芻議初中數學思維訓練方法

朱如梅

[摘? 要] 思維力是學生核心素養的核心. 在初中數學教學中，教師要將思維能力作為教學的重中之重. 借助問題、推理、抽象以及概括，能有效地訓練學生的思維. 通過思維方法教學，打開學生思維源頭，疏通學生思維通道，讓學生卷入初中數學學習中. 數學思維的發展，能有效地提升學生學習力，發展學生數學核心素養.

[關鍵詞] 初中數學;思維訓練;訓練方法

初中數學教學要致力于發展學生的數學核心素養，其中思維能力是核心素養的核心. 作為教師，要將思維能力作為教學的重中之重. 突出對學生進行數學思維的訓練，要預留充分的時空，引導學生進行數學思考. 因而，數學教學就不僅僅是知識教學，更是數學思想方法、數學活動經驗的教學. 數學的學科價值與魅力，就在于數學能開啟學生的智慧之旅.

通過“問題”引爆學生的思維

所謂“引爆”，就是指“打開”“發掘”“點燃”的意思. 在初中數學教學中，教師要通過“問題”，催生學生的數學發現，讓學生“想得到”. 問題可以由教師提出，也可以讓學生自主、自發地質疑. 在初中數學課堂上，我們經常會看到“萬馬齊喑究可哀”的局面. 究其根本，是因為學生的數學思維處于沉睡、蟄伏、壓抑的狀態. 如何發掘學生的思維源頭，如何梳理學生的思維通道，如何指明學生的思維路向，運用“問題”進行啟發、引導、點撥，是一個有效的方法.

比如教學八年級上冊“探索三角形全等的條件”一課，在學生認識到“全等三角形”的內涵之后，筆者讓學生思考：至少需要多少個條件，才能讓兩個三角形全等？在探究中，學生迅速否定了一個條件、兩個條件相等的情況，提出至少需要三個條件才能確定兩個三角形是否全等. 在此基礎上，有學生又提出了這樣的問題：是否任意的三個對應條件相等的兩個三角形就一定全等呢？于是，學生又對自我的猜想展開驗證. 他們通過動手操作、畫圖、推理等方式展開深度探究. 他們找出了許多的反例，比如三個角對應相等的兩個三角形就不一定相等，還有兩條邊對應相等、一個角對應相等的兩個三角形也未必全等，等等. 這樣的教學，圍繞著問題、質疑展開，讓學生的數學學習富有針對性、實效性.

“學起于思 ， 思源于疑. ”通過問題，引爆學生的思維，能打開學生的思維空間，點燃學生的思維火花，形成學生的思維風暴. 在初中數學教學中，教師可以借助問題，引發學生積極聯想、思辨、探究，從而能有效地提升學生的思維力、探究力. 在初中數學教學中，教師要引導學生直面數學問題，運用數學問題，助推學生的數學思維. 在初中數學學習中，只有當學生能帶著問題走向課本、走向教師、走向同學，才能有效地提升學生問題分析、解決能力，進而發展學生的數學核心素養.

通過“推理”發展學生的思維

東北師范大學史寧中教授認為，學生的數學核心素養主要有三：抽象、推理與建模. 在初中數學教學中，教師通過引導學生推理，能有效地發展學生的思維. 從形式上來看，推理可以分為合情推理、演繹推理. 在初中數學教學中，不僅演繹推理能發展學生的思維，合情推理也能有效地發展學生的思維. 在數學推理中，教師要激發學生大膽猜想，通過驗證、探究等，讓學生在已有判斷和新判斷之間構建關系，通過已有知識構建新的知識.

在數學教學中，教師不僅要讓學生“想得到”，更要讓學生“想得妙”. 如果說，“想得到”是學生對數學問題的認知，那么，“想得妙”就是學生對數學問題進行主動地推理. 比如教學“合并同類項”（七年級上冊），為了讓學生進行深度學習，筆者出示了系列單項式，要求學生進行歸類. 學生通過觀察單項式，提出這樣的猜想：具有相同的字母的單項式能合并. 為此，筆者又集中出示了相同字母組成的但指數不相同的單項式. 在比較、合并的實踐中，學生認識到，單項式不僅要求字母相同，而且要求指數也分別相同，才能合并. 有了這樣的認知，學生歸納出同類項的特征. 在此基礎上，筆者再次出示了一些單項式，要求學生判斷這些單項式是否是同類項. 通過這樣的教學，能鞏固、發展學生的思維，幫助學生建立同類項的本質特征，深化學生對同類項概念的理解. 有了對同類項的清晰認知，筆者將有理數的運算定律引入其中，讓學生嘗試進行同類項的合并，從而引導學生推理、歸納、構建合并同類項的法則.

在學生進行推理的過程中，教師要賦予學生自主判斷權，不僅引導學生自主思考，更引導學生進行交流、碰撞，從而讓學生在對話、交往中甄別、判斷. 比如在“合并同類項”的學習交流中，有學生剛開始認為，系數不同就不可以相加減;有學生糾結于字母排列的先后，等等. 在交流、研討中，學生逐步認識到同類項的本質特性，即字母相同、字母指數相同. 這樣的教學，有助于敞亮學生的數學思維，有助于讓學生達成數學共識.

通過“抽象”提煉學生思維

抽象性是數學的基本特性. 在初中數學教學中，教師要引導學生經歷將數學現實、數學現象抽象成數學模型并進行解釋和應用. 學生的抽象思維能力是學生思維力的重要標識. 有學者深刻地指出，抽象力是學生的基本學力，其他能力都是它們的派生物. 教學中，教師要引導學生對數學進行本質抽象，即引導學生舍棄非本質屬性而抽取本質屬性. 作為教師，要豐富學生的表象積累，引導學生進行比較.

比如教學八年級下冊的“分式”的概念，教師可以出示一組素材，諸如已知長方形的面積和長，要求寬;已知圓柱的體積和底面積，要求高，等等. 在抽象的過程中，由于學生受到了分數的形式影響，因而導致部分學生將分式與含有分數的整式相混淆. 基于此，筆者引導學生比較分式與含有分數的整式. 學生發現，分式不僅是具有分數的形式，更為重要的是分式的分母中必須含有字母. 通過這樣的抽象、概括，學生構建了分式的意義——“如果A，B（B不等于零）表示兩個整式，且B中含有字母，那么式子 就叫作分式，其中A稱為分子，B稱為分母”. 這樣的定義，既有助于學生厘清分式與整式的區別、聯系，同時又有助于區分分式與分數的異同. 在教學過程中，學生還發現了分式的值會隨著分式分母中的字母的變化而變化. 借助抽象，學生能精準把握數學概念的內涵、外延，并進行有效的概念應用.

在數學教學中，教師要引導學生對學習素材進行感知、比較、辨析，引導學生從對概念的感性認知上升到對概念的理性認知. 在初中數學教學中，如果教師不及時引導學生對概念進行比較、辨析、提煉、抽象，學生的數學認知就容易停留在感性的、膚淺的、表面化的非本質屬性層面，而不能形成對概念的本質理解.

通過“概括”催生學生的思維

概括是在數學抽象的基礎上，對相關數學知識進行模型化構建的過程. 一般來說，概括的過程就是公理化、形式化、數學化的過程. 對學生的表象進行梳理、提煉、概括，學生就容易停留在感性的、膚淺的、表面化的、零碎的外部現象上，就不能形成對知識的本質認知. 在引導學生對具體事物充分感知、形成表象之后，教師要引導學生及時概括. 只有這樣，才能讓學生的感性認知上升到理性認知層面，從而提升學生的數學學習力.

比如教學八年級上冊的“三角形的高”，教師可以出示同一三角形擺放不同位置、擺放不同方向的高，可以出示不同三角形的高，可以出示同一三角形不同的底對應的高，等等. 通過豐富的素材，引導學生進行比較、概括，形成學生對高的數學認知. 在概括的過程中，要注重概括的科學性，比如“從三角形的頂點到底邊的垂直線段”“從三角形的頂點到底邊的距離”等. 只有對高形成了本質性的概括，學生才能有效地將三角形的高、三角形的中線、三角形的角的平分線、三角形的中垂線等區分開來. 在對數學概念進行概括的過程中，教師不要期望一步到位，而要允許學生的循序漸進. 有時候，一個概念的有效概括是經過“兩次提煉”乃至“多次提煉”形成的. 因此，數學概括的過程，有助于催生學生的數學思維，讓學生進行深度的思維加工.

概括要求學生能去異求同、去粗取精、去偽存真、由表及里、由此及彼，將本質屬性從相關屬性中進行抽離、提煉. 通過數學概括，教師不僅能形成對數學知識的本質性認知，而且能對數學知識形成結構性認知、關系性認知. 借助問題、推理、抽象以及概括，數學教學能掀起學生思維的千層浪，進而有效地提升學生學習力，發展學生數學核心素養.