滲透建模思想 提升核心素養(yǎng)

【摘 要】作為解決實際問題的工具，數(shù)學(xué)建模及數(shù)學(xué)建模思想在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)中有著舉足輕重的作用。本文結(jié)合當(dāng)前中學(xué)數(shù)學(xué)師生對數(shù)學(xué)建模思想的認知和運用情況，提出了在教學(xué)中滲透建模思想的實施過程、實施案例，以期發(fā)展和提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)建模;建模思想;數(shù)學(xué)教學(xué);核心素養(yǎng)

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2020）34-0110-03

21世紀(jì)以來，隨著社會發(fā)展和教育方式的不斷完善，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，提高學(xué)生的核心素養(yǎng)這一目標(biāo)在全國中學(xué)教綱中普遍體現(xiàn)，而數(shù)學(xué)建模教學(xué)正是提高學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的一種重要方法，并得到了全國各院校的重視。筆者通過深入課堂實際教學(xué)進行研究，針對教學(xué)中建模思想滲透的現(xiàn)狀，探索出了一些高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實施方法，希望能給一線教師和相關(guān)數(shù)學(xué)教學(xué)工作人員提供一些啟示和參考。

1? ?教學(xué)中建模思想滲透的現(xiàn)狀

史寧中教授認為數(shù)學(xué)模型思想是運用數(shù)學(xué)化的語言，對現(xiàn)實世界進行描述所依賴的一種思想，是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的紐帶[1]。數(shù)學(xué)建模思想，是通過對現(xiàn)實世界中的實際問題或情境進行抽象建立數(shù)學(xué)模型，并運用數(shù)學(xué)模型解決類似問題的方法策略與意識觀念，是對數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)認識。學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想源于他們的數(shù)學(xué)實踐活動，源于活動中對數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模及其內(nèi)在必然聯(lián)系的理解與思考，親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模實踐是學(xué)生感悟與形成模型思想的最直接的載體和最有效的途徑。

當(dāng)前大部分中學(xué)生對數(shù)學(xué)建模知識的應(yīng)用延伸具有較大的興趣，對數(shù)學(xué)建模思想的應(yīng)用重要性有了一定的了解，樂意學(xué)習(xí)、掌握數(shù)學(xué)建模方法與理論，將數(shù)學(xué)知識與實際問題相聯(lián)系，探索數(shù)學(xué)知識的運用，提升解決實際問題的能力。但部分學(xué)生在遇到實際情境中的數(shù)學(xué)問題時往往不知如何處理、如何思考，不知運用什么數(shù)學(xué)知識解決，這說明學(xué)生還缺乏用數(shù)學(xué)建模思想解決實際問題的理論和實踐的訓(xùn)練。作為教師，需要進一步探討研究如何在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，并針對高中數(shù)學(xué)內(nèi)容設(shè)計出合理、可行的數(shù)學(xué)建模實施方案。

2? ?教學(xué)中建模思想滲透的實施過程

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求的數(shù)學(xué)建模活動的基本過程[2]，如圖1所示。為了更好地在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模思想，可按照如下六個環(huán)節(jié)實施課堂教學(xué)。

2.1? 創(chuàng)設(shè)問題情境，引領(lǐng)學(xué)生思考

教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認知水平、課堂教學(xué)內(nèi)容，參考教學(xué)進度，結(jié)合社會熱點、生活實際，合理設(shè)計、選取數(shù)學(xué)建模問題作為課堂知識點教學(xué)的背景，創(chuàng)設(shè)問題情境，以此激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)情境中積極主動思考。必要時，可提供相應(yīng)的知識作為儲備，通過問題的提出，引導(dǎo)學(xué)生深入思考，加深對課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容和目標(biāo)的理解。

2.2? 搭建交流平臺，達成合作共識

基于所創(chuàng)設(shè)的問題情境，引發(fā)學(xué)生對解決新問題的興趣，繼而對學(xué)生進行分組，使學(xué)生思維發(fā)生碰撞。可以先鼓勵小組成員相互討論，充分交流，相互質(zhì)疑，在質(zhì)疑、辯解中歸納、總結(jié)，形成小組內(nèi)部的共同認識;然后提倡小組間相互交流、討論，讓學(xué)生借鑒其他小組解決問題的思路，進一步完善解決問題的方案。學(xué)生在自主發(fā)現(xiàn)、合作探究、質(zhì)疑、歸納總結(jié)的過程中能得到學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的體驗。

2.3? 抽象實際問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型

在學(xué)生已有問題解決方案的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)各小組學(xué)生對問題進行簡化、假設(shè)、抽象，利用數(shù)學(xué)相關(guān)知識建立解決實際問題的數(shù)學(xué)模型。引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)研究的主題內(nèi)容更好地、更系統(tǒng)地對建立的數(shù)學(xué)模型進行對比、分析、歸納，使之更體系化，這樣學(xué)生理解掌握起來就能達到事半功倍的效果。

2.4? 理解數(shù)學(xué)知識，把握概念本質(zhì)

依托實際問題背景，對實際問題的數(shù)學(xué)模型進行分析，獲得解決問題的方法。將對問題的理解反饋到數(shù)學(xué)模型本身，梳理問題與數(shù)學(xué)模型間的對應(yīng)關(guān)系，做到數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的具體化。由問題聯(lián)系數(shù)學(xué)知識和方法，加深學(xué)生對抽象數(shù)學(xué)知識的理解、對概念本質(zhì)的把握。

2.5? 求解數(shù)學(xué)模型，反饋解釋問題

對構(gòu)建的不同數(shù)學(xué)模型，選擇合適的方法進行求解分析。對于不同的假設(shè)模型，可反復(fù)驗證分析，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合不同的模型對所分析問題出現(xiàn)的情況進行歸納，通過模型求解反饋解釋問題，進一步加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的認知和差異化理解。

2.6? 拓展延伸訓(xùn)練，提高應(yīng)用能力

以課堂教學(xué)內(nèi)容為依據(jù)，在講解的問題情境的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生思考和推廣、設(shè)計更多實際問題情境。然后根據(jù)上述過程，進行合作探究、質(zhì)疑歸納、建立模型、求解模型等，以必備知識為例，各個知識點之間不是割裂的，而是處于整體知識網(wǎng)絡(luò)之中[3]。將數(shù)學(xué)知識點以問題化、情境化，形成多樣化的問題拓展模式。開展拓展延伸訓(xùn)練，降低抽象數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)難度，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)知識點的認知和理解，增強學(xué)生的應(yīng)用意識，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。

3? ?教學(xué)中建模思想滲透的實施案例

回歸分析是對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法。在教學(xué)中，需要引導(dǎo)學(xué)生利用回歸模型研究變量之間的隨機關(guān)系，進行預(yù)測，參與數(shù)據(jù)分析全過程，并鼓勵學(xué)生使用相應(yīng)的統(tǒng)計軟件。

過程一：創(chuàng)設(shè)問題情境，引領(lǐng)學(xué)生思考。

隨著社會經(jīng)濟的快速發(fā)展，個人的飲食消費水平逐步提高。中學(xué)生每月的消費影響著他們的飲食消費水平，那么它們之間存在著怎樣的關(guān)系？如何表示這種關(guān)系？

教學(xué)中，通過提出上述問題，引導(dǎo)學(xué)生寫出自己每月的消費金額和飲食消費金額，進行數(shù)據(jù)化自主探索，尋求規(guī)律。

過程二：搭建交流平臺，達成合作共識。

在學(xué)生自主思考、合作探究的基礎(chǔ)上，讓小組成員根據(jù)寫出的數(shù)據(jù)進行分析、歸納。合作探究提綱如下：

（1）你每月消費的總金額是多少;

（2）你每月用于飲食的消費金額是多少;

（3）你每月的飲食消費金額與消費總金額之間具有怎樣的關(guān)系;

（4）如何表示出每月飲食消費金額與消費總金額之間的關(guān)系;

（5）……

過程三：抽象實際問題，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。

讓學(xué)生將本小組成員寫出的每月消費金額與飲食消費金額列舉出來，如第五小組10名學(xué)生給出的如表1所示的數(shù)據(jù)。

根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，讓學(xué)生畫出散點圖，如圖2所示。

基于圖2的直觀顯示，引導(dǎo)學(xué)生判斷消費金額與飲食消費金額的關(guān)系。不難看出，消費金額與飲食消費金額之間存在線性關(guān)系。

假設(shè)每月學(xué)生的消費金額為x，每月的飲食消費金額為y，則消費金額與飲食消費金額之間的關(guān)系為，其中、為回歸系數(shù)，為不可測量的誤差變量。

下面，針對如何求解回歸系數(shù)、，引導(dǎo)學(xué)生進行分析。

過程四：理解數(shù)學(xué)知識，把握概念本質(zhì)。

針對上述問題，以第五小組10名學(xué)生給出的數(shù)據(jù)為例，計算樣本數(shù)據(jù)數(shù)字特征，如表2所示。

根據(jù)表2的內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生計算得到如下數(shù)據(jù)：，，從而得到消費總金額與飲食消費金額的回歸直線方程為

通過圖象（見圖3）可以得出樣本點分布在回歸直線附近。

過程五：求解數(shù)學(xué)模型，反饋解釋問題。

為求解模型，反饋解釋原問題，引入MatLab統(tǒng)計工具箱中的回歸分析命令。

[b，bint，r，rint，stats]=regress（Y，X，alpha）

帶入數(shù)據(jù)，輸入MatLab代碼得，且的置信區(qū)間為[0.5084695，0.6337877]，的的置信區(qū)間為[10.19148，124.75445]，。

由可知，回歸模型=67.47297+0.5711286x成立。作殘差圖，如圖4

所示。

從圖4可知，除第六個數(shù)據(jù)外，其余數(shù)據(jù)的殘差離零點均接近，且殘差的置信區(qū)間均包含零點，這說明回歸模型=67.47297+0.5711286x擬合的效果比較好。

過程六：拓展延伸訓(xùn)練，提高應(yīng)用能力。

根據(jù)第五小組10名學(xué)生給出的數(shù)據(jù)，對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量之間的關(guān)系進行分析，引導(dǎo)學(xué)生運用Matlab程序?qū)ι鲜鰡栴}進行檢驗。教師可引導(dǎo)其他小組利用同樣的思路，確定消費金額與飲食消費金額的關(guān)系，加深對回歸分析方法的理解。類似地，可給出相似問題，引發(fā)學(xué)生思考，如身高與腿長之間的關(guān)系等。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，建模思想的滲透對學(xué)習(xí)、理解數(shù)學(xué)知識十分重要。因此，在課堂教學(xué)中，應(yīng)運用數(shù)學(xué)建模思維，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究，這對于數(shù)學(xué)知識的理解和數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)的培養(yǎng)非常重要。通過數(shù)學(xué)建模課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生能有意識地用數(shù)學(xué)語言表達現(xiàn)實世界，發(fā)現(xiàn)和提出問題，覺察到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實之間的關(guān)聯(lián);學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實際問題，積累數(shù)學(xué)實踐經(jīng)驗，加深對數(shù)學(xué)知識內(nèi)容的理解;認識到數(shù)學(xué)模型在科學(xué)、社會、工程技術(shù)諸多領(lǐng)域的作用，提升解決問題的實踐能力，增強創(chuàng)新意識和科學(xué)精神，發(fā)展和提升數(shù)學(xué)建模

素養(yǎng)。

【參考文獻】

[1]史寧中.關(guān)于高中數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].課程·教材·教法，2017（4）.

[2]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2018.

[3]教育部考試中心.中國高考評價體系說明[S].北京：人民教育出版社.2019.

【作者簡介】

宋靜（1982～），女，漢族，山東泰安人，本科，中教一級，教育碩士。研究方向：教育教學(xué)。

The Model Idea for Core Literacy： The Enlightenment of Model Teaching in High School Mathematics Classroom

Jing Song

（Taian No.1 Senior High School， Taian， Shandong， 271000）

Abstract： As a tool to solve the problems in reality， mathematical modeling and the model idea play significant roles in the cultivation of mathematics core literacy. According to the understanding of current middle school teachers and students about the mathematical model idea and its application situation， this paper puts forward that the implement process and the cases of model idea are infiltrated into teaching， in the hope of developing and promoting students mathematics core literacy.

Key words： mathematical modeling; model idea; mathematics teaching; core literacy