新高考如何減少解析幾何運算量

黃祥輝

摘要：解析幾何是用代數的方法研究幾何問題的一門數學學科，因此在解析幾何的運算中，代數運算是不可避免的，若使用方法不當，往往會使解題過程繁瑣冗長，以至很難得出正確的答案。因此，如果利用幾何、定義、點差、三角代換……等方法即可簡化運算。

關鍵詞：新高考? 解析幾何? 運算量? 解題方法

解析幾何是借助坐標系，運用代數方法來研究幾何圖形關系與性質的一門學科，體現了數形結合的思想。數離不開運算，若運算方法、運算順序等不當，會陡增計算量，導致半途而廢。每年高考中因此失分的也不少，在解題中，盡量減少運算則成為迅速、準確地解題的關鍵。那么在新高考中如何正確地選擇方法，減少解析幾何題的運算呢？對此本文作一探討。

一、幾何法

有關圓的弦長問題用幾何法比用代數法運算量小，幾何法就是利用半弦、半徑、弦心距之間的勾股關系來解決問題。

例1、（ 2018·全國Ⅰ卷，文15） 直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A、B兩點，則|AB|=________.

解析：根據題意，圓的方程可化為x2+（y+1）2=4，所以圓的圓心為（0，-1），且半徑是2，

直線方程化為一般式x-y+1=0，根據點到直線的距離公式可以求得 ，

結合圓中的特殊三角形，可知 .

評注：該題考查的是有關直線被圓截得的弦長問題，在解題的過程中，熟練應用圓中的特殊三角形：半弦長、弦心距和圓的半徑構成的直角三角形，借助于勾股定理求得結果.

二、定義法

圓錐曲線定義反映了曲線的本質屬性，是圓錐曲線幾何性質的“根”與“源”，活用定義，能避免繁瑣計算。

例2、設動圓C與兩圓C1：（x+ ）2+y2=4，C2：（x- ）2+y2=4中的一個內切，另一個外切，求動圓圓心C的軌跡方程.

評注：應用定義求解圓錐曲線問題，其優勢在于可避免繁瑣的代數處理過程，給人以簡捷、明快之感。定義法是解析幾何中最樸素、最基本的數學思想方法。

三、點差法

點差法是一種常用的模式化解題方法，這種方法對于解決有關斜率，中點弦等問題有較好的解題效能。

評注：點差法通過“設點”、“作差”兩個步驟，就產生了弦的中點和弦所在直線的斜率，巧妙地避免了解方程組求交點的復雜運算，使問題輕松地獲解。與常規法相比，其優越性顯而易見。所以在遇到與中點弦有關的問題時應該考慮使用這種方法。

四、三角代換法

利用三角函數的性質將曲線問題轉化成三角問題。此法往往能化繁為簡，變難為易，從而得到簡捷合理的解題途徑。

例4、已知點P在橢圓C： +y2=1上，點Q在直線C2：x+y-4=0上，求|PQ|的最小值及此時P的直角坐標.

解析： 由題意，可設點P的直角坐標為（ cos α，sin α）.

評注：本題為雙動點問題，用平面幾何知識將雙動點問題轉化為單動點問題：求圓錐曲線上動點到直線的距離的最小值。而最值問題借用三角工具往往運算量較小。

五、橫截距法

在直線與圓錐曲線的位置關系中，設直線方程為x=my+b（斜率不為零時），可以避免分類討論，有時還可以降冪。

例5、（2017·全國Ⅲ卷，理20（1））已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.證明：坐標原點O在圓M上;

評注：此題若設直線的點斜式方程不僅要討論斜率是否存在，而且消元后所得一元二次方程各項系數都較繁。以上設成“橫截距式”既便于消元，又十分簡捷。

六、曲線系法

解析幾何中的某些曲線相交問題，圓錐曲線共漸近線、共焦點問題，可以借助曲線系實施突破，利用曲線系方程簡捷獲解?？梢员苊馇笄€的交點及分類討論，從而減少計算。

評注：根據題設條件恰當選取曲線系方程，運用待定系數法求曲線方程，可使有關問題簡捷獲解。

七、設而不求法

在某些解析幾何問題中，靈活把握曲線方程的特點，利用韋達定理，采用設而不求、整體代入、整體運算等方法，?？梢院喕\算過程，提高解題速度，并從中感到整體思維的和諧美。此法在解析幾何解題中最常用。

例7、（2018·全國Ⅰ卷，理19（2））設橢圓 的右焦點為 ，過 的直線 與 交于 兩點，點 的坐標為 。設 為坐標原點，證明： 。

評注：本題用參數設置了A、B兩點的坐標，但在解題中沒有也不必要去求這些參數，而是根據它們應該滿足的題設條件剖析出所需要的結果。故設而不求在解題中只讓這些參數體現其橋梁和紐帶作用。

解析幾何問題的解決，要盡可能運用適當的方法，避免太過繁雜的計算。減少計算量的方法還有很多，并且不同題目也會有不同的方法，只要在平時的練習中多實踐、多總結，在新高考中肯定能夠以簡馭繁，事半功倍，使解題構筑在較高的思維層面上。