地方高校幾何學方向本科教學的探索與實踐

毛井 陳小麗

【摘要】當前地方高校的數學類專業幾何學方向開設課程種類、難易程度參差不齊，筆者根據在本科生幾何課程教學過程中的一些實踐經驗，給出了以“微分幾何”為例的幾何學課程教學和課程設置相關的建議和相對應問題的一些對策.

【關鍵詞】微分幾何;高等教育;數學教學

【基金項目】本課題的研究受到湖北大學2018年度本科生教學改革研究項目資助.

一、引 言

我國社會經濟迅速發展，高等教育也隨之高速發展，由精英式教育逐漸轉為大眾教育，接受高等教育的學生呈現井噴式增長.地方高校在本科教育上應著重培養學生知識應用和實踐能力，以適應本科生目前嚴峻的就業形勢.同時，地方高校也應著重培養研究型人才，加強專業知識的培養與引導，否則學生在研究生階段的學習中會出現幾何知識短缺、幾何觀念薄弱和幾何思想貧乏的情況.

地方高校一般在大一開設“解析幾何”，大二開設“高等幾何”，大三開設“微分幾何”，大四開設“微分流形初步”和“黎曼幾何”，但大三、大四的幾何課程一般作為選修類專業課開設，由于該類課程的復雜度和難度較高，學生通常望而卻步，因此，地方高校要基于自身培養目標和方案，明確幾何課程的教學定位.

“微分幾何”作為數學類本科學生的一門重要的專業課程，是銜接經典“內蘊幾何”和現代“微分流形”的紐帶，也是本科期間幾何課程和現代幾何課程密切聯系的橋梁，而且其以“數學分析”中微積分部分（主要是微分）為工具，探討三維空間乃至n維空間中曲線、曲面的局部與整體性質，與此同時，可將其視為“數學分析”相關知識在幾何學上的應用與探索、研究生階段“微分幾何”最基礎的課程.地方高校開設的“微分幾何”課程主要有兩個原因：一是數學類本科階段課程自身構建完整的知識體系的需要，“解析幾何”“高等幾何”將初高中簡單的幾何空間知識過渡到主要以初等數學的角度來探索三維或高維空間的曲線與曲面，“微分幾何”則是借助微分工具以微積分（主要是微分）的視角研究空間曲線和曲面;二是針對部分學生在研究生階段繼續深造學習研究微分幾何方向課程的需要，經典微分幾何主要涉及曲面的內蘊幾何，而現代幾何的基礎則是流形，“微分幾何”課程是聯系二者的樞紐.

二、現狀分析

“微分幾何”內容多、課時少，教師一般通過講授法進行演繹推理，經過大量復雜計算以及嚴謹的推理才能夠完成相關定理推論的證明與計算.因而，學生會感到生澀難懂，從而失去學習的興趣，要么退選這門課，要么在這門課中見木不見林，思考較少，無法真正理解其具體內容和方法.由此可見，地方高校在開設“微分幾何”這門課程還存在以下問題：

（一）教學內容有待優化

“微分幾何”在教學內容上和大多數數學類基礎課程一樣都出現了相對陳舊的現象，主要表現在教材不能很好地反映幾何學科的最新成果，在理論與方法上相對陳舊.

（二）傳統教學方法需要更新

“微分幾何”主要采用的“講授法”中小學乃至地方高校在本科期間主要采用的方法，講授法的主要優點是能夠較快地講授知識點，順利地將教學大綱所規定內容傳遞給學生.然而，這種單一的教學方式也存在許多問題，不僅忽略了“微分幾何”給予學生的直觀教育，而且使學生丟失了在學習中參與者的身份.

（三）應用意識尚需提高

經典的“微分幾何”不僅是微積分與線性代數的進一步應用、幾何學研究性學習的基礎，還可以廣泛地應用于生活中，比如，線面設計、曲面磨光、公路橋梁設計和機器人研究等范疇.但是在本科教學過程中，微分幾何更傾向于傳統教學，側重于理論，同時受到學校安排的課時、場地等因素的影響.在“微分幾何”的教學中，教師對培養學生應用意識和能力方面缺少主動性.學生在學習“微分幾何”時興趣不足，所學知識不夠，導致對“微分幾何”的學習變得被動.因此，在教學內容的安排和教學方法的設計上，教師也應該做出相應的改變與思考.

三、地方高校微分幾何本科教學在內容和教學方法的探索與實踐

（一）教學方法

教師在“微分幾何”課程的教學方法上，應該將講授法、演示法、自主學習法等多種教學方法有效地結合起來，因材施教，激發學生思維，讓學生將自主學習視為重點，增強學生的自學能力，使學生在學習過程中將抽象轉化為形象，激發學生的學習熱情，從而提高教學質量.在講授該課程時，教師主動聯系已有的幾何、微分知識，開展啟發式教學.采用多種教學方式最大限度地讓學生參與課堂，參與學習，在引導啟發式教學設計時，教師要遵從主體性、目標性、可行性、開放性，培養學生的動手能力與科研能力等，嘗試新穎的教學模式與方法.筆者針對以上內容提出了以下幾種具體措施：

1.適時、適當地設置小組活動的教學方式.小組合作與啟發式提問相結合，教師可以根據學生的能力和水平組織學生通過小組活動的形式完成一些教學任務，比如，在教師教授了一部分理論知識后，留下1～3個問題讓小組解決，通過小組全員講授的方式讓學生都參與進來.在課時不允許的情況下，改為以作業的形式上交教師，讓每個小組成員都有所參與.這樣的方式不僅能夠活躍學習氣氛，而且能夠〖HJ1.5mm〗使問題細分化，讓每名學生都能參與到課堂中.教師還可以采用主講和學生參與討論相結合的方式，讓學生更進一步地融入教學過程中，將單一的講授內容化解成一個個問題，讓學生思維得到鍛煉.這種方式不僅可以激發學生的學習興趣，讓學生在學習過程中獲得成就感，而且有益于教師更有效、更及時地把握學生的學習狀況，把握教學進度以及對教學的深度和難度進行及時的調整.

2.微課程教學組織模式.在新時代的教學模式下，教師可以有效地利用21世紀結合科技發展的新型教學方式，充分利用公共資源、共享資源、網絡資源，讓學生加入自主學習的行列.比如，大多數學校的超星圖書館里都有很多雙一流學科的授課視頻，教師可以讓學生提前學習，掌握一定的知識內容，有效地縮短教師在課堂上單一講授理論知識的時間，同時學生也可以吸收多種思維.這種多樣化的學習方式，既可以培養學生的自學能力，又教會了學生學習途徑.

3.在考核過程中，教師可以從單一的考核評價向多元評價過渡，把握過程評價、能力評價、目標評價相結合的綜合評價方式，向多元化評價的教學方法改進.傳統的考核方式是只記期末卷面成績，這樣就出現了學生“臨時抱佛腳”、理論知識不踏實、知識系統不連貫的情況，雖然新時期地方高校的考核方式逐漸加入了平時成績的考核，但是對平時成績的細則并沒有給出較多的方案，教師也只是單一地從平時交上的課后作業給予評價和計分，這種平時成績加上期末卷面成績的考核方式雖然改變了單一的期末考核方式，但是也并沒有對學生是否掌握知識做出一個完整的評價.因此，教師可以在建立多種教學方式后，根據學生課堂的表現、解決問題的能力、學習態度等多種角度上考核學生，不僅能夠拉近教師與學生的距離，也能夠在考核方式上體現公平性.

4.分層答疑輔導.學生學習情況存在差異，并且由于在中高階段學生出現的學習情況差異也比較明顯，因此，教師可以安排合理的時段讓助教教師為學生答疑解惑.以湖北大學為例，學校的每門課程都設有助教，助教既能減輕教師的教學負擔，留給教師足夠的時間進行科研活動，同時也可為學生答疑解惑，助教也可以通過作業的反饋，對學生進行分層答疑輔導，更好地使不同基礎的學生獲得最有效的學習效果.

（二）教學內容

在“微分幾何”課程的教學內容上，地方高校很難實現教學內容上的及時更新，在選擇教材時也很大程度上延續使用了傳統的教材，一方面，是因為我國的高等教育體系還在不斷改進和進步，另一方面，是為了大大減輕教師的負擔，使教師將注意力更多地放在教學方法的改進上.為此，結合筆者的實際教學經歷，以下的建議值得嘗試：

1.教學內容命題化.在很多學科的教學上，教師一般都存在照本宣科、生搬硬套教材的問題，沒有考慮學生對知識點的需要，一味地講解與朗讀，學生既失去了對“微分幾何”的學習興趣，又無法牢固掌握知識.因此，將教學內容命題化，結合小組活動的方式，有效地把數學定理目的化，數學問題細化，增強了學生對知識點的應用能力，讓學生真切感受到定理的證明、推論、例題間的相互關系與差異性.

2.教學內容連貫化.學科之間交叉時，學生并未感受到學科之間的聯系，這就導致學生對某一門學科的忽視，因此，教師在教學過程中要注意學科間的相互影響和聯系，在“微分幾何”課程中，有大量內容都與微分、幾何初等知識有聯系，教師應考慮在課程導入或者教學過程中簡單闡述知識之間的聯系，不僅讓學生明白學科的重要性，也感受到了數學的邏輯性.

3.教學內容深度化.教師可以根據學生的學習情況和學生自身能力做出相應的問題拓展，激發學生的學習興趣，并對后面的“微分流形”“黎曼幾何”等幾何課程做鋪墊，讓學生能夠感受到“微分幾何”課程的用處，并且對幾何學研究的現狀有相應的了解，這不僅能夠加深學生對“微分幾何”這門課程的理解和掌握，同時對“微分幾何”這門學科的發展也有重要的意義.

4.邀請學生參加“微分幾何”方向的學術講座，“微分幾何”方向的學術講座可以對本科生開放，教師邀請學生參與學術講座，初步了解“微分幾何”學科的新發現、新探索.對學生實行自愿鼓勵的方式參與，培養對“微分幾何”學科感興趣的研究性人才.這不僅讓其感受到了基礎學科的魅力，增加學生對微分幾何的興趣，也讓學生感受到微分幾何的發展.

四、總 結

微分幾何是現代數學的重要分支，是研究空間結構的探索，是探索宇宙的工具，如偉大的幾何學家陳省身大師所說：“物理就是幾何.”物理學上的一些理論和幾何學上的一些公式定理殊途同歸.因此，“微分幾何”可以說是現代自然科學研究的一門重要基礎學科，教師與學生對“微分幾何”這門課程都應嚴謹對待.在新時期，如果教師不做出相應的改變和思考，極有可能導致學生忽視“微分幾何”課程，嚴重影響國內幾何學科的發展，使得后續的幾何方向研究生教育出現一系列困難.〖WT〗

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