配方法求解一元二次方程的教學探討

林淑慧 賓紅華

摘?要：《義務教育數學課程標準（2017版）》中明確提出了六大數學核心，其中包括：數學抽象、直觀想象、運算能力、邏輯推理、數學建模、數據分析。其中運算能力指的是“能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力”，運算能力在高中數學中具有基礎性作用，我們必須重視學生的運算能力的培養，本文以“用配方法求解一元二次方程”一課教學為例，旨在滲透數學核心素養，重點培養學生的運算能力。

關鍵詞：數學核心素養;運算能力;配方法;一元二次方程

一、 數學史視角下的配方法

（一）從中國數學史看配方法

我國古代第一部數學著作《九章算術》中勾股章節的第二十題：“今有邑方不知大小，各中開門，出北門二十步有木，出南門十四步，折而西行一千七百七十五步見木，問邑方幾何。”“答曰：二百五十步”其實就是解數字二次方程的問題，該二次方程是一個正系數的一次項在二次項后面，在中國古代把這樣一次項稱為“從法”，該題相當于通過求二次方程的正根而解決的，另外，在《九章算術》的少廣章中也提出了開平方法，開平方法是專門為開整平方而建立的，所以比較難運用到求解一般的一元二次方程中，這些內容很好地體現了我國古代數學家卓越的理論創造能力，使得中國數學在理論和應用方面都取得了巨大的成就。

以現在的數學來看，從二次方程到開平方法并沒有對配方的過程進行詳細的說明和解釋，后來由于各種時代原因，明朝以后，我國數學水平低于以往朝代，許多數學家甚至看不懂先主發明的數學方法，其中就包括天元術和開平方法，試想，如果從一元二次方程到開平方法之間多一個對于“配方法”的詳細說明，如果將一元二次方程和開平方法聯系起來，就能更好的理解開平方法，也使得整個數學體系更有邏輯性和結構性。

究其根本，我國的方程思想是由盈不足術發展而來的，方程術則使得演算進一步程序化，使得我國古代籌算制度水平得到很大提升，但是我國古代的方程多是提供了一種呈現方法，是將有關信息排成行列方陣的形式，進而通過加減相消等手段解決，也就是說，我國古代的方程實際上只是多元線性方程組，還不能算是現代意義上的方程。也有學者認為，中算的代數學理論體系與西方代數學體系差異很大，在概念和方法上沒有很多共同之處。綜上所述，中國數學史上并未真正提出配方法這個概念，而直到《幾何原本》的譯文傳入中國才有了配方法這個詞。

（二）從國外數學史看配方法

在符號和代數還沒有出現的時代，人們一般是通過直觀的幾何圖形來解決一元二次方程問題的，據歷史學家考察，人類歷史上最早出現的一元二次方程是x2=A，這可以直接通過開平方法求解，其實這屬于“已知正方形的面積，求邊長的問題”，公元前兩千年左右，在古巴比倫的泥板文書中就曾出現過一元二次方程及其解法，在古埃及的紙草文書中也有對二次方程的記載，方程出現后，解決了許許多多生活中的數學問題，四大文明古國對于方程及其解法的研究都有一定的成果，方程的分類以及方程的根的問題都引發了數學家們的好勝心，促使他們潛心研究，推動了方程的發展。

配方法一詞最早出現在古希臘的數學家歐幾里得的著作《幾何原本》中，其對配方法進行了幾何意義上的定義，在幾何學的觀點下，配方ax2+bx=c其中x的二次方表示的是邊長為x的正方形的面積，bx表示邊長為b和x的矩形的面積，所以將配方法看成是對矩形的操作，也就是在一個幾何圖形中要將正方形x2和兩個長方形bx合并成一個更大的正方形，那么這個正方形還會缺一個角，所以要把以上方程的兩端都加上（b/x）2，這樣正好是欠缺的角的面積，這就是“配方法”的名稱的由來?！稁缀卧尽分袑τ谂浞椒ǖ膸缀谓忉?，很好地將幾何的原理、方法都運用到代數學中，體現了數與形的美妙結合。

公元300年左右，古希臘的丟番圖在解一元二次方程時始終知去一個正根，公元628年，在古老的印度，婆羅摩笈多在其著作《婆羅摩修正體系》中給出了一元二次方程一個根的解法，雖然他意識到負根的存在，但卻拋棄了負根和零根。

直到820年，在阿拉伯數學家阿爾·花拉子密留下傳世之作《代數學》中，他不僅求出一元二次方程的兩個根，還給出了幾何證明，這顯然是受到歐幾里得《幾何原本》中配方法的影響，他在處理二次方程的時候極其有創意，出于正系數的考慮，把二次方程均劃歸為ax2=bx+c、ax2=bx、ax2=c等形式，不僅如此，他還通過具體案例進行示范，其中對配方法的使用尤為經典，花拉子密所舉的每一個例子，都借用圖形對方程配方的過程、步驟進行說明，直觀形象，清晰明了，花拉子密所寫的《代數學》本名為《AL-aJbrW-ALMuabalab》該書名翻譯為整理和對比，整理一詞表示把負項移到方程的另一邊;對比一詞則表示把方程兩邊的同類項消除;由此可見，這本書名中就已經蘊涵著配方法的步驟，而此后代數學逐漸發展起來，數學分析逐漸嚴格化和精細化。

從方程發展過程來看，配方法仿佛是幾何學和代數學之間的紐帶，使幾何和代數相互聯系又有所區別，可以說配方法使得數學家們從幾何的思想中得到解法，進而用代數的方法解決一元二次方程，解一元二次方程的基本方法中的公式法就是由配方法推導而成的，求根公式的出現極大地簡化了一元二次方程求解問題，使得人類在方程的研究上又前進了一大步，配方法推動了代數學從文字敘述向符號代數的發展。

（三）從數學教育史看配方法

一元二次方程是數字教學的重要組成部分，它不僅綜合了以前所學的多方面知識，同時為進一步的數學學習以及綜合運用打下了基礎，因此，在進行一元二次方程教學時，一方面要通過學習，鞏固、加深對已學習的數與公式以及運算的認識，和對已學習過的一元一次方程及其解法的認識，同時要為今后學習二次函數、一元二次不等式、二次曲線等數學知識打好基礎，發揮其承前啟后的重要作用，一元二次方程的解法教學是本章節的教學重點，配方法是推導公式的一般工具，配方法的產生有利于人們對一元二次方程的理解，配方法除了推導一元二次方程的求根公式以外，在學習其他數學內容時也有廣泛的應用。

教師要引導學生發現利用配方法求解一元二次方程具有什么特征，什么時候該用配方法，什么條件下利用配方法最為簡便，配方法是對數學公式的一種變形，具有定向性，是一個從繁到簡的過程，要通過配方法找到未知項和已知項之間的某種聯系，合理運用“拆”“添”“配”“湊”等技巧完成配方。

二、 配方法的教學價值

《義務教育數學課程標準（2017版）》中第三學段（7～9年級）的教學內容，數與代數模塊明確提出：能根據具體問題中的數量關系列出方程，體會方程是刻畫現實世界數量關系的有效模型，經歷估計方程解的過程理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程，會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根和兩個實根是否相等，了解一元二次方程的根與系數的關系等教學內容，可見，一元二次方程以及解一元二次方程的方法在初中數學教學中具有舉足輕重的地位，方程是各種科學技術研究中最重要的一種數學思想方法，不僅是一元一次方程知識的深化和延伸，而且為后期學習二次函數打下堅實的基礎，“能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程”這點教學內容是從數學課程標準就提出并一直延續使用的內容要求。

在一元二次方程該章節的教學中，重點內容的解一元二次方程的具體解法和解一元二次方程的基本思路，求解一元二次方程有四種基本方法分別是：直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法，本章節的教學，一般先通過一些能夠直接開平方的簡單的一元二次方程，引導學生認識一元二次方程以及直接平方法，其次，引入較為復雜的一元二次方程，將其與已經變為完全平方式的一元二次方程進行對比分析，是學生掌握配方法的基本原理并能夠利用配方法求解一元二次方程，接著，在學習了配方法的基礎上，利用配方法推導一元二次方程的求根公式，從而得到公式法，最后，討論因式分解法及其應用。

方程的教育目標在于培養廣泛的方程意識，所謂的方程意識是指在一些看起來與方程毫無關系的實際問題中，能夠主動地運用所學的方程知識去解決現實中的實際問題，這是一種行為主動性，更是數學應用意識，方程觀的培養是一個長久的過程，不僅僅只是本章節的教學目標，其實在中學階段的數學中，確定性的求解問題都能夠利用方程去解決。

配方法在整個初中數學教育體系中具有重要的作用，配方法是為求解一元二次方程而引入的一種方法，并廣泛應用在解決一元二次方程問題中，在后期學習二次函數是也經常用到，配方法作為最核心、最基礎的解一元二次方程的方法，不僅是解一元二次方程的通用方法而且可操作性很強。配方法是一種很重要的數學變形，它可以改變原有代數式的結構，它不像直接開平方法對一元二次方程的公式有著較高要求，也不像十字相乘法要求各項有特定的系數，公式法也是由配方法推導衍生而成的，可以說，公式法的實質其實是配方法，相比于公式法，配方法更具有數學的韻味。配方法的運用最為廣泛，它常常還運用到代數式的化簡求值以及恒等變形中。配方法是普適的，在后期二次方程求解和二次方程研究中，會多次用到，對后期學習是一種很好的鋪墊。

三、 具體教學策略探討

（一）立足基礎知識，構建知識體系

初中數學的教學首先要立足于數學的基礎知識，在深度解析教材的前提下，可以對教材內容加以適當的拓展，教師不僅要把握教學內容的基礎性，而且要注重加強數學知識結構的教學，教學中舊知與新知相結合，引導學生將數學知識結構進行主觀改造成數學的認知結構，從而學會在生活中運用數學知識去解決實際問題。

問題1：我們已經學習過估算法求一元二次方程的近似解，那如何精確的求解呢？大家還記得完全平方公式嗎？誰能上臺寫一寫[形如a2+2ab+b2的叫作完全平方式，且a2+2ab+b2=（a±b）2]。

問題2：在下列各題的橫線上填上適當的數，使等式成立。

設置兩個問題復習之前已經學到過的完全平方公式，因為配方法正是建立在開平方法的基礎之上的，要建立新知識與舊知識間的聯系，依據同化理論，以此作為增長點而促進新知識的學習，能夠使學生更容易理解配方法的概念，在原有的知識基礎之上，構建整體內容的知識體系

（二）培養學生合作探究、自主探究能力

在教學過程中要引導學生之間進行合作和交流，多給學生討論和自主思考的時間，引導學生進行探究活動。

如何對以下兩個方程進行求解，這兩個方程有什么不同？請學生在小組內進行討論，并歸納出配方法解一元二次方程的一般步驟。

設置兩個不同的方程式求解問題，利用思維沖突激發學生繼續學習的興趣，促使其進行思考。由學生進行自主思考，解決一元二次方程，并通過小組討論，對配方法的一般解題步驟進行歸納，在此過程中教師可以利用簡潔的提示詞進行板書，如：“一移、二化、三配、四開”等，在將各種不同形式的公式和方程通過去分母、兩邊乘方、降次等數學方法轉化為一元二次方程來解的過程中，可以使學生受到一種事物可以轉化為另一種事物的辯證唯物主義教育，鍛煉學生的思維能力，增強學生的運算能力，利用移項，對一元二次方程進行轉化，突出體現了滲透轉化劃歸的數學思想，讓學生帶著問題進行討論，解決其中的疑難問題要學生討論共同完成，培養學生的合作意識。

（三）注重過程教學，滲透思想方法

新課標明確提出了學生要通過學習，要獲得必需的基本數學知識、基本數學技能、基本數學思想、基本數學活動經驗，教師在教學過程中要注意滲透數學思想方法，培養數學核心素養，教師要在深度解析教材的情況下挖掘其中所蘊含的核心素養，對教材進行細致分析，將教材的作用和功能充分發揮出來。

運用所總結出來的步驟解方程：3x2-6x+4=0

該方程求解，通過一移、二化、三配之后，所得方程右邊為負數，無法通過直接開平方求解，教師追問：等式兩邊在任何時候都直接開平方根嗎？請學生進行小組討論，由小組代表進行發言。

強調：必須判斷b2-4ac是否大于等于零，只有當b2-4ac大于等于零時該方程有解，兩邊可以直接開平方求解，否則，該方程無解。

師生共同總結配方法的思路：當一元二次方程的二次項系數為1時，在方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方，方程的左邊配成一個完全平方式，再用平方根進行求解的過程，我們把這種解法叫作配方法。

設置特殊的方程式，引導學生探索利用配方法求解一元二次方程的條件，過程中要注意強調直接開平方法成立的條件，讓學生體會數學的嚴謹性。此外，配方法可以體現出數學的對稱美，在將一般的一元二次方程配方成完全平方公式的過程中，數學的對稱美思想體現得淋漓盡致。

（四）實際應用中感悟數學價值

首先，結合生活中的實際問題，引導學生利用一元二次方程求最值的方法去解決，學生通過數學的角度去思考生活中的實際問題，能夠培養學生的數學思維，并且感受到數學的實際應用價值，基于學生的實際生活情景設置數學問題，將數學與生活緊密聯系。其次，運算能力的培養要讓學生重視運算的最初定向，學生要能夠分析題目中所蘊含的顯性以及隱形的條件，在把握好題目總體結構特征的前提下，確定運算的方向，要能夠考慮全面，并且學會運用特殊方法加以解決或證明。最后，幫助學生理解配方法的本質，加強算理，進一步提升數學推理運算能力，利用配方法解一元二次方程這節課是培養學生數學運算能力的很好的契機，解一元二次方程的方法很多，配方法能更加便捷地解決問題從而有效提高解題效率，在教學時，要加強引導，讓學生能夠將數學運算技能轉化為運算技巧。

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作者簡介：

林淑慧，賓紅華，福建省廈門市，集美大學。