數學思想在高中數學教學中的應用

張麗霞

【摘 要】 學生在學習數學知識之后往往難以解決相關的數學問題，數學思想教學在一定程度上可以消除學生的這一學習負擔，因而，本文針對高中數學常用的四大數學思想展開相關的教學探討。

【關鍵詞】 數學思想;高中數學;教學;應用

數學思想在高中數學中占據著重要的地位，數學思想可以幫助學生將學習過的數學知識有機地聯系起來，并尋找到問題的有效解答方法。學生要能夠很好地運用這些數學思想，就需要有扎實的數學知識基礎，因而數學思想的教學多建立在綜合數學學習的基礎上。就四大數學思想在高中數學教學中的應用，本文結合教學實例分別進行闡述。

一、數形結合思想

高中數學知識中很多都貫穿著數形結合這一數學思想，因而數形結合思想的教學是相當重要的。顧名思義，數形結合思想是將抽象的代數式和生動直觀的幾何圖形結合起來，利用幾何圖形充分揭示和分析代數式的意義，從而通過兩者之間的內在聯系，尋找到相關的解題思路。教師要能讓學生熟練運用這一數學思想，需要采取一些教學手段，讓學生能夠掌握相關知識的概念、運算的幾何意義以及常見曲線的代數特征，這樣學生才能借助數軸、函數圖像、單位圖等這些幾何工具，遵循一定的數量關系理解和解決相關代數運算問題。

例如，方程sin2x=sinx在區間（0，2π）解的個數為（）A.1個;B.2個;C.3個;D.4個。這一數學題目顯然有兩種解決方法，一種是利用代數的方法sin2x=2sinxcosx=sinx，即sinx=0或者cosx=，得出相關三角函數特殊點的解答;還有一種方法是利用數形結合的思想，將這一方程問題歸結為兩個函數圖像的交點問題，在同一坐標系內作出函數f（x）=sin2x，x∈（0，2π）以及g（x）=sinx，x∈（0，2π）的圖像，從圖像可知有三個交點，故選項為C。很顯然，這一數學題目的點比較特殊，能通過解方程的方式解答出來，若遇到非特殊點的時候，就不得不考慮利用數形結合思想快速尋找問題的解決途徑。

二、分類討論思想

分類討論思想要求學生全面地考慮問題，從問題的整體出發，根據對象的研究性質分不同的情況進行相關的問題討論。這一數學思想對學生的邏輯思維能力有一定的要求，需要學生在熟練掌握數學知識的基礎上有一定的分類學習技巧。比如：已知實數a≠0，函數f（x）=，若f（1-a）=f（1+a），求a的值。這一問題主要分析a是大于0還是小于0，那么1-a和1+a的取值范圍就知道了。解析：當a>0時，1-a<1，1+a>1，則有2（1-a）+a=-（1+a）+2a，解得a=，與a>0矛盾舍去;當a<0時，1-a>1，1+a<1，則有-（1-a）+2a=2（1+a）+a，解得a=，所以a的值為。

三、函數與方程思想

函數與方程思想是借助函數這一工具建立相關的函數模型解決具體問題。函數與方程思想主要用于解決實際問題，要求學生善于挖掘題目中隱含的數學條件，構造出相應的函數解析式，根據題目給出的取值范圍得出具體的數學答案，這一數學思想在高中數學中也一直是考查的重點。比如：建造一個容積為8 m3、深為2 m的長方體無蓋水池，如果池底和池壁的造價分別為每平方米120元和80元，那么水池的最低造價為多少？這就是典型的利用函數與方程思想建構造價的函數模型，根據題目中的已知條件，求出函數的最小值。解析：設長為x m，則寬為 m，f（x）=4×120+80×4x+80×≥1760，所以f（x）min=1760，即最低造價為1760元。

四、轉化與化歸思想

高中數學題目多數不是常規思路能夠解決的問題，需要利用轉化與化歸思想，將未解決的問題轉化為能夠解決的問題或者歸結為具有確定解決方案和程序的問題，從而最終尋找到問題的解決途徑。比如：在數列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+（2-λ）2n（n∈N*），其中λ>0，求數列{an}的通項公式。這一數學例題如果用常規的通項公式思路較難解決，答題者也很容易陷入困境之中，這就需要打破常規思維的局限，利用特殊與一般的轉化思想，從特殊中歸納出數列{an}的通項公式。解題：a2=2λ+λ2+（2-λ）×2=λ2+22;a3=λ（λ2+22）+λ3+（2-λ）×22=2λ3+23;a4=λ（2λ3+23）+λ4+（2-λ）×23=3λ4+24……由此猜想數列{an}的通項公式為an=（n-1）λn+2n，n∈N*。下面用數學歸納法證明（當n=1時，a1=2，等式成立。假設當n=k（k≥2且k∈N*時等式成立，即ak=（k-1）λk+2k，那么ak+1=λak+λk+1+（2-λ）2k=λ（k-1）λk+λ2k+λk+1+2k+1-λ2k=[（k-1）+1]λk+1+2k+1，等式也成立。由此可知，an=（n-1）λn+2n對任意n∈N*都成立。這一例題也充分表明轉化與化歸思想的巧妙性，學生如果能夠運用好這一數學思想，就能解決很多的數學難題。

數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想以及轉化與化歸思想是高中數學常用的四大數學思想，教師在教學中需要結合數學知識的特點有機地融入數學思想教學，幫助學生拓寬數學學習思維。

【參考文獻】

[1]劉桂玲.數形結合思想方法在高中數學教學中的應用分析[J].中國校外教育，2015（13）：106-106.