探究概念本質(zhì)，促進(jìn)概念生成

糜蘇英

[摘? 要] 對(duì)概念的教學(xué)，要挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，讓學(xué)生理解并領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵，促進(jìn)知識(shí)生成. 在觀察、動(dòng)手實(shí)踐、思考中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)拋物線概念具有深刻感知與認(rèn)識(shí)，在先得到一個(gè)片面結(jié)論后，再通過直觀對(duì)比方法，來獲得全面的觀點(diǎn). 教師在課堂上若以概念直接呈現(xiàn)方式，忽視概念的解析與生成，則學(xué)生易對(duì)概念一知半解，在面對(duì)一些數(shù)學(xué)題型時(shí)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不能只重結(jié)果而輕過程.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);概念;概念本質(zhì);概念生成

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)成數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要部分，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)的細(xì)胞. 對(duì)概念的教學(xué)，要挖掘數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，讓學(xué)生理解并領(lǐng)會(huì)概念的內(nèi)涵，促進(jìn)知識(shí)生成. 本文以“拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程”為例，通過探究拋物線的概念，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng).

概念的導(dǎo)入與生成

在概念教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體實(shí)例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步應(yīng)用中逐步理解概念的本質(zhì). 在引出拋物線概念之前，我們?cè)谡n堂上先展示拱橋、望遠(yuǎn)鏡、凹面鏡等實(shí)物圖片，讓學(xué)生聯(lián)系上生活，感受到拋物線的實(shí)際應(yīng)用. 然后結(jié)合探照燈的結(jié)構(gòu)分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到拋物線的聚焦點(diǎn)是特殊的. 在認(rèn)識(shí)了拋物線的基本特征后，再導(dǎo)出本節(jié)課所要學(xué)的拋物線概念，通過數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，發(fā)展學(xué)生的致用意識(shí).

前面我們學(xué)過二次函數(shù)，以及其圖像的特點(diǎn)，對(duì)于拋物線，也是二次函數(shù)中的一種. 現(xiàn)著重從拋物線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程入手，來討論其函數(shù)圖像的變化特點(diǎn). 我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓、雙曲線的方程，兩者都有動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)的關(guān)系. 對(duì)于拋物線，如何定義？在討論之前，請(qǐng)同學(xué)們先分析函數(shù)y=x2的圖像. 我們可以在直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖像，然后設(shè)定某定點(diǎn)F（0，1），動(dòng)點(diǎn)M（x，y），求拋物線上任意一點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離，以及動(dòng)點(diǎn)M到直線y=-1的距離d，兩者有何關(guān)系？通過學(xué)生動(dòng)手繪圖分析，測量特殊點(diǎn)的距離關(guān)系，得到點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離，與點(diǎn)M到直線y=-1的距離，兩者是相等的.

這一設(shè)計(jì)意圖，意在讓學(xué)生從坐標(biāo)系中分析二次函數(shù)的圖像與拋物線之間的關(guān)系，學(xué)生在測量后產(chǎn)生認(rèn)知沖突. 分析二次函數(shù)的圖像，引出拋物線的概念，再對(duì)比探照燈的圓弧特征，讓學(xué)生感受到聚焦點(diǎn)是拋物線的特殊點(diǎn). 根據(jù)學(xué)生的判定，我們提出問題：針對(duì)拋物線上的點(diǎn)，與定點(diǎn)的距離，以及到定直線的距離，兩者是相等的. 這一特例的猜測，對(duì)于其他情況能否成立？為此，有學(xué)生認(rèn)為，在平面內(nèi)，到定點(diǎn)F與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡，就是拋物線. 對(duì)于這個(gè)說法正確嗎？我們可以從拋物線上的任意一點(diǎn)，來分析其是否滿足上述條件. 比如可以通過幾何畫板，來驗(yàn)證該學(xué)生的觀點(diǎn). 事實(shí)上，通過對(duì)定點(diǎn)F、定直線不同情況的分析，我們可以得出拋物線的定義：在平面內(nèi)，到定點(diǎn)F與定直線（不經(jīng)過定點(diǎn)F）的距離相等的點(diǎn)的軌跡就是拋物線. 在觀察、動(dòng)手實(shí)踐、思考中，促進(jìn)學(xué)生對(duì)拋物線概念具有深刻感知與認(rèn)識(shí)，在先得到一個(gè)片面結(jié)論后，再通過直觀對(duì)比方法，來獲得全面的觀點(diǎn). 通過這個(gè)過程，學(xué)生對(duì)拋物線概念的理解會(huì)更加準(zhǔn)確.

對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程的探究

概念教學(xué)中必須認(rèn)識(shí)到，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)思維的起點(diǎn)，是建立數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ). 在探究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程之前，我們來思考，求曲線方程的一般方法和步驟. 解析幾何，通常需要運(yùn)用代數(shù)方法，來解決幾何問題. 在曲線方程歸納過程中，一般需要建系設(shè)點(diǎn)、提煉等量關(guān)系、代入化簡等步驟. 根據(jù)前面所學(xué)習(xí)的拋物線概念，我們可以假設(shè)，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為常數(shù)p，滿足p>0，求拋物線的方程. 有學(xué)生認(rèn)為，可以將焦點(diǎn)F作為原點(diǎn)，將拋物線的對(duì)稱軸作為坐標(biāo)軸來設(shè)定坐標(biāo)系;有學(xué)生認(rèn)為，可以將焦點(diǎn)F向直線引垂線，垂足為k，以k為原點(diǎn)設(shè)定坐標(biāo)系;有學(xué)生認(rèn)為，可以通過焦點(diǎn)F向直線作垂線，垂足為K，以FK的中點(diǎn)為原點(diǎn)設(shè)定坐標(biāo)系. 對(duì)照三位學(xué)生的不同建系方法，哪個(gè)更恰當(dāng)或者更好呢？對(duì)于建立平面直角坐標(biāo)系，方法很多，而要比較最佳的建系方法，需要考慮哪些條件或因素？有學(xué)生結(jié)合二次函數(shù)的圖像特點(diǎn)，認(rèn)為可以將拋物線的對(duì)稱軸作為坐標(biāo)系，且滿足頂點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，方程會(huì)更簡潔. 比較拋物線方程的形式，從不同的建系方法中，選擇最恰當(dāng)?shù)? 利用對(duì)二次函數(shù)圖像的對(duì)比與分析，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到拋物線的對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所得到的方程解析式最簡潔.

根據(jù)上述建系要求，我們可以得到拋物線的方程為y2=2px（p>0）. 請(qǐng)同學(xué)們思考，在學(xué)習(xí)橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，針對(duì)坐標(biāo)系不同時(shí)，所得到的標(biāo)準(zhǔn)方程也有不同的形式. 與此類比，對(duì)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，都有哪些不同形式？有學(xué)生認(rèn)為，根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程y2=2px（p>0），可以從拋物線的開口方向分為四種情況，如開口向上、開口向下、開口向左、開口向右. 既然可以得到四種不同情況，則分別列出其他三種情況的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 有學(xué)生認(rèn)為，開口向左，拋物線方程為y2=-2px（p>0）;開口向下，拋物線方程為x2=-2py（p>0）;開口向上，拋物線方程為x2=2py（p>0）. 如何來分析開口不同時(shí)，對(duì)應(yīng)的拋物線方程表達(dá)形式的變化？有學(xué)生從前面所學(xué)的知識(shí)入手，對(duì)于開口向左的拋物線方程，應(yīng)該與開口向右的拋物線方程關(guān)于y軸對(duì)稱;同樣，對(duì)于開口向下的拋物線方程與開口向上的拋物線方程關(guān)于x軸對(duì)稱. 由圖形的對(duì)稱性，來得到四種開口方向不同的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的表示形式. 當(dāng)然，對(duì)于不同標(biāo)準(zhǔn)方程的表示形式，我們也可以設(shè)定順口溜“一次項(xiàng)定軸，正負(fù)看開口”. 針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p，有何幾何意義？在四種不同方程形式中，意義是否一樣？有學(xué)生提出，對(duì)于p的幾何意義，主要是拋物線的焦點(diǎn)，到準(zhǔn)線的距離，不同形式的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中，p的幾何意義是一致的.

學(xué)生對(duì)概念的學(xué)習(xí)常常需要自己的觀察、感知、體驗(yàn)、抽象和概括. 在探究拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的開口方向與表示形式對(duì)應(yīng)關(guān)系上，應(yīng)該注意這一點(diǎn)然后去突破教學(xué)難點(diǎn)，我們通過抓住拋物線的對(duì)稱軸，聯(lián)系平面直角坐標(biāo)系的幾何特征，來指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)開口方向來得出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

教學(xué)反思與總結(jié)

學(xué)習(xí)了拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，我們通過隨堂練習(xí)，來檢測學(xué)生的掌握情況. 某題中，在直角坐標(biāo)系中，到點(diǎn)（1，1）與直線x+3y=3距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？可以選擇“直線”“拋物線”“圓”“雙曲線”. 很多學(xué)生都會(huì)選擇“拋物線”. 事實(shí)上，該題“暗藏玄機(jī)”，很多學(xué)生不假思索，掉入陷阱. 再如這題：求拋物線方程y=2x2的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.在求解過程中，很多學(xué)生得出的焦點(diǎn)坐標(biāo)為準(zhǔn)線方程為y=-，或者x=-. 反思學(xué)生之所以做錯(cuò)的原因，是否與課堂教學(xué)中，對(duì)拋物線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程的講解不透徹有關(guān)？在進(jìn)行師生交流后發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生對(duì)拋物線概念理解不準(zhǔn)確.教師在課堂上，若以概念直接呈現(xiàn)方式，忽視概念的解析與生成，學(xué)生易對(duì)概念一知半解，在面對(duì)一些數(shù)學(xué)題型時(shí)，導(dǎo)致解題錯(cuò)誤. 因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，不能只重結(jié)果而輕過程. 在提出拋物線概念與探究拋物線的本質(zhì)的過程中，我們主張“回到定義”，帶領(lǐng)學(xué)生探析概念的生成過程，抓住拋物線概念的基本知識(shí)，特別是在探究概念的本質(zhì)特性中，應(yīng)該如何厘清概念的內(nèi)涵與外延，揭示概念的本質(zhì).

對(duì)照之前所學(xué)的二次函數(shù)的圖像特點(diǎn)，以此來類比分析拋物線概念及標(biāo)準(zhǔn)方程，兩者有何關(guān)聯(lián)？從函數(shù)視角來分析拋物線，著重將解析式作為教學(xué)內(nèi)容，體現(xiàn)從代數(shù)視角來分析圖像的變化，并從圖像的特點(diǎn)來探究拋物線解析式的表示形式. 進(jìn)入高中數(shù)學(xué)，以解析幾何視角來探究拋物線及標(biāo)準(zhǔn)方程，需要先觀察圖像，再分析解析式，將“形”作為因，索求與“數(shù)”對(duì)應(yīng)的果. 顯然，在拋物線方程討論中，y=ax2（a≠0）可以看作是二次函數(shù)解析式，也可以看作是拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程. 在求解切線方程問題時(shí)，可以利用導(dǎo)數(shù)工具來計(jì)算，還可以將直線方程與拋物線方程進(jìn)行聯(lián)立，利用Δ=0來求解. 從本質(zhì)上看，對(duì)于曲線與方程，函數(shù)解析式與函數(shù)圖像，兩者具有一致性. 以y=x2為例，既讓學(xué)生認(rèn)識(shí)了二次函數(shù)解析式的求解方法，又從中實(shí)現(xiàn)與拋物線知識(shí)的有效銜接，促進(jìn)了知識(shí)的連貫性，為發(fā)展學(xué)生邏輯推理素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ).