遵循“思意數學”教學設計原則的教學實踐

林偉 梁春霞 陳崢嶸

摘要：“思意數學”教學設計依據學習理論、教學理論、傳播理論，按照以陳述性知識為主、以程序性知識為主和以策略性知識為主的設計思路，遵循目標性原則、互動性原則、系統性原則，探索公式課教學設計，解決教師的“教”與學生“學”的關系，從而落實數學核心素養。

關鍵詞：思意數學;教學設計;教學原則;基本不等式

一、“思意數學”教學設計理論基礎

（一）“思意數學”教學設計依據學習理論當代學習理論主要有行為主義學派和認知學派這兩大學派。行為主義學習理論重視控制學習環境，尊重學生自定步調的個別化學習的策略，重視客觀行為與強化的思想，特別是在行為矯正（即態度的學習）方面，強調外部刺激的設計，如果學生出現正確的反應，應及時予以強化，主張在教學中采用小步子呈現教學信息。

（二）“思意數學”教學設計依據教學理論

學習理論雖然本身并不研究教學，但教與學聯系非常緊密，為教學設計提供了許多有益的啟示。揭示教學的本質和規律是教學理論的任務。進行教學設計要重視教學系統的實效研究，不僅要有正確的學習觀，還要對教學規律有清楚的認識。

（三）“思意數學”教學設計依據傳播理論

傳播理論探討的是人的認知共同規律。傳播理論不僅僅研究教學現象，師生之間、生生之間的交流就是一種雙向信息傳播的過程，借助傳播理論解決教與學現象，從中可以尋找一些教與學的規律。

基于依據上述理論，“思意數學”教學設計思路主要有以下三方面。

1.以陳述性知識為主的教學設計。該設計思路主要是讓學生提取與回憶重點知識，理解新舊知識之間的聯系，建立學生的認知結構的過程。在設計中要體現出學生的活動過程和活動內容。注重學生獲取知識的過程。

2.以程序性知識為主的教學設計。該設計思路主要是按照一定操作規程而獲得新知識。設計從中包括設計思想、教材分析、學情分析、教學目標、過程設計、多媒體及教學實踐活動后的反思等內容。

3.以策略性知識為主的教學設計。該設計思路主要是根據學生自身的認知水平，自我調節認知活動的策略，所設計的教學過程必須符合所教學生的實際情況，具有可操作性和實效性。

它們之間關系如下。

根據上面的理論和思路，“思意數學”教學設計主要遵循以下幾方面原則。

二、“思意數學”教學設計遵循的原則

（一）“思意數學”教學設計遵循目標性原則

現代教學理論強調教學設計的個性化原則，這一原則注意整體與個體之間的關系，突出個性化。因此，在設計課堂教學目標時要處理好班級整體目標與個體目標之間的關系，應當把個體學習作為教學設計的重要目標。

例如，“古典概型質”教學目標設計。

【教學目標】

1.知識與技能

（1）理解古典概型的含義、特征及其概率計算公式。

（2）會判斷哪些隨機事件為古典概型，并掌握用列舉法解決概率計算的問題。

2.過程與方法

根據本節課的內容和學生的實際水平，通過創設問題情境讓學生理解古典概型的概念及其特征。通過實驗探究古典概型特征的過程，培養學生的觀察、類比、歸納、總結的能力。

3.情感態度與價值觀

通過模擬實驗和探究類比，幫助學生樹立辯證唯物主義觀點——從具體到抽象和從特殊到一般，讓學生用隨機的觀點來理解世界，增強學生數學思維意識，使學生維持積極的學習數學的態度。

（二）“思意數學”教學設計遵循互動性原則

班級集體授課方式目前主要是師生互動、生生互動或生機互動。互動就是為了讓學生有積極學習的良好狀態，教師對每一個學生都要作出正確的判斷和及時調整教學策略。

例如，“指數函數的概念”的兩種教學設計比較。

第一種設計：

（1）教師先讓學生看書，然后講解指數函數的定義。

（2）教師設計一些例子，讓學生按照指數函數的定義辨別哪些是指數函數，哪些不是指數函數——教師引導和示范的過程。

（3）教師設計練習，讓學生模仿剛才的方法辨別哪些是指數函數——學生自主學習的過程。

第二種設計：

有人說，給我一張足夠大的紙，我就能登上月球！是真的嗎？

請大家拿出一張紙，設面積為1的紙對折x次后，問題1：請寫出紙的層次y與次數x的關系;問題2：請寫出面積y與次數x的關系。

學生分組討論

請問：這兩個對應關系能否構成函數，為什么？若是，請分析這兩個函數有什么共同特征？與同伴交流。

對兩種設計的評價：第二種設計是利用生活情境的例子讓學生實驗探索來認識和理解指數函數概念。通過問題情境讓學生從中歸納出其中所蘊含的一般數學規律;同時，通過與同伴探索交流，并用數學語言表述自己的發現，讓學生感受到了數學來源于生活，又應用于生活，領悟學習數學的價值。

（三）“思意數學”教學設計遵循系統性原則

在教學過程的系統設計中，要考慮教學內容的組織與安排、教學方法和教學媒體的選用、學生的已有水平及課堂教學結構的安排等，在設計過程中，必須注意課堂教學系統各要素以及整個過程中各環節之間的聯系，從教學目標設計到教學過程設計，再到教學評價，每個環節相互聯系、相互影響，環環相扣，每個環節的設計都要符合教學要求和學生實際情況，只有這樣，才能獲得最好的設計方案。

再以“指數函數的概念”教學設計為例。

2000年10月8日，美國一城市的日報以醒目標題刊登了一則新聞：“市政委員會今天發布本市垃圾的體積達到50000立方體”。副標題是：“垃圾的體積每三年增加一倍”。教師在數學課上宣讀了這則新聞，并且利用這條新聞引入指數函數的學習。

任務：把三年作為垃圾體積的加倍周期，要求學生填寫下表：

研究：（1）設想報紙標題所述城市垃圾的體積每三年持續加倍，24年后本市垃圾的體積是多少？

（2）根據上面提供的信息，你估計三年前的垃圾的體積是多少？

（3）如果n=一2，這時的n、V表示什么意思？

（4）寫出n與V的函數關系，并畫出函數圖象。

（5）曲線可能會與橫軸相交嗎？為什么？

評析：學生從具體實際問題人手，背景材料新穎并且來源于生活，容易吸引學生的注意力，通過這樣的教學設計，讓學生逐步探討指數函數的概念、一般形式、圖象及性質。一環扣一環，形成了一個有機的整體。在這樣的過程中，學生既掌握了數學知識，還能自然而然聯系到環境污染、廢物利用、生態環境保護等問題一發展了學生社會意識。

三、“思意數學”課堂教學實踐

在教學活動的設計中，依據數學新課標的要求，充分體現新的學科教學理念，要充分體現出學生的自主學習、探究活動、合作交流過程，讓學生擁有學習的主動權，挖掘開發出學生潛在的能力。建立一種平等、和諧、理解、溝通的師生關系，有利于師生主體的發展。

下面以“向量加法運算及其幾何意義”的教學為例進行教學設計。

本節內容：普通高中課程標準實驗教科書（人教A版）《數學必修4》第二章《平面向量》的第二節“平面向量的線性運算”的第一課時——向量加法運算及其幾何意義。

下面，筆者從內容和內容解析、目標和目標解析、教學問題診斷分析、教學支持條件分析、教學過程設計、目標檢測設計六個方面對本節課的教案設計加以說明。

【內容和內容解析】

向量的加法是學生在認識向量概念之后首先要掌握的運算，其主要內容有向量加法的定義，向量求和的三角形法則和平行四邊形法則，向量加法滿足的運算律及向量加法的實際應用。向量的加法讓學生進一步加強對向量幾何意義的理解，還為接下來學習向量的減法奠定基礎，起到承上啟下的重要作用。

數的加法啟發我們，從運算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法。借助于物理中位移的合成、力的合成來理解向量的加法，讓學生順理成章接受向量的加法定義。結合圖形掌握向量加法的三角形法則和平行四邊形法則。聯系數的運算律理解和掌握向量加法運算的交換律和結合律。

培養數學的應用意識是當今數學教育的主題，本節課的內容與實際問題聯系緊密，應強化數學來源于實際又應用于實際的意識，培養學生數學建模思想。在本節課的學習中，由于涉及兩個向量有共線和不共線這兩種情況，因此有利于滲透分類討論的數學思想。“向量的加法”蘊含數形結合、類比的數學思想，因此在概念的教學中不但要注重知識的學習，而且要把它作為一個載體，通過概念的獲得培養學生的抽象概括、數學建模等能力，領會數形結合、類比等數學思想。

教學重點：會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則，作兩個向量的和向量。

【目標和目標解析】

1.通過對向量加法的探究，使學生掌握向量加法的概念，結合物理學實際理解向量加法的幾何意義。能正確領會向量加法的三角形法則和平行四邊形法則的幾何意義，并能運用法則作出兩個已知向量的和向量。

2.在應用中，理解向量加法滿足交換律和結合律以及表述兩個運算律的幾何意義。掌握有特殊位置關系的兩個向量之和，比如共線向量，共起點向量、共終點向量等。

3.通過本節的學習，培養學生類比、遷移、分類、歸納等數學方面的能力。

【教學問題診斷】

向量的加法可以通過數的加法類比而得，但是向量既是代數的對象，又是幾何的對象，其加法涉及方向，對于方向相反的兩個向量相加，學生可能對其較為陌生。

向量加法的三角形法則和平行四邊形法則通過物理學中位移和力的合成推導而出。三角形法則的實質是首尾相接連端點。平行四邊形法則的實質是起點相同連對角。對不共線向量相加，兩個法則都可以選用。由共線向量的加法總結出三角形法則適用于任意兩個向量的相加，而平行四邊形法則僅適用于不共線向量相加。

教學難點：對三角形法則的理解;方向相反的兩個向量的加法。主要是讓學生認識到三角形法則的實質是，將已知向量首尾相接，而不是表示向量的有向線段之間必須構成三角形。

【教學支持條件分析】

1.多媒體技術中flash動畫的運用，能直觀地表現向量的平移、相等向量的意義，更能說清兩個法則的幾何意義及運算律。

2.讓學生利用三角板在黑板上自己畫圖證明向量加法的結合律，培養他們探索問題、解決問題的能力，感受成功的喜悅。

3.利用實物投影儀投影學生自己探究的問題，并且給予適當的評價與鼓勵。

【教學過程】

數學學習過程是學生在原有認知基礎上的主動建構，學生是認知的主體，設計教學過程必須遵循學生的認知規律，盡可能地讓學生經歷知識的形成與發展過程。為了更好地使不同層次的學生形成自己對課題知識的理解，結合本教材的特點，筆者設計了如下的教學過程，啟發學生逐步認識向量加法的定義及其幾何意義，會用向量加法的三角形法則和平行四邊形法則作兩個向量的和向量，掌握向量加法運算律的交換律和結合律，初步形成用向量加法運算解決實際問題的能力。

（一）問題情景，引入概念，開啟思維

1.復習與回顧：向量的基本定義和其相關概念內涵

強調：向量是具有大小和方向的量，長度相等且方向相同的向量是相等的。所以，要探討的向量是自由向量，其與起點沒有關聯。換句話說，即所有的向量在不更改大小、方向的條件下都可以移動。

2.情景設置

（1）小華同學從教室出發，先去學校門衛室拿快遞，再去圖書館借學習資料，他先向東走100米，接著向西走200米，那么他所走的路程是

，位移是____;

（2）由于2020年新冠肺炎疫情形勢比較嚴重，在春節期間從廣州出行到臺北沒有直飛航班，如果要搭乘飛機，則要先從廣州飛到香港，然后從香港飛到臺北，那么這兩次位移合成的結果是什么？

[設計意圖]作為一名數學教師，要學會從現實生活中的相關問題作為引導，激發學生濃厚的學習及研究興趣，讓學生深入其中去感知向量加法的直觀意義，并初步感知數學建模素養。

（二）激學導思，形成概念，交流思維

1.探究活動一（課本P80實驗）

圖a是橡皮條在F1和F2兩個力的作用下，沿著GC的方向伸長了EO，圖b是橡皮條受到力F的影響下沿著相同的方向伸長相同的長度，那么F與F1、F2之間的關系是怎樣的呢？引導學生交流討論。

交流結果：

（1）力F對橡皮條產生的作用，與力F1、F2共同作用產生的結果一致;

（2）力F于將F1、F2作為鄰邊的平行四邊形的對角線，并且大小是等同于平行四邊形的對角線長;

（3）力F可看作是F1、F2之和，也就是說力的合成也可看作是向量的加法。

師生合作完成探究實驗：（并請學生上臺一一展示，學生交流探討，發現規律）

[設計意圖]學生比較難理解向量的大小和方向相加，借助物理中的位移和力的合成，抽象概括出數學中向量的加法意義，使學生更容易接受向量之間的關系。

向量的加法：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。

思考1：怎樣可以求出這兩個向量的和？（引導和提示學生聯想力的合成）

2.平行四邊形法則（起點相同）

已知非零向量a、b有相同的起點，且OA =a，OB=b，作AC∥OB，BC∥OA，則向量OC叫做a與b的和，記作a+b，即a+b= OA +AC= OC。

練習1：求下列向量的和向量，并敘述作法。

作法：已知向量a、b。在平面內任取一點O，作OA =a，OB=b，作AC∥OB，BC∥OA，則向量oc叫做a與b的和，記作a+b，即a+b=AB +BC=AC。

3.三角形法則（首尾相接）

問題1：兩個向量的和的表示，除了平行四邊形法則外，是否還有其他方法？（提示：情景設置中的位移是怎樣合成的？）

位移的合成是兩個向量首尾相接得到的第三個向量，從而得到向量加法的三角形法則：已知向量a=OA，b=AB，則向量OB叫做a與b的和，記作a+b，即a+b：OA +AB：OB。

學生通過實踐和實驗結果來考慮向量求和方法。教師演示了向量求和方法，并給出了向量加法的直觀含義和作圖方法。

[設計意圖]學生也可以從現實生活中有效地提取數學模型并進行推理，這是學生易接受的。同時，在這個交流和共同學習的過程中，刺激學生獨立探究學習平行四邊形法則的規律性和存在性，提高學生的獨立操作研究和討論學習交流的能力。

練習2：已知向量a、b，用三角形法則作出a+b。

（學生自主練習，教師班上巡查，用實物投影儀把學生的答案投影出來并點評。）

思考2：怎樣才能求出兩個共線向量的和？

共線向量分為同向向量和反向向量，當兩個向量AB、BC，方向相同或相反時，將這兩個向量的首尾相接，得到一個和向量AC =AB+ BC。所以，加法的三角形法則同樣可以用到共線向量上。

[設計意圖]要求學生畫一個和向量，并考慮是否還有其他方法可以對兩個向量求和。（引導學生類比情景設置中小華同學的例子，從而得出三角形法則）

思考3：平行四邊形法則和三角形法則有什么相同之處和不同之處？（學生先思考，教師總結）

在幾何畫板演示過程中，當兩個向量逐漸發生改變的時候，使用以上兩種法則求出的向量的和是一樣的。即不同法則，效果相同。

[設計意圖]這兩個法則本質是一致的。一方面，學生通過實踐鞏固了所學知識;另一方面，通過教師的點撥，得出了三角形法則，并總結了三角形法則與四邊形法則之間的區別和聯系，讓學生的觀察能力和邏輯思維能力有所提升，也滲透了數學建模思想。

（三）引導釋疑，理解概念，提升思維

例1.用兩種不同的方法求向量a、b的和，要求有具體的解題過程。

（教師在黑板上板書，演示正確的畫法，展示給學生看。）

練習3：（1）采用不同的兩種方法，勾畫出三個非零向量，要讓這三個非零向量的和為0。

（2）已知a+b+c=0，a⊥b且|a|=3，|b|=4，求|c|。

解：如右圖，∵a+b+c=0，

∴|c|=|a+b|，∵a⊥b， ∴|c|= 5。

探究活動二：我們都知道，數的加法滿足加法的交換律和結合律，那么向量的加法是否也滿足呢？

即對任意向量a、b、c，是否有：

（1）交換律：a+b=b+a。

（2）結合律：a+b+c=a+（b+c）。

通過演示驗證向量加法滿足交換律和結合律，且規定a+0=0+a= a。

（四）點撥提高，深化概念，拓展思維

例2.一船從A點出發以2 √3km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河水的流速為2km/h，求船實際航行的速度的大小和方向。（用與流速間的夾角表示）

（用flash動畫演示，引導學生分析這一物理過程中的向量以及求向量和的過程，把實際問題轉化成向量問題）

解：設AD表示船向垂直對岸方向行駛的速度，AB表示水流的速度，則平行四邊形的對角線AC就表示船實際航行的速度，在Rt△ABC中IABl=2，IBCI=2√3，∴IACl=√|AB|2+|BC|2 =4。