挖掘圖形特征 凸顯問題本質

施平

[摘 ?要] 試題命制源于教材，以課本資源為載體，從學生已有的活動經驗出發，關注提升數學核心素養;試題的命制過程，是經歷從原始框架到幾易其稿，再到最終定稿的蛻變過程;依托圖形的性質進行深層次的挖掘拓展延伸，揭示問題的本質特征.

[關鍵詞] 試題;命制;生成;思考;延伸

筆者有幸多次參與本縣市統一考試數學試題命題工作，在試題的命制過程中逐步掌握一些命題技術、原則和技巧;對于本道題的命制，基于圖形的基本特征，借助“幾何畫板”的動態與度量功能，持續挖掘，不斷增強試題與預設目標的契合度，經歷了反復權衡、不斷斟酌、抽絲剝繭、凸顯內涵的過程. 以下筆者將對試題如何生成、命題過程中的思考以及試題拓展延伸講一些體會，與同行交流.

試題展示

如圖1，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=α（0<α≤90°），E為BD上的一個動點（不與B重合），BE

（1）求證：∠AFE=∠BAE.

（2）若α=60°，

①當△AEF為直角三角形時，求BE的長;

②點M為BE的中點，求CE+ME的最小值.

命題立意及來源

（一）命題立意

本試題的命制，借助幾何基本圖形的特征，將導角問題、特殊三角形存在探究問題、最值問題、相似、圓等有機融合一起，力求既能深度考查初中數學的核心知識，又能綜合考查數學基本思想方法的運用;既能提升學生數學核心素養，又能挖掘學生后續的數學學習能力.

知識層面：著重考查平行線的性質、全等三角形的性質判定、角平分線性質、菱形的性質、直角三角形的性質、勾股定理、三角形三邊關系、垂線段最短等;

思想層面：試題滲透轉化、數形結合、分類討論、方程函數、特殊與一般的思想;

能力層面：力求提高抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識;

素養層面：關注提升學生的邏輯推理、直觀想象、數學運算等核心素養.

（二）原始模型

命制時選取的素材是人教版八年級下冊第十八章56頁的例3，通過這個例題給我們啟示：賦予菱形一個內角度數和邊長，即可求出其他的元素，包括其他邊、其他角、兩對角線長，菱形的高、周長、面積等.

試題的生成與解析

菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形所有的性質，同時菱形又有一個很重要的本質特征——對稱性. 基于此，本道試題就以菱形為基本圖形，通過菱形的對角線特征（垂直平分、平分對角），利用菱形的對稱性，如圖2在對角線BD（對稱軸）上任取一點E，設置BE

1. 點E在運動時，∠AFE在變化，但由于平行關系，∠AFE恒等于∠FCB，而∠FCB=∠BAE，導角得出角之間的相等關系，基于此思考，第一問設置了一個兩角相等的證明問題.

2. 賦予∠ABC=60° ，幾何畫板上拖動E點，在運動變化過程中觀察△AEF，其特征是點A定，點E和點F在動，在某個位置可能出現特殊三角形，進而可以設置三角形的存在探究型問題，而特殊三角形的指向可能是直角或等腰三角形，引發學生分情況討論直角三角形存在的可能性. 圖形定性后考查線段或角度的定量，探究直角三角形下邊角之間的特殊關系，可直接計算或通過設元利用勾股定理將問題轉化，實現從定性到定量的有效融合，通過由靜到動的過程拓寬試題的廣度，設置存在探究性問題達到思維路徑和解決策略的開放性.

3. 菱形中的最值問題常圍繞“菱形的高”去命制，本問對高進行拆分，看成由兩線段AE和EH構成，AE通過對稱可轉化為CE，EH可利用直角三角形30度的特殊邊角關系與ME進行互化，并利用菱形的對稱性、兩點之間線段最短（三角形三邊關系）或垂線段最短將兩線段最值問題轉化為單線段（即菱形的高）最值問題.

試題的拓展延伸

在命完上述問題后，仔細琢磨這個圖形，借助畫板繼續挖掘圖形特征，筆者嘗試在原題基礎上做變化拓展延伸.

1. 延伸1：對于原題的第一問（求證兩角相等），結合一個公共角相等，可進一步發現△AEG∽△FEA，即由此可拓展延伸為：求證AE2=EG·EF，或由于對稱性得到AE=EC，可設置問題“探索EC，EG，EF三條線段的數量關系，并說明理由”.

2. 延伸2：原題的第二問設置了直角三角形的存在探究類問題，嘗試拓展為：當△AEF為等腰三角形時，求BE的長. 這里同樣需要分情況討論.

簡解 ?（1）若FA=FE，如圖5，可求得∠F=20°，進而得出∠EAO=40°，并將BE轉化，進而可求出BE=OB-OE=2 -2 tan40°;

（2）若AE=AF，如圖6，可求得∠F=40°，進而得出∠EAO=20°，并將BE轉化，即可求出BE=OB-OE=2 -2tan20°;

（3）若EA=EF，出現∠EFA=∠FAE=∠BAE的情況，即∠FAB=0°，與已知產生矛盾，故這種情況不可能存在.

這里發現一個遺憾：就是求BE的長時要用到非特殊角的三角函數，學生解答時應提供給其具體數據，并且答案要取近似值.

3. 延伸3：如圖7，原題中的第二問（直角三角形），當∠AEF為直角時，可得出∠AEC為直角，此時若把∠AEC看作圓周角，此時AC應為直徑，由此可設置問題“當點E在以AC為直徑的圓上時，求AF的長”.

簡解 ?可將此問題化歸為原題中的第二問（直角三角形存在問題），再通過相似求出AF.

4. 延伸4：以上研究△AFG的存在探究問題，嘗試研究其周長或面積，拖動點E，發現其面積隨著點E的變化而變化，受此啟示，嘗試滲透“函數”思想，如圖8，設AF=x為自變量，△AFG的面積y為因變量，設置問題是“求y與x的函數關系式”.

簡解 ?由于AF∥BC，因此△AFG∽△BCG，設△AFG的高為h， = ，h= ，進而表示出面積.

5. 對于第三問的最值問題可拓展為：隱去中點M，改變問題的形式，將原問中的系數為1的兩線段相加變式為系數不等的兩線段相加，考查學生思維應變能力，這個問題與原題本質相同，形式不同，關注考查學生對 BE如何合理轉化，這就出現了延伸5的問題：求CE+ BE的最小值.

6. 在此基礎上，將α的度數進行變化，當α=90°時，如圖9，此時菱形就為正方形，問題拓展為：求CE+ BE的最小值，從60度變化為90度，即從菱形變為正方形，如圖9，探究對 BE如何轉化. 再將問題一般化，α角是一個任意角呢？如圖10，求CE+BE·sin 的最小值，設計意圖是將BE·sin 轉化為EH，CE轉化為AE，化折為直，化斜為直，從特殊到一般將問題逐步推向深處.

7. 延伸7：對于最值問題，利用菱形的對角線特征，在此圖形中還可做如下的延伸拓展：如圖11，取DE中點N，求CM 2+CN 2的最小值.

簡解 ?設BM=x，ME=BM=x，CM 2=OM 2+OC 2=（2 -x）2+22，CN 2=x2+22，CM 2+CN 2=（2 -x）2+22+x2+22=2x2-4 x+20=2（x- ）2+14，當x= 時，CM 2+CN 2的最小值為14.

8. 延伸8：受到上述啟發，兩線段平方和的最值可求，那么兩線段的和是否存在最值呢？如圖12，由于M，N分別是BE，DE的中點，BD是定長，MN也是定長，基于此思考，還可設問：“取DE中點N，求△CMN周長的最小值”.

現將兩種解法呈現如下：

解法1 ?可將CM+CN轉化為含x的兩根式相加，進而再轉化成平面直角坐標系中兩點的距離問題.

解法2 ?如圖12，過點C作CP∥MN，且CP=MN，易得到？荀MNPC，從而CM+CN=CN+NP，而A，C兩點關于BD對稱，即轉化為AP的長，將“一定兩動”轉化為“兩定一動”問題，而MN為定長，從而三角形周長最小值問題得以解決.

9. 延伸9：進一步挖掘圖形特征，如圖13，∠ABC為任意銳角，在∠F=∠BAE已證的基礎上，而這兩角為一線上的兩等角，試想如果∠ADB=∠F=∠BAE，這個圖形就具備“一線三等角”的圖形特征. 順著這個思路往下走，若∠ADB=∠ABD=∠BAE，相當于EA=EB=EC，因此就加了一個條件：動點E為△ABC的外心，在此前提下，可發現△ADE∽△GFA. 又△GFA∽△GCB，所以△ADE∽△GCB. 這兩個三角形中，AD與BC均為已知邊，且不是對應邊，因此就有了結論：DE·CG為定值.

簡解 ?因為E為外心，可知EA=EB=EC，這就有∠EAB=∠ABE=∠ADE=∠AFG，從而△ADE∽△GFA∽△GCB，所以 = ，DE·CG=AD·CB=4×4=16.

10. 延伸10：如圖14，當動點E為△ABC的外心時，發現∠AFE=∠ABE，看到了A，F，B，E四點在同一個圓上，只是“共圓”的證明過程較煩瑣，回避這個問題. 從另一角度可以看到△AFG∽△EBG，再進一步得出△AEG∽△FBG，進而得到∠GAE=∠GFB=∠AFG，基于以上這些分析，可設置問題：“求證：EF平分∠AFB”.

簡解 ?E是外心時，可知EA=EB=EC，可得∠EAB=∠ABE=∠AFE，進一步得到△AFG∽△EBG，就有 = ，依此可發現△AEG∽△FBG，從而就有∠GAE=∠GFB=∠AFG，所以EF平分∠AFB.

命題反思

（一）重視教材，關注學生發展

試題應對一線教學具有一定的導向作用與指導價值，引領老師們重視教材，創造性運用教材，引領老師們反思教學，樹立以發展學生核心素養為導向的教學意識，在課堂教學中關注知識的內涵，知識間的內在聯系，關注幾何圖形變化過程中的不變性，關注分類討論轉化思想的滲透.

（二）關注能力，提升素養發展

試題源自教材例題、習題，依托圖形特征，利于學生找到解決問題的切入口，學生會有似曾相識的感覺，因此可以有效激發學生的主動探究欲望，促進學生的數學思考，在思考的同時關注其能力的發展;同時試題的設計、拓展問題的設置實現了數學內容、思想、方法的高度融合、運用與考查. 試題的解決，需要學生具有邏輯推理、直觀想象、數學建模、數學抽象、數學運算等數學核心素養.

（三）恒久堅守，不斷追求卓越

數學命題過程辛苦而又孤獨，常常是獨自一人閉門而思，往往是長時間的不懈思考，為尋求好的問題經常絞盡腦汁，對身心是極大的挑戰. 這就需要恒心毅力，以高標準嚴格要求自我，突破自我，超越自我，把命題過程當作是一次愜意的旅行，不在乎目的地，在乎沿途的風景. 多年的堅守只為了不斷追求卓越，命題路漫漫，無畏路途的崎嶇，只因初心不改！