例談剖析習題中培養學生的思維能力

陳冬發

摘 要：數學習題課是鞏固學生基礎知識、發展學生數學能力、增強學生數學素養的常用方式，本文運用一道課本習題，穿插“特殊到一般”、“異中存同”、“同中求異”的思想方法，淺談培養學生思維能力的策略。

關鍵詞：數學思維能力;形象思維;邏輯思維;創造性思維

數學思維能力是數學教育的重要方面，也是學好數學的關鍵因素，教師應該時刻注意學生思維能力的培養。本文以一道課本習題為例，在“思、解、練”的過程中，談談培養學生思維能力的方式。

華東師大版八年級數學第二學期教材P125第11題：如圖（1），正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是另一個正方形A'B'C'O的一個頂點。如果兩個正方形的邊長相等，那么正方形A'B'C'O繞點O無論怎樣旋轉，兩個正方形重疊部分的面積總是等于一個正方形面積的四分之一。想一想，這是為什么？

一、“會思”是學生思維能力之源，“善思”是學生具體形象思維和抽象邏輯思維成長的捷徑

學生認知具體數學問題的解決過程，有利于提高學生直觀、形象、猜想、抽象思維能力。針對上面這個題目，先讓學生觀察、思索、想象、感知，學生會發現正方形A'B'C'O繞點O旋轉時存在兩種特殊情況：圖（2）重疊部分為△OBC;圖（3）重疊部分為正方形OMBN。

顯然，在圖（2）中， S△OBC = S正方形ABCD;在圖（3）中，S正方形OMBN = S正方形ABCD。至此，學生驗證了在兩種特殊情況下結論正確，確定了信心，預見了問題解決的希望。

對于一般情況，部分學生的思路往往會堵塞，需要教師適時、適量、適當的啟發與點撥，既要暴露學生的薄弱環節，糾正學生的錯誤思維，又要引導學生有效地分析處理問題。教學中，教師要不斷給學生搭建一個有能力參與思考的平臺，“跳一跳，能夠摘到桃子”，“爭取學生熱愛自己的學科”，通過這些平臺，發揮學生的主觀能動性，學生才可能順利達到目標。有些學生觀察、比較圖（1）～圖（3）重疊部分圖形面積之間的關系，立刻得到了解決問題的思路。

S1：對比圖（1）和圖（2）會想到“割補法”思想，△OEB≌△OFC，從而S四邊形OEBF = S正方形ABCD。

S2：對比圖（1）和圖（3）同樣會想到“割補法”思想，如圖（4），Rt△OME≌Rt△ONF，從而S四邊形OEBF=S正方形ABCD。

兩位同學在運用“全等割補法”時，教師需要提醒學生“慎思”三角形全等的條件，從感性認識上升為理性認識。

二、“精解”是學生思維能力的體現

學生的解答過程能夠清晰地反映出學生認知、理解的程度，以及解決問題的思路與依據，“善于表達”能夠錘煉學生的抽象概括、邏輯推理思維能力。“熟思”之后，學生得到以下三種解答過程。

三位同學在自己對問題的認知后分別給出了完整的解答過程，都明確“特殊”與“一般”的依存關系，從“特殊”到“一般”證明了結論的正確性，S5對特殊情況認識更深刻，解答更直接、更簡潔、更適用。

三、“異構”中訓練學生的創造性思維能力

習題的解決能夠達到鞏固基本知識的作用，“舉一反三，觸類旁通”，嘗試把問題進行改造能夠收到“意外”的效果，激發學生的好奇心，培養學生的創造性思維能力。“讓學生們像向往幸福一樣幻想在自己所教的學科領域有所創造”是教學活動的理想境界，有時先讓學生自己把問題“異構”，然后教師與學生共同 “異構”，最后一起解答。

變式1. 如圖（5），點P是正方形ABCD的對角線BD上任意一點，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB（或AB的延長線）、BC（或BC的延長線）于點E、F.求證：PE=PF.

學生能夠很好地把自己的認知遷移到該問題的解決過程中，同時該解答也適合Rt△PGH的直角邊PG交AB的延長線于點E、或者直角邊PH交BC的延長線于點F的情況。

變式2.如圖（7），點P在正方形ABCD的對角線BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB、BC于點E、F，若正方形的邊長為a，試求四邊形PEBF面積的大小。

圖（7） 圖（8）

學生自然會發現與前面的問題不相同，重疊部分的面積不再是該正方形面積的四分之一，但相近，如圖（7），可以運用“割補法”思想，簡解如下。

學生解答后可以認識到，這個問題雖然與原問題不完全一樣，但是重疊部分面積大小仍然保持不變。

變式3. 如圖（7），點P在正方形ABCD的對角線BD上，且PB：BD=k，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB、BC于點E、F，試求四邊形PEBF面積大小與正方形ABCD面積大小的關系？

有些思維敏捷的同學立刻給出以下解答思路：

變式3是變式2的一般情況，從S7的解答過程可知，用一般情況的比值PB：BD=k替代PB= BD得到S四邊形PEBF =k2S正方形ABCD.

另外，學生發現0

變式4.如圖（9），點P在正方形ABCD的對角線BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB、BC的延長線于點E、F，若正方形的邊長為a，試求四邊形PEBF面積的大小。

圖（9） 圖（10）

這里，如圖（9），學生會發現仍然存在Rt△PME≌Rt△PNF，可以適用S7的解答過程。

同時，學生也會發現正方形與直角三角形重疊部分是五邊形PEBCQ，不是四邊形PEBF，S五邊形PEBCQ = S四邊形PEBF- S△CQF，從而兩個圖形重疊部分的面積變小。

變式5.如圖（7），點P在正方形ABCD的對角線BD上，且PB=2PD，Rt△PGH的兩直角邊PG、PH分別交AB、BC于點E、F，若正方形的邊長為a，△PGH繞直角頂點P旋轉，則正方形ABCD和直角三角形PGH重疊部分面積怎樣變化？試寫出其最大值與最小值.

從變式2、變式3、變式4的感知可知，學生得出以下結論。

S9：△PGH繞直角頂點P逆時針旋轉，重疊部分面積經歷“①保持不變、②逐漸變小、③保持不變、④逐漸變大”四個階段的循環過程。

第①階段PG與線段AB相交，且PH與線段BC相交，如圖（7），重疊部分的面積保持最大值 a2不變;

第②階段PH與線段CD相交，如圖（9），重疊部分的面積逐漸減小，達到最小值 a2;

第③階段PG與線段CD相交，且PH與線段AD相交，重疊部分面積保持最小值不變，如圖（10），最小值等于正方形PMDN的面積： a2;

第④階段PG與線段AD相交，重疊部分的面積逐漸增大，達到最大值 a2.

學生直覺感知，變式5中把“PB=2PD”改為“PB：BD=k（

變式6. 已知點P在正方形ABCD的對角線BD上，且PB：BD=k（0

學生先畫出四個代表性位置的圖形，如圖（11），略解如下。

S10：第①階段PG與線段AB相交，且PH與線段BC相交，重疊部分的面積保持最小值不變;

第②階段PG與線段BC相交，重疊部分的面積逐漸增大;

第③階段PG與線段CD相交，且PH與線段AD相交，重疊部分面積保持最大值不變;

第④階段PH與線段AB相交，重疊部分的面積逐漸減小。

“知識不斷革新，能力永遠年輕”，新課程改革迫切要求教育工作者從“能力立意”向“創新”突破。教師在教學活動中，不但要傳授知識技能，而且要注重學生能力的培養，特別要注重學生創造性思維的培養與發展。教材中許多典型的習題具備擴展開拓的空間，等待大家去挖掘運用。當然，在運用過程中，教師既要考慮學生接受能力的實際情況，又要考慮學生思維能力的限度和潛能，遵循學生是學習的主體原則，任何的拓展都要經得起實踐的檢驗，切不可以“揠苗助長”。

參考文獻：

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