直觀想象素養下的立體幾何教學實踐研究

【摘要】直觀想象素養是2017版《普通高中數學課程標準》中提出的六大核心素養之一，是當前數學教育教學研究的熱點。本文以人教版教材中《直線與平面垂直的判定（一）》的教學設計為載體，在直觀想象素養的培養與教學實踐之間架設橋梁，探究在教學實踐中深入挖掘學生在探究知識發生發展過程以及學生認知數學知識的心理特點和思維規律，從而實現學生直觀想象素養的落地生根。

【關鍵詞】直觀想象? ?立體幾何? ?教學設計

新課標指出：直觀想象是指借助幾何直觀和空間想象感知事物的形態與變化，利用空間形式特別是圖形，理解和解決數學問題的素養。它含有兩個關鍵詞：“幾何直觀”和“空間想象”。“幾何直觀”是指利用圖形對問題進行描述與分析;“空間想象”是指通過直接感知周圍環境，學習得到二維平面和三維空間圖形及其性質的理解。

一、基于直觀想象素養下的立體幾何教學實踐探究

學生直觀想象素養的形成，主要是依托幾何圖形，進行數學化的思考和想象，從而解決數學問題。課堂是落實學生直觀想象素養的主陣地，而教學設計是落實核心素養的載體。下面以《直線與平面垂直的判定（一）》教學設計為例，談談“直觀想象素養下的立體幾何教學實踐研究”。

（一）復習舊知，啟迪新知

問題1.1：怎樣判定平面與平面平行？

問題1.2：直線和平面有幾種位置關系？

設計意圖：

問題1.1的設計，為新課中“無限”轉化為“有限”的證明，引導學生能類比聯想到“線不在多，兩條相交就行”。此問不單能溫故且能啟迪新知。

問題1.2的設計主要是承上啟下引出新課題。

建構主義認為：在新舊知識的聯系點上復習舊知識并引導學生進行思考、聯想、分析，逐步進入新知識的學習，使學生感受到新知識就是舊知識的引申和拓展。在這里，教師有意引導學生去借助頭腦中已有的數學圖形和解決問題的方法，也讓學生能發揮幾何想象形成新的知識。

（二）創設情境，直觀感知

問題2.1：我們一般如何判斷某位同學上課是否“坐得直”？

問題2.2：請同學們觀察學校升旗臺的旗桿與地面、港珠澳大橋的橋柱與水面是哪種位置關系？你能舉出一些類似的例子嗎？

心理學研究表明：第一印象的作用最強。那么，教師要結合本節課內容和本班學情來設計問題，以最快的速度吸引學生的注意力到課堂學習。如問題2.1：這種從學生自身找情境素材，“感同身受”會更感親切，情感投入也會更強烈，同時也是借機進行學習習慣與學習態度的德育滲透。為了提供更加豐富的線面垂直的情境，創設了2.2問題，積累各種直觀感知線面垂直的素材。這也是直觀想象素養形成的過程的最基礎模型：現實生活模型，為線面垂直的學習勾勒出基本的數學表象。

（三）觀察歸納，形成概念

線面垂直的定義（定義和圖形略）學習具有一定的抽象性，從現實生活模型到將線面垂直的數學表象進行數學化的表達，是教學的難點;教師需要引導學生觀察：左手把筆垂直放于桌面上而右手在桌面隨意移動另一只筆，觀察感知兩筆位置關系。通過師生互動、反饋糾正提煉線面垂直的定義，培養學生準確使用數學語言、從幾何直觀到抽象的數學化的良好學習習慣與表達能力。

（四）概念辨析與小結

判斷下列問題的對錯。若錯的話，你能通過反例來操作確認嗎？

1.一條直線與平面內的無數多條直線垂直，則這條直線與平面垂直。（? ? ?）

2.如果一條直線垂直一個平面，那么這條直線就垂直于這個平面內的任一直線。（? ? ?）

通過概念辨析，引導學生從課本的字里行間挖掘概念定義的內涵和外延，從中體會數學語言的精準，感悟轉化的數學思想，培養學生思維的嚴密性。本節課設置了2個問題，辨析“任意一條”與“無限多條”直線的區別，更突出定義中的“任意一條”這個核心詞語的重要性，比起老師告訴學生它的重要性，還不如讓學生數學直觀想象下“碰壁”，印象更深刻。

小結：1.由線線垂直→線面垂直;

2.由線面垂直→線線垂直（證明線線垂直的重要方法）。

如a⊥α? ? b?α

適時的引導學生小結，有助于學生掌握概念的本質屬性。使學生清晰明確，線線垂直與線面垂直可以相互轉化。

（五）探究活動：直觀感知→合理猜想→操作確認→合情推理歸納判定定理

若用定義判定線面垂直的話，需在平面的任意一條（無限條）判斷與直線垂直，顯然這過于繁瑣且難操作。簡潔是數學之美，引導學生思考是否有易于操作的方法來判定線面垂直？

1.直觀感知、合理猜想

問題4.1：打開的書直立于桌面，觀察書脊與桌面位置關系，書脊與書跟桌面的兩條交線又都是什么位置關系，你是否對判定線面垂直有些合理的猜想呢？

問題4.2：由平面與平面平行的判定方法，類比線面垂直判定，有何猜想呢？

設計意圖：在定義中的無限條的垂直的操作困難，引導學生思考可否轉化為有限條垂直即可。設置問題引導學生觀察事物進行直觀感知后作出合理猜想或者利用已有知識結構和的方法進行類比，然后再去操作確認或證明，培養學生轉化能力和體會合情推理在解決數學問題中的作用。這也是由數學表象進階到數學想象的過程。想象后的頓悟，是創新能力的源泉。

2.操作確認

課本P65（題略）探究：隨著折痕AD的變動，觀察幾何結構的穩定性

問題5.1：折痕AD與桌面垂直嗎？

問題5.2：如何翻折才能使折痕AD與桌面所在的平面垂直？

引導學生觀察實物進行直觀感知→合理猜想→動手操作確認→應用合情推理歸納出直線與平面垂直的判定方法。通過折三角形的探究性問題的設計，觀察D點在BC邊移動的過程當中，AD與BC出現兩種位置關系：垂直與不垂直關系。引導學生得出初步結論：當AD與BD、DC都垂直時，AD垂直于平面。從而確認直線與平面的判定的方法。這種使數學問題置于現實背境下，通過學生直覺感知、猜想、動手操作確認，使學生經歷完整的探究過程獲得直線與平面的判定方法，提高了學生動手操作能力和幾何直觀想象力，從而使直觀想象素養的培養真正地在教學課堂中落地。

3.合情推理，引導歸納判定定理

問題6：通過上面的探究，同學們能歸納直線與平面垂直的判定方法嗎？學生完成，即使語言不太規范也要有“靜待花開”的耐心，教師及時糾正即可。

文字語言描述：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

通過直觀感知、操作確認，引導學生歸納直線與平面垂直的判定方法，培養學生用規范的數學語言表達數學問題，這在立體幾何的教學中尤為重要。

（六）直線與平面垂直的判定定理的辨析與簡單應用

例1：判斷對錯，若錯的話找到反例圖形確認。

（1）兩條平行直線中，若其中一條直線與平面垂直，則另一條也與平面垂直。（? ? ? ?）

（2）若直線垂直于一個平面α的兩條直線，則這條直線垂直于平面α。（? ? ? ?）

例2? 如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，

求證 平面BC1⊥A1B1CD

變式（備用）：在例2的正方體中，若在A1D中有一個動點E.

證明? BC1⊥B1E

設計中的例1（1）繼續讓學生遵循“直觀感知——操作確認”判斷其正確性;（2）幫助學生理解透判定線面垂直的關鍵核心詞“相交直線”，培養學生分類解決問題的思辨能力。

例2 借助經典幾何體“正方體”設計題型，使學生初步感受自己剛才探究結論的應用，找到“學有所用”的樂趣。變式題（備用）是在例2基礎上進行拓展，培養學生由線線垂直→線面垂直→線線垂直的推理與轉化的能力。由于B1E是動直線，給學生造成一定的心理壓力，同時也激發學生進一步探究的動力。根據學生的認知特點與水平，對例題適當的挖掘，可以提升學生的直觀想象素養。

（七）學習目標達成檢測

選用的是課本P67練習1：已知：在三棱錐V-ABC中，VA=VC，AB=BC.求證：VB⊥AC;

加深學生對線面垂直以及定義的理解，培養學生由線線垂直→線面垂直→線線垂直的推理與轉化的能力。同時檢查學生答題的規范。但需要做輔助線，估計部分學困生有一定的困難，教師適當的引導：在等腰三角形條件下要產生線線垂直，能進行哪些合理猜想？引導學生對圖形直觀與經驗直觀相結合所產生的想象。

（八）課堂小結（略）

二、基于直觀想象素養下的立體幾何初步的教學實踐的思考

1.構建以問題為導向，實現直觀想象素養在課堂教學實踐中落地生根。

構建以問題為導向，以層層遞進的方式，引導學生主動探索數學知識發生、發展的過程。讓學生在探索過程經歷直觀想象的幾個階段：以現實生活模型提出問題，這是直觀現象的起點→觀察現實生活模型形成數學表象，是直觀想象的原型直觀階段→由基于原型直觀形成的數學表象，借助數學直感，展開數學想象，這是表象直觀階段→歸納總結形成新的數學表象。在整個探究過程中，能讓學生置身于思考問題與解決問題、幾何直觀與空間想象交替的動態過程中，真正實現了在教學實踐中培養學生直觀想象素養。

2.培養學生三種數學語言的轉化能力，提升學生直觀想象素養。

在立體幾何的教學中，符號語言、文字語言、圖形語言三種語言轉換能力在邏輯推理證明中的重要性是不言而喻的。教師積極引導學生閱讀教材上經過千錘百煉的最規范、最簡潔、最高度概括的[數學語言[④] ，既可以鍛煉學生的數學語感，對使用準確的數學語言規范答題很有幫助，同時在閱讀教材中讓幾何直觀與空間想象在學生頭腦中交替出現，共生并存，提升學生直觀想象素養。

3.引導學生實現“有邏輯的思考”，培養學生直觀想象素養

在立體幾何的教學中，要符合學生的認知水平，引導學生通過觀察進行合理猜想、類比、聯想來促進學生的思維活動、發現問題，并利用轉化、平面化等數學思想思考問題、解決問題。引導學生實現“有邏輯的思考”，培養學生直觀想象素養。

克萊因說過：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上，數學的直觀就是對概念、證明的直接把握”。可見直觀對學習數學的重要性。在立體幾何的教學實踐中，善于利用學生身邊的情境和幾何圖形，引導學生學會觀察、分析，加強借助直觀想象進行歸納并概括同類實物的特征與共性，在學生親身經歷整個直觀到抽象的思維過程中，讓學生的直觀想象素養在教學實踐中能得到不斷的提升。

【參考文獻】

[1]《普通高中數學課程標準》人民教育出版社2017版、P6.

[2]吳寶立《現代基礎教育研究》2018年第31卷的“觀想象素養的內涵與結構探究”.

[3]章建躍《數學通報》2017年第12期“核心素養統領下的立體幾何教材變革”、P1-P3.

[4]蔡少霞《師道》2019年第340期“探究普通學校高中生數學語言能力轉化的培養策略 ”、P152.

[5]姚永祥《中學數學參考—理科版》2017年第08期“基于提升直觀想象素養的數學教學實踐與思考”.