想方法的滲透關鍵在于指向學生的思維，只有瞄準學生的思維需要，瞄準學生思維成長的方法，分類思想方法才能在滲透的過程中體現其價值，彰顯其意義.