初中數學圖形等面積拼接問題的教學探究

【摘要】本文論述初中數學圖形等面積拼接問題的教學方法，建議教師在教學中做好該問題題型的研究，做好相關例題的選擇與講解，讓學生掌握圖形等面積拼接的方法與技巧，提高學生解決該類問題的能力，提升其數學素養。

【關鍵詞】初中數學 圖形 等面積拼接問題 教學探究

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2020）05A-0098-02

為解決圖形等面積拼接問題，學生需要對相關圖形的構成元素有深刻的認識，具備良好的平面、空間圖形想象能力。教師應做好經驗總結，把握教學重難點，積極采取有效的教學措施，不斷提高學生學習的積極性與主動性，使其掌握各類圖形等面積拼接問題的解題思路，進而真正地攻克該類問題。

一、結合例題做好拼接引導

初中數學圖形等面積拼接問題靈活性較強，為避免挫傷學生的學習積極性，增強學生的自信心，教師在教學中應注重結合具體例題，做好拼接引導，使學生親身感受拼接思路，給其留下深刻印象，指導其更好地解決類似的問題。一方面，教師應從整體上對初中數學涉及的圖形等面積拼接問題進行總結，結合學生所學內容以及實際情況，借助多媒體技術展示相關的例題，并動態化地呈現拼接的過程，使學生感受拼接前后圖形形狀與位置的變化。另一方面，教師應圍繞例題與學生積極互動，營造活潑的課堂氛圍，鼓勵學生尋找圖形拼接的新思路，鍛煉學生思維的靈活性。此外，教師還要根據學生在聽課中的表現，及時給予表揚與肯定，提高其拼接學習的體驗。

教學中教師可借助多媒體課件為學生講解以下例題：如圖1所示，用8塊A形瓷磚（白色四邊形）和8塊B型瓷磚（黑色三角形），不重疊，無縫隙拼接成一個正方形圖案，則圖案中A型瓷磚的總面積和B型瓷磚的總面積之比為（ ?）.

該題目較為新穎，主要考查了圖形的拼接和正方形的性質。在解答這道題時，充分理解題意、合理地作輔助線是順利解題的關鍵。為使學生快速找到該題型的解題思路，教師要引導學生通過作輔助線尋找突破口，接著重點講解解題過程，使學生充分感受具體的解題思路。如圖1所示，分別作DC⊥EF于C，DK⊥FH于K，連接DF.考慮到四邊形DCFK是正方形，則滿足∠CDM=∠MDF=∠FDN=∠NDK，因此，∠CDK=∠DKF=90°，DK=FK，DF=[2]DK.此時使用面積法不難證明角平分線的性質定理，得出S△DFN/S△DNK=FN/NK=DF/DK=[2]，所以，SA型/SB型=2S△DFN/2S△DNK=[2]，即圖案中A型瓷磚的總面積和B型瓷磚的總面積之比為[2][∶]1，正確選項為A。通過該類題目的講解，學生認識到認真審題、通過作輔助線找到圖形之間的內在聯系是解答該類題型的重要思路。

二、注重實踐激發拼接興趣

在初中數學圖形等面積拼接教學中，為給學生留下深刻的印象，激發其拼接興趣，教師應圍繞所學知識積極開展相關的實踐活動，在豐富教學內容的同時，避免學生在學習中產生枯燥感。一方面，結合學生拼接知識掌握情況，布置相關的圖形拼接實踐任務，為學生詳細闡述實踐的任務和要求，而后將班級學生分成若干小組，以小組為單位開展實踐任務。為保證實踐任務的順利完成，教師鼓勵小組成員之間相互協作，積極動腦，不斷地進行嘗試。另一方面，為激發學生參與拼接活動的積極性，增強其團隊意識以及榮譽感，根據各小組圖形拼接任務完成情況，選出優勝的小組，給予表揚，并將其完成的作品在班級宣傳欄予以展示，使他們品嘗到圖形等面積拼接的成就感。

教學中為激發學生的拼接興趣，教師可以給學生布置如下實踐習題：將正方形紙片以適當的方式折疊一次，沿折痕剪開后得到兩塊小紙片，用這兩塊小紙片拼接成一個新的多邊形（不重疊、無縫隙），動手操作看能否使用這兩塊小紙片拼接成如下圖形：（1）等腰直角三角形;（2）對角互補的四邊形;（3）五邊形;（4）六邊形。

在課堂上給學生留足動手操作的時間，并將班級學生分成四個小組進行實踐、驗證;各小組學生積極動腦思考、動手裁剪、拼接。正方形被剪的情況可分為三種：等腰直角三角形、梯形、全等梯形。經過各小組的拼接嘗試，最終得出如下結論：如將正方形剪成兩個等腰直角三角形，則可將其拼接成一個等腰直角三角形;若將正方形剪成兩個梯形可拼接成對角互補的四邊形;若將正方形剪成兩個全等的梯形，則可以拼成五邊形或六邊形。這樣教學，通過在課堂上開展上述拼接實踐活動，使得課堂氛圍被激活，學生積極動腦、動手，大大降低了學生學習的枯燥感，加深了學生對圖形拼接的認識與理解，圓滿地完成了實踐任務，收獲了預期的實踐效果。

三、加強訓練積累拼接技巧

在圖形等面積拼接教學中，為了使學生掌握相關的拼接技巧，遇到相關問題能夠少走彎路，及時找到拼接的最佳途徑，教師應加強訓練，讓學生在訓練中不斷地出錯，然后思考出錯的原因并改正，進而逐漸掌握圖形等面積拼接技巧。一方面，制訂明確的圖形等面積拼接教學目標，合理安排訓練課時，積極組織學生開展專項訓練活動。為保證訓練質量，教師要做好每一道訓練習題的篩選，規定好訓練時間，要求學生獨立思考，冷靜分析，充分利用生活經驗以及所學知識進行解答。另一方面，針對訓練中難度較大的習題，教師應注重通過設計相關問題，在課堂上與學生積極互動，給其帶來解題方法的啟發，使其能夠盡快找到解題突破口。同時，教師還要注意走下講臺，了解學生習題完成情況，及時給予針對性的指導，提高其訓練體驗。

為使學生掌握圖形等體積拼接的技巧，教學中可給學生出示如下訓練題：將一個邊長為a的正方形紙片剪掉兩個長方形，得到一個“S”圖案[如圖2（2）]，再將剪下的兩個長方形拼成一個新的長方形[如圖2（2）]，則新的長方形的周長為（ ?）.

A.4a-8b ? B.2a-3b ? C.2a-4b ? D.4a-10b

題目看似難度較大，無從下手。學生在解答該題時應保持良好的心態，不要被題干中的描述所迷惑，而應找到拼接前后變與不變的量，從整體上進行分析。要求解新的長方形的周長，需要分別求出其長和寬，根據周長=（長+寬）×2，即可得出最終的結果。觀察圖2（2）中的上、下兩條邊和剪去長方形長之間的關系，可知剪去的小長方形的長=a-b.從整體上認真觀察圖2（2）的左邊和右邊，可知新長方形的寬=a-3b，則其周長=2（2a-4b）=4a-8b.正確選項為A.通過該題目的訓練使學生認識到解答該類問題時應牢牢把握圖形拼接前后面積不發生變化，而其長和寬可能發生變化。而后認真分析，找到拼接前后參數之間的關系，從而快速解答。

四、歸納總結提升拼接水平

為提高學生圖形等面積拼接水平，除了做好教學工作，還應鼓勵學生做好拼接總結，匯總圖形等面積拼接題型以及在拼接解題時的不足，積極采取針對性措施，彌補知識薄弱點。一方面，鼓勵學生做好經典習題的摘抄，做好習題的深入剖析，積極開展“好題重做”活動，真正做到會一題而會一類題，提高解題效率。同時，做好錯題的總結，認真分析錯誤原因，是習題難度較大還是思路未打開，并在習題下詳細地寫出正確的解題過程，掌握拼接的關鍵。另一方面，完成圖形等面積總結后，還要在課堂上預留一些時間，鼓勵學生積極交流，相互分享拼接經驗與技巧，明確一些題型中拼接的注意事項，避免在解題時陷入出題人的陷阱，更好地實現拼接水平的提升。

教學中教師發現學生解答如下題目時出錯率較高，于是要求學生認真分析，找到錯誤所在，及時糾正，并總結解題技巧，避免遇到類似題目再次出錯：如圖3所示，正方形ABCD的邊長為2，然后將正方形ABCD分割成如圖中的四塊。其中點O為正方形的中心，點E、F分別是AB、AD的中點，用這四塊紙片拼成一個與正方形不全等的四邊形MNPQ（要求不重疊，無縫隙），則四邊形MNPQ的邊長是 ? ?。

該題目題干并不難理解，但要想正確作答并非易事。筆者在教學中發現，很多學生在解答過程中容易考慮不全而出錯。教師通過鼓勵學生積極思考、討論，并給予引導，最終得出拼接后的圖形有四種情況（如下圖所示）：

其中圖4（1）為等腰梯形，對照圖3中各邊情況可知其上底長為3，下底長5，兩腰長為[2].圖4（2）為平行四邊形，長邊長為4，短邊長為[2].圖4（3）為長方形，對應的長和寬分別為4和1.圖4（4）為直角梯形，上、下底長分別為1、3，兩條腰長分別為2[2]和2.通過對該題目的分析使學生認識到解答該類習題時，為保證結果的正確性，應冷靜分析，充分考慮每一種可能的情況，并通過繪制草圖輔助分析。

綜上所述，在初中數學教學中，學生能否順利解決圖形等面積拼接問題，一定程度上關系著其數學學習成績的提高，因此教師應提高認識，結合自身的教學經驗，做好相關教學策略的研究，既要結合例題做好拼接教學引導，又要注重結合實踐激發學生的拼接興趣。同時，還應做好習題的篩選，做好拼接訓練，使學生積累各種拼接技巧。另外，鼓勵學生做好學習總結，借鑒他人的成功經驗，彌補自身的不足，不斷提升拼接水平。

作者簡介：馬德林（1974— ），廣西賀州人，大學本科學歷，高級教師，長期從事中學數學教育教學研究。

（責編 林 劍）