轉(zhuǎn)化思想在“最短路徑問(wèn)題”教學(xué)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用

周宇劍 唐耀平 袁娟

摘要：轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中非常重要的思想，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)適時(shí)滲透轉(zhuǎn)化思想。文章以“最短路徑問(wèn)題”為例，讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為已知的、可以解決的問(wèn)題進(jìn)行解決的過(guò)程。在培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的同時(shí)，讓學(xué)生體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到在生活中遇到困難時(shí)不要輕易退縮，盡量將其轉(zhuǎn)化為熟悉的、容易解決的問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)化思想；教學(xué)設(shè)計(jì)；問(wèn)題解決

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》把基本思想作為“四基”之一，說(shuō)明義務(wù)教育階段對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的滲透是重要且必須的。匈牙利著名數(shù)學(xué)家路沙·彼得（Rozar Peter）在《無(wú)窮的玩藝》中寫(xiě)道：數(shù)學(xué)往往不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行正面攻擊，而是不斷對(duì)它進(jìn)行變形，直到把它轉(zhuǎn)化成能夠解決的問(wèn)題。轉(zhuǎn)化思想在日常生活中經(jīng)常被用到，本文以在“最短路徑問(wèn)題”的教學(xué)設(shè)計(jì)中應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想為例進(jìn)行論述。

一、教材分析

“最短路徑問(wèn)題”是人教版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)》八年級(jí)上冊(cè)第十三章“軸對(duì)稱(chēng)”第四節(jié)的內(nèi)容，本節(jié)課的主要內(nèi)容是利用軸對(duì)稱(chēng)研究某些最短路徑問(wèn)題，在此之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱(chēng)的概念和性質(zhì)，以及“兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”等簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題。本節(jié)課的教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為已知的、可以解決的問(wèn)題進(jìn)行解決，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

二、學(xué)情分析

八年級(jí)學(xué)生思維活躍，善于表現(xiàn)，喜歡交流。對(duì)新鮮事物好奇心強(qiáng)，學(xué)習(xí)興趣濃厚，具有較強(qiáng)的探究欲望。學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱(chēng)的概念及性質(zhì)，且了解“兩點(diǎn)之間線段最短”等簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題，有自主探究得出結(jié)論的能力。學(xué)生利用數(shù)學(xué)思想方法的意識(shí)比較薄弱，大多依賴(lài)教師的點(diǎn)撥。

三、教學(xué)目標(biāo)

（1）能將實(shí)際問(wèn)題中的地點(diǎn)、河流抽象為數(shù)學(xué)中的點(diǎn)和線，使實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化；掌握利用軸對(duì)稱(chēng)知識(shí)解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題的方法；能夠利用“兩點(diǎn)之間線段最短”驗(yàn)證得到的最短距離。

（2）經(jīng)歷探索發(fā)現(xiàn)的過(guò)程，養(yǎng)成探究、歸納、分析的思維習(xí)慣；經(jīng)歷利用“兩點(diǎn)之間線段最短”驗(yàn)證最短距離的過(guò)程，體會(huì)證明的必要性，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力并初步培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力；經(jīng)歷多次轉(zhuǎn)化后解決問(wèn)題的思考方式，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的思想方法。

（3）初步學(xué)會(huì)在具體情境中，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力。

（4）通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，結(jié)合實(shí)際生活問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、操作、交流和反思，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)是解決實(shí)際問(wèn)題和進(jìn)行交流的重要工具，了解數(shù)學(xué)對(duì)促進(jìn)社會(huì)進(jìn)步和發(fā)展人類(lèi)理性精神的積極作用；通過(guò)觀察、比較、總結(jié)、應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動(dòng)，感受數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)探索性和創(chuàng)造性，體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和轉(zhuǎn)化的快樂(lè)，提高應(yīng)用意識(shí)；在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，通過(guò)小組合作，積極參與對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的討論，敢于發(fā)表自己的觀點(diǎn)，尊重并理解他人的見(jiàn)解，在交流中獲益。

四、教學(xué)過(guò)程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

有一位牧馬人在帶馬喝水的時(shí)候遇到了一個(gè)問(wèn)題，我們一起來(lái)看看能不能幫幫他呢。如圖1，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆直的河邊讓馬喝水，然后去往B地。牧馬人到河邊的什么地方讓馬喝水，可以使所走的路徑最短？

【設(shè)計(jì)意圖】從飲馬的生活情境出發(fā)，提出問(wèn)題，觸發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的好奇心和求知欲，為后面學(xué)習(xí)新知識(shí)創(chuàng)造良好的開(kāi)端。

2.合作交流，探索新知

（1）探究。

探究1：飲馬問(wèn)題是一個(gè)生活中的實(shí)際問(wèn)題，我們?cè)撛趺醋觯?/p>

探究2：如圖2，引導(dǎo)學(xué)生把河邊l近似看成一條直線，地點(diǎn)A，B看成兩個(gè)點(diǎn)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題：C為直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在直線l的什么位置時(shí)，線段AC與CB的和最小？

【設(shè)計(jì)意圖】學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要目的就是應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)分析問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。既能幫助學(xué)生樹(shù)立模型意識(shí)，又能讓學(xué)生體會(huì)轉(zhuǎn)化思想。

探究3：如圖3，如果點(diǎn)A，B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線l上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之和最短？

解決方案：如圖4，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”的基本事實(shí)，連接AB，交直線l于點(diǎn)C，點(diǎn)C即為所求的點(diǎn)。

【設(shè)計(jì)意圖】雖然已經(jīng)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了數(shù)學(xué)問(wèn)題，但是學(xué)生仍然不容易根據(jù)已有經(jīng)驗(yàn)找到直線上到直線同側(cè)兩固定點(diǎn)的距離和最小的點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生先考慮確定直線上到直線異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)的距離和最小的點(diǎn)，再一次體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想。

探究4：如圖5，點(diǎn)A，B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，如何在直線l上找到點(diǎn)C，使這個(gè)點(diǎn)C到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離和最短？

在解決了尋找直線上到直線異側(cè)固定點(diǎn)的距離和最小的點(diǎn)的問(wèn)題后，思考將同側(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題：能否在直線l的另一側(cè)找到一點(diǎn)B′，使在直線l上的任意一點(diǎn)C，都滿(mǎn)足CB=CB′，此時(shí)點(diǎn)C到點(diǎn)A和點(diǎn)B的距離和最短問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)C到點(diǎn)A和點(diǎn)B′的距離和最短的問(wèn)題。有沒(méi)有符合這種想法的點(diǎn)B′呢？有的話，要怎樣找到它？

思考并交流：如圖6，利用軸對(duì)稱(chēng)的知識(shí)找到點(diǎn)B′，點(diǎn)B′即為點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，此時(shí)，取直線l上的任意一點(diǎn)C，都滿(mǎn)足CB=CB′。

此時(shí)，問(wèn)題順利轉(zhuǎn)化為如何在直線l上找到一個(gè)點(diǎn)，使這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)B′的距離和最短。

教師留給學(xué)生充足的思考時(shí)間，學(xué)生以小組為單位進(jìn)行交流討論，并推選代表匯報(bào)、展示作法。

作法：如圖7，①作點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)B′；②連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為所求。

探究5：點(diǎn)D是使AD + BD的和最小的點(diǎn)嗎？

分析：要證明點(diǎn)D即為所求，只需要在直線l上任找一個(gè)不與點(diǎn)D重合的點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可以證明。

如圖8，在直線l上取不與點(diǎn)D重合的任意點(diǎn)C，可知AD+BD=AD+DB′=AB′

（2）課堂升華。

這節(jié)課我們解決了牧馬人飲馬的問(wèn)題。首先，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題；其次，將尋找直線上到直線同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)的距離和最小的點(diǎn)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為尋找直線上到直線異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)的距離和最小的點(diǎn)的問(wèn)題；最后，由解決異側(cè)問(wèn)題時(shí)獲得的啟示，解決同側(cè)問(wèn)題。期間多次用到轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的思想。我們?cè)谏钪杏龅嚼щy不要輕易退縮，要想一想能否轉(zhuǎn)化成我們熟悉的、容易解決的問(wèn)題。

【設(shè)計(jì)意圖】在學(xué)生會(huì)解決直線異側(cè)兩點(diǎn)和的距離的問(wèn)題后，引導(dǎo)學(xué)生將同側(cè)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為異側(cè)問(wèn)題進(jìn)行解決，進(jìn)而解決課前引入的實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生在日常生活中也要注意運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解決問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的廣泛性，感受數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂(lè)趣和實(shí)用性。

本教學(xué)設(shè)計(jì)從實(shí)際問(wèn)題出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷將實(shí)際問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在分析過(guò)程中將問(wèn)題轉(zhuǎn)化、分解，化繁為簡(jiǎn)，讓學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方法和思路，有利于提高學(xué)生思維的靈活性和廣闊性。

在實(shí)際教學(xué)中，教師不僅要教會(huì)學(xué)生知識(shí)技能，更重要的是要教會(huì)學(xué)生思考，教給學(xué)生解決問(wèn)題的思想和方法。轉(zhuǎn)化思想就像架在新知和舊知之間的一座橋梁，能夠幫助學(xué)生有效解決未知問(wèn)題。教師要引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立轉(zhuǎn)化意識(shí)，讓學(xué)生在遇到數(shù)學(xué)問(wèn)題甚至生活中的問(wèn)題時(shí)，能夠想到對(duì)問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問(wèn)題。

基金項(xiàng)目：2019年湖南省普通高校教學(xué)改革研究項(xiàng)目——專(zhuān)業(yè)認(rèn)證背景下師范生培養(yǎng)模式構(gòu)建與實(shí)踐（湘教通[2019]291號(hào)No.854）；

2016年湖南省教改項(xiàng)目——地方應(yīng)用型本科院校卓越中學(xué)數(shù)學(xué)教師培養(yǎng)的研究與實(shí)踐（湘教通[2016]400號(hào)No.719）；

2018年湖南科技學(xué)院應(yīng)用特色學(xué)科項(xiàng)目資助——數(shù)學(xué)、教育學(xué)（湘科院校發(fā)[2018]83號(hào)）。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.