如何通過知識學習實現數學核心素養的培養

【摘?要】《普通高中課程方案和語文等學科課程標準（2017年版）》的頒布，昭示指向發展學生核心素養的教育全面啟動。如何摒棄單純的知識教學觀而轉向素養教學觀？或者說如何通過知識教學來發展學生的核心素養？這個問題需要教師直面和應對。文章從目標精準、體驗過程、建構知識、滲透文化四個層面，分別闡述教師如何通過知識教學來定位素養、滋生素養、塑造素養、孕育素養。

【關鍵詞】知識學習;核心素養;教育理念;培養策略

【作者簡介】喻平，南京師范大學課程與教學研究所所長，教授，博士生導師，全國數學教育研究會副理事長。

長期以來，有些數學教師固守知識傳遞的教學理念，遵循把學生作為知識旁觀者的思維邏輯。諸如“我告訴你這個東西是什么，你的任務就是理解它，會用它解決數學問題”等意念，在許多教師頭腦中根深蒂固。

其實，這種教育認識論從實質教育理論產生之后就深入人心了。工業革命之后，科學技術的發展給人類的生活方式帶來了天翻地覆的變化，使人們產生了對知識的膜拜心態，“知識就是力量”成為共識。之后，隨著信息化時代的到來，人們又逐步認識到只重知識結果形態的學習培養出來的人難以滿足社會的需求，一個人在學校里學到的知識可能很難維持其從業一生的需求，因為知識爆炸式的增長縮短了知識實用性的使用時間。因此，“學會”的教育觀不能再主宰教育的導向，這里應當有“會學”的因素介入，或者更徹底地說，“學會”應當讓位于“會學”。而“會學”就是指人的素養，于是素養教育的出現不可避免。

事實上，《普通高中課程方案和語文等學科課程標準（2017年版）》的頒布，昭示指向發展學生核心素養的教育全面啟動。這種課程、教學、學習、評價發生的變革，無疑會給中小學教師帶來巨大的沖擊，教育理念不能說是要脫胎換骨，但也必須洗心革面。課程改革撲面而來，面臨的一個實在問題是，如何摒棄單純的知識教學觀而轉向素養教學觀？或者說如何通過知識教學來發展學生的核心素養？這個問題需要教師直面和應對。

數學核心素養包括數學抽象、邏輯推理、數學建模、直觀想象、數學運算、數據分析，這些核心素養其實也是數學關鍵能力。下文談到的幾個方面，是關于如何通過知識教學來實現培養學生核心素養的基本策略。

一、目標精準：定位素養

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《數學課程標準》）頒布之后，許多教師產生了一個困惑：教學目標應當如何確定？甚至有的教師說自己不會備課了。新的課程標準沒有了三維目標的提法，教師編寫教案似乎失去了一種可以操作的指南。

教學目標從“雙基”到三維目標再到核心素養的轉變，既是觀念上的變革也是技術上的革新，教師不應當把教學的重心放到學生對知識的了解、理解、掌握等關鍵詞上，而應當思考如何通過知識的學習達到數學核心素養的發展。這樣的思考就會涉及知識深層的東西而非知識表層的外殼。

教學目標分為單元目標和課時目標，單元目標是針對單元教學設計擬定的教學目標，課時目標指每一堂課的具體教學目標。無論是單元教學設計還是每一堂課的教案設計，在設定教學目標時，教師都要圍繞培養學生的數學核心素養來思考。教學目標必須突出數學核心素養，這是一個基本的原則。具體地說，教學目標的設定應遵循如下幾個要點。

第一，明確本單元或課時要培養學生哪些具體的數學關鍵能力。一般說來，一個單元或者一堂課的內容不可能只涉及單一的數學關鍵能力，往往會涉及多個關鍵能力。但是，這些關鍵能力必然有主次之分，不能以并列的形式出現。主要培養什么能力？次要培養什么能力？

第二，明確關鍵能力應當達到的水平。依據《數學課程標準》將數學核心素養分為三級水平，確定本單元或本節課核心素養應當達到的水平。

第三，品格與價值觀要貫穿整個教學過程。

【案例】高中必修課程主題二：函數[1]

1.單元目標分析

這個主題的內容包括函數的概念與性質，冪函數、指數函數、對數函數，三角函數，函數應用。

分析這些內容，我們可以看到：①在初中用變量之間的依賴關系描述函數的基礎上，用集合語言和對應關系刻畫函數，從集合到對應再到函數，這是一個數學抽象的過程。函數的單調性、奇偶性可以用概念形成方式引入，這是數學抽象的過程，同時，函數的性質可用圖象表征，建立數與形的對應關系，這需要直觀想象。②冪函數概念可以用特殊到一般的方式獲得，這是數學抽象過程;指數函數與對數函數是在指數概念和對數概念基礎上的一般化處理，是數學抽象過程;冪函數、指數函數與對數函數都涉及運算，因此與數學運算直接相關。③三角函數概念是在用銳角三角函數刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓而獲得的，再利用幾何直觀和代數運算的方法研究三角函數的周期性、奇偶性、對稱性、單調性、最大值和最小值等性質，涉及數學抽象和直觀想象。三角恒等式的證明，利用三角函數構建數學模型，解決實際問題，涉及數學運算和數學建模。④函數應用包括二分法與方程近似解、函數與數學模型，涉及的核心素養是數學建模。⑤在整個單元的學習中，邏輯推理貫穿始終。

這一單元涉及的數學文化元素主要有：①數學歷史，包括函數發展史和對數發展史。②數學思想方法，包括化歸思想方法、數形結合思想方法、歸納與演繹方法。③數學美，包括簡單美和對稱美。④數學應用，包括以函數為工具建立數學模型，解決科學問題和現實生活中的問題。

通過上述分析，我們可以確定本單元的教學目標。

（1）通過對知識形成的體驗和對知識結果的理解，培養學生的數學關鍵能力：①數學抽象、直觀想象;②數學建模、數學運算;③邏輯推理。

（2）通過提出問題和解決問題的過程，使學生的數學抽象與數學建模達到三級水平;直觀想象、數學運算與邏輯推理達到二級水平。

（3）通過挖掘數學文化，使學生理解數學思想方法，崇尚科學精神，體悟數學之美，領略數學的應用價值。

2.課時目標分析：以冪函數為例

冪函數的內容包括：冪函數的概念、性質、圖象及應用。

設置的教學目標：（1）通過概念形成方式抽象出冪函數概念，培養學生的數學抽象和邏輯推理能力;通過冪函數圖象理解其性質，培養學生的直觀想象能力。（2）數學抽象、邏輯推理和直觀想象均達到二級水平。（3）通過知識的學習，使學生領會特殊到一般思想、數形結合思想。

下面是教學過程的簡單設計。

① 給出一組實例，讓學生觀察它們的共同屬性。

② 由學生討論、概括、歸納出冪函數的定義。

③ 討論函數的定義域。

④ 作出上述函數的圖象，并觀察它們的特征和規律，從中概括出冪函數的性質。

⑤ 舉例。

⑥ 練習。

⑦ 小結。

這個設計具有以下特征。

第一，用概念形成的方式引入冪函數，觀察一些具體的實例，分析和概括它們的共同屬性，從而抽象生成概念，形成定義。這個過程既是數學抽象，同時又是一種歸納推理，體現數學抽象、邏輯推理的數學核心素養。

第二，體現了一種重要的數學思想方法——類思想。數學研究對象必須是類而非個別，把個別作為研究對象，是難以窮盡的，只有類思想才可能形成概念和命題。數學教學必須強調這種思想，才能彰顯數學的文化價值。

第三，這種引入方式使學生對新概念的認識會顯得自然，能體會概念產生的原因，合乎其認知規律。

如果教學目標不能準確定位到核心素養的培養上，那么設計出來的教學方案往往也只是停留在知識教學的層面，而要準確把握內容中涉及的數學核心素養，就必須對教學內容做全面、細致和深入地分析。

二、體驗過程：滋生素養

完整的教學過程包括三個階段：知識從何而來、知識是什么、知識從何而去?！爸R從何而來”指知識是怎么產生的？它產生的原因是什么？它產生的途徑是什么？它與其他知識之間有什么聯系？“知識是什么”指這個知識的本質屬性、內涵、外延蘊含了什么數學思想方法？“知識從何而去”指知識的去向，從自身的體系結構來看，它會向哪些方向發展而產生出新的知識？它在解決數學問題或現實問題中有哪些方面的應用？所謂體驗過程，就是要讓學生在整個教學活動中經歷這三個完整的階段，感知知識的來龍去脈，積累活動過程的經驗，滋生數學素養。

如果掐頭去尾，只是把目光鎖定在教學的第二個階段，那就是一種典型的知識教學。應當強調，“知道是什么”十分重要，沒有知識的積累不可能生成素養，知識是學科核心素養生成的本源[2]，因此，第二個階段的重要性不言而喻。但是，我們更應當看到，教學的第一個和第三個階段對培養學生數學核心素養具有獨特的、不可替代的功能，因為在這兩個階段的教學情境中，學生的思維空間更具開放性和發散性，它不會拘于知識確定之后被固有的思維邊界所限定。

李潤洲認為，學科知識具有三重意蘊：知識內容、知識形式與知識旨趣。知識內容是看得見的概念、命題與理論，知識形式是獲得知識內容的方法、思想與思維，而知識旨趣則是為何創生這樣的知識內容而不是那樣的知識內容的價值欲求[3]。按照這種理解，知識內容分布在教學的第二個階段，知識形式和知識旨趣主要分布在教學的第一個和第三個階段。只有將這三個階段有機串通，方能揭示知識的三重意蘊，達到培養學生核心素養的目標。

第一個階段，知識從何而來。知識的發端可能是數學知識自身生長的需要，可能是解決某個數學問題必須引入新知識的需要，可能是解決現實生產和生活中問題的需要，可能是對一類事物共性概括和抽象的結果，可能是數學家對數學的興趣或追求數學美的結果等，無論哪一種情形，都需要設計問題情境。學生從情境中抽象生成數學知識或建構數學模型，在這個過程中，學生可能會借助直觀想象抽象數學概念，還可能會體悟數學思想方法。顯然，這樣的設計必定與發展學生的核心素養密切相關。反之，如果教師把知識直接展示出來，教學只是定位在對知識的解讀上，那么前面所闡述的這些教育功能便會消失殆盡。

第二個階段，知識是什么。這個階段需要教師對知識做解讀、提供概念辨析的例證、解答學生的疑惑、演示知識應用樣例等。其實，對于“知識是什么”的理解，教師是最有心得的，在如何利用解題訓練提升學生對知識的理解和技能的發展方面更是積累了系統的經驗。不可否認，這樣做是有理論依據的，行為主義的刺激—反應理論，特別是該理論所鐘愛的學習律為“練得越多，效果越好”提供了基座。而且，強調“雙基”也的確是中國數學教育的一個優勢傳統。然而，在追求核心素養教學目標的當下，以“雙基”為終極教學目標的做法顯然有失偏頗。誠然，解題訓練確實可以培養學生的邏輯推理、數學運算等數學核心素養，但是，如果把解題訓練模式化、解題思維程序化，無休止地反復磨煉，則與發展學生的核心素養是背道而馳的。在這一階段，教學更應當突出如何引導學生探究問題解決的過程，如何啟迪學生體悟數學思想方法，如何感召學生欣賞數學美，如何協助學生建構完整的知識體系。

第三個階段，知識從何而去。一般說來，數學知識的去向主要有兩條途徑，一是沿自身的邏輯體系自然生長，即在數學自閉的體系中發展;二是應用走向，包括在其他學科中的應用和在現實生活中的應用。要強調的是，數學知識在自身邏輯體系的生長并不是一棵樹的形態，樹的生長只有縱向而無橫向，但知識的生長除了縱向還有橫向，它應當是一種網狀結構。許多教師喜歡用知識樹來描述知識結構，這是不準確的。為什么要在教學中嵌入“知識從何而去”？簡單的理由是要求學生把握知識的來龍去脈，深層的理由是為學生開拓一個發散思維的空間。因為在這個階段，教師可以采用暗示、誘導、隱喻等方式，為學生提供一些思考問題的線索，讓他們通過想象、直覺、猜想預測知識的走向，發現一些新的概念或結論，從而彰顯知識旨趣，使學生養成合情推理意識，提升數學核心素養。

還要強調的是，有時“過程”比“結果”更加重要。吳正憲老師上了一節課“復式折線統計圖”，提出的問題是：“同學們喜愛足球運動吧，足球運動中有一項重要的技術叫發點球。五（1）班和五（2）班就有一個發點球的比賽，看看哪班同學發點球的水平高。五（1）班準備從甲、乙、丙三人中推薦一人作為代表去和五（2）班比賽，你準備推薦誰參賽？”[4]這堂課的特色很鮮明，采用問題開放教學模式。問題提出之后，教師并沒有給出答案，而是讓學生自由發揮自己的想象，借助直觀想象和邏輯推理提出自己的觀點和解決問題的方法。直至課堂結束，教師也沒有給出一個標準的答案。課堂教學目標指向發展學生的思維，特別是直觀想象、數據分析和邏輯推理，打破了解決數學問題一定要得到最終答案的固定思維邏輯，留給學生發散思維的空間。顯然，這堂課所體現的就是“過程”比“結果”更有價值。

三、建構知識：塑造素養

從知識論上看，客觀主義和建構主義相互對峙。

客觀主義的基本觀點可以概括為：①知識的客觀性。知識是客觀存在的，科學研究的任務是發現這些客觀規律，不能帶有科學家自身的價值觀，發現的結果只能是對現實存在的真實寫照，不能帶有代表社會群體意識和利益的價值取向。②知識的確定性。數學知識、科學知識是人類探求自然得到的真理，不會因為時間的變化、地域的不同而改變其確定性，是放之四海而皆準的真理，是絕對真理。③知識的靜態性。知識一旦被發現，它們就變成了一種產品，一種科學家制造的產品，會被放入人類的知識寶庫中貯存起來，作為人類的文化代代傳承，教學的過程是由教師把這些知識傳遞給學生，探究、發現知識的活性成分蕩然無存，體現作為結果的知識的靜態性特征。④二元認識論。在認識信念上，二元論是一種絕對主義知識觀，認為知識依賴權威的仲裁，被分為真與假兩類;在道德信念上，二元論指一切行為都只有對與錯之分，是一種二歧性結構觀。

基于這種認識論，學習的基本形態表現為：第一，將學習看作人腦對知識的復制。人的學習過程是個體認識這些客觀事物，將客觀知識轉化為主觀知識的過程。學習的本質是通過建立客觀現實與個體頭腦的映射，將客觀知識復制到頭腦中，這種復制應當是準確無誤的。第二，學習是一種無條件的接受。經過一批人發現的知識，還要通過另一批人精心打磨最終以真理的形態表征出來。學生要學習的東西就是這些最終的結果，教師的任務就是為學生建構一個知識復制的場域，提供一種知識傳遞的情境，并且用證實的思維解讀教材，目的是要讓學生相信這些事實并接受它。顯然，這種教學邏輯封閉了學生的個人見解，扼殺了他們對知識的懷疑態度，使學習成為一種無條件的接受過程。第三，學習內容表現出“冰冷的”形態。其實，知識產生的過程充滿了發現者火熱的思考，潛藏著科學家追求真理的堅定信念和執著、艱辛的探究歷程，這些思維的精華才是最有教育價值的元素，但是它們被最終形成的“冰冷的”結果性知識掩蓋而蕩然無存。

與客觀主義不同，建構主義認為知識是發展的，是個體內在建構的，同時也是以社會和文化為中介的社會建構過程。學習者在認知、解釋、理解世界的過程中建構自己的知識，在人際互動中通過社會性的協商進行知識的社會建構。

建構主義的興起，使人們對知識、學習和教學的認知都產生了根本性的轉變。在對知識的理解方面，建構主義認為知識并不是對現實的準確表征，而只是一種解釋和假設。學習者根據自己的經驗背景，以自己的方式建構知識的理解，不存在唯一標準的理解。因而，知識不能靠灌輸、強加，要靠學生以自己的經驗、信念，在對新知識分析、檢驗和批判的基礎上實現建構。在對學習活動的理解方面，建構主義認為知識不是個體通過感覺或接受建構起來的，而是認知主體主動建構起來的，通過新舊經驗的相互作用實現。因而，學習活動不是由教師向學生傳遞知識，而是由學生自己建構知識的過程，學習者不是被動地接受信息，而是主動地建構信息的意義，同時把社會性的互動作用看作促進學習的源泉。在新的學習中，學生總是基于以往的經驗推出合乎邏輯的假設，新知識是以已有的知識經驗為生長點而生長起來的。

顯然，從上面反映出來的教學觀可以看到，在與發展學生核心素養的聯系方面，建構主義認識論與其直接相關，客觀主義認識論與其相距甚遠。

那么，什么樣的學習叫作建構性學習？簡單地說，把知識的結果直接告訴學生，學生在課堂上沒有話語權，只有無條件接受的義務，學習行為囿于被動地、機械地練習，這是接受性學習的表現形態。反之，教師做到知識形成過程與知識形成結果在教學中的相互關照，使學生能夠充分體會知識的發生、發展過程，讓他們通過探究的方式自我概括、歸納形成概念和命題，在學習共同體中有充分的發言權，能夠將懷疑、批判、證偽等思維形式融入學習，這是建構性學習的表現形態。舉一個更簡單的比喻，給學生一堆積木，讓學生模仿教師的操作搭建房子，是接受學習;讓學生根據自己的想法搭建房子，是建構學習。前者搭建的房子是千人一面，后者搭建的房子往往是形式多樣，這就是“接受”與“建構”的差異。

四、滲透文化：孕育素養

數學既是科學又是一種文化。就廣義的文化分類而言，任何科學都屬于文化的一部分。數學在推動科學技術和社會發展的同時，也為人類的思想寶庫留下了珍貴的遺產。事實上，數學作為一種文化，是單純把數學理解為科學的拓展。數學文化包括數學知識、數學思想方法、數學精神、數學信念、數學價值觀和數學審美。

如果說問題是數學的心臟，那么思想方法則是數學的靈魂。數學思想方法如同血液一樣流淌在數學這個活體中，支撐著數學理論的生成和發展。數學知識的產生、數學問題的解決、數學理論的應用都會受到思想的誘導和方法的制約。數學價值觀指人們對數學價值的認同。如果教師能夠將科學價值觀和人文價值觀融于一體的數學價值觀貫通到教學過程，就能使學生潛移默化地感悟從而形成全面的數學價值取向。數學精神指數學家對科學真理追求的堅定不移信念、為探求真理而不畏艱難的意志品格。數學精神是莊重的、嚴肅的、令人景仰的，貫穿數學歷史的長河。數學美的實質從兩個方面表現出來：理性精神和結構美[5]。在價值追求方面，數學審美是引導人們追求盡善盡美的數學真理的一種理性精神;在表現形式方面，數學美是以數學語言呈現出來的以秩序、和諧、對稱、奇異、簡潔等為主要內容的結構美。數學審美可以陶冶情操，數學美作為評價標準還是推動數學發展的一種源動力。

要實現發展學生數學核心素養的教學目標，單純的知識教學是力所不能及的。數學學科教學要培養學生的數學核心素養，必須考慮數學文化，因為它扮演著一個不可缺少的角色。文化取向的教學關注的不僅僅是知識，而且包括知識在內的整個文化;不再以知識為中心，以知識為本，而是以人為中心，以人為本;不再僅僅局限于讓學生學習和掌握現有的知識，從而成為舊知識的接受者，而是讓學生受到包括知識在內的整個文化的全面熏陶，從而不僅是舊知識的接受者，更是新知識的創造者。[6]數學知識是數學文化不可分割的組成部分，數學文化比數學知識具有更寬泛的蘊意，如果把數學知識作為數學文化的形而下，那么數學的思想、精神、理念、價值觀等就是數學文化的形而上，是數學文化中更深刻、更本質的內核。

如何將數學文化融入教學？我們認為，教師在教學設計時要思考三個問題：①人們為什么要研究這個問題？②人們是怎么研究這個問題的？③這個知識有什么價值和意義？思考這三個問題，或者說自問這三個問題，能有效地提煉出教材中隱藏的數學文化元素。[7]

教師在教學設計時要思考的第一個問題是：為什么要研究這個問題？或者說人們為什么要研究這個問題？追根溯源，自然要回歸到數學的歷史中去尋因。數學史是一部記錄史，它描繪了數學這棵大樹的主干與枝葉，記載了這棵大樹成長的歷程，銘刻了這棵大樹經歷的風風雨雨;數學史是一部傳記，一部數學思想史，記錄著數學家探究問題的歷程和艱辛，飽含著數學家追求真理的信念和精神，貫穿著潛在于數學理論深層的數學思想，涵蓋著發現問題、解決問題的方法。同時，數學史又留下了許多美麗的故事。將數學史與數學知識有機融合，是實施數學文化教學比較好的材料。這種滲透可以體現在概念教學、命題教學和解題教學的各個層面，也可以在課外活動中進行。

教師在教學設計時要思考的第二個問題是：這個問題是怎么研究的？或者說人們是怎么研究這個問題的？研究數學問題必然與數學方法有關，與數學思想相聯。教師在教學中通過知識的生成過程或者命題的證實過程，充分揭示蘊含于知識的數學思想方法，就是在展示數學的文化元素。

教師在教學設計時要思考的第三個問題是：這個知識有什么價值和意義？首先，這個知識有什么科學價值？這里所說的“科學價值”是一種狹義的理解，指這個知識在教材體系或者教學單元中的作用和價值。數學知識總是以邏輯關系構成體系，表現出網絡形式。在某個知識網絡中，如果一個知識點與其他諸多知識都有聯系，即概念的入度和出度大，那么說明這個知識點的基本性和重要性程度都比較高，在教學中應當高度關注。其次，這個知識有什么應用價值？包括數學在現實生活中的應用和在其他學科中的應用。一般說來，凡是有現實生活背景或者科學背景的概念、命題，它們都有其應用價值，因此，我們在設計這類知識的教學時，可以考慮加入應用問題。但要注意的是，問題設置應當是真實的而非虛構的。一般說來，應用問題的設計有兩種思路，一是從現實問題抽象出數學問題，二是將數學結論用于解決現實問題。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]喻平.學科關鍵能力的生成與評價[J].教育學報，2018（2）：34-40.

[3]李潤洲.指向學科核心素養的教學設計[J].課程·教材·教法，2018（7）：35-40.

[4]吳正憲，魯靜華，張秋爽，等.會說話的數據，讓決策者有依據：“復式折線統計圖”課堂教學實錄[J].小學教學（數學版），2019（11）：14-18.

[5]方延明.數學文化導論[M].南京：南京大學出版社，1999.

[6]孟建偉.從知識教育到文化教育：論教育觀的轉變[J].教育研究，2007（1）：14-19.

[7]侯代忠，喻平.彰顯數學文化：教學設計中的三個自問[J].數學通報，2018（9）：32-36.

（責任編輯：周彩珍）